Бесконечномерная мера Лебега

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Тон или стиль этого вводного раздела может не отражать энциклопедический тон , используемый в Википедии .Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . См. руководство Википедии по написанию лучших статей для предложений. ( Август 2023 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) В статье содержится список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( октябрь 2023 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математике бесконечномерная мера Лебега — это мера, определённая на бесконечномерных нормированных векторных пространствах , таких как банаховы пространства , которая напоминает меру Лебега, используемую в конечномерных пространствах.

Однако традиционная мера Лебега не может быть напрямую распространена на все бесконечномерные пространства из-за ключевого ограничения: любая трансляционно-инвариантная мера Бореля на бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве должна быть либо бесконечной для всех множеств, либо нулевой для всех множеств. Несмотря на это, некоторые формы бесконечномерных мер типа Лебега могут существовать в определенных контекстах. К ним относятся несепарабельные пространства, такие как куб Гильберта , или сценарии, в которых некоторые типичные свойства конечномерных мер Лебега изменяются или опускаются.

Мера Лебега на евклидовом пространстве локально конечна , строго положительна и инвариантна относительно трансляции . То есть:${\displaystyle \лямбда}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• каждая точка имеет открытую окрестность с конечной мерой:${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle N_{x}}$${\displaystyle \lambda (N_{x})<+\infty;}$
• каждое непустое открытое подмножество имеет положительную меру: и${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \lambda (U)>0;}$
• если — любое измеримое по Лебегу подмножество и — вектор из , то все трансляции имеют одинаковую меру: ${\displaystyle А}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda (A+h)=\lambda (A).}$

Построение мер, удовлетворяющих вышеперечисленным свойствам для бесконечномерных пространств, таких как пространства или пространства путей, по-прежнему является открытой и активной областью исследований, мотивированное их геометрической значимостью.${\displaystyle L^{p}}$

Пусть будет бесконечномерным, сепарабельным банаховым пространством. Тогда единственной локально конечной и инвариантной относительно трансляции мерой Бореля на является тривиальная мера . Эквивалентно, не существует локально конечной, строго положительной и инвариантной относительно трансляции меры на . ^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

В более общем случае: на нелокально компактной польской группе не может существовать σ-конечная и левоинвариантная мера Бореля. ^[1]${\displaystyle G}$

Из этой теоремы следует, что на бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве (которое не может быть локально компактным ) не существует меры, которая бы идеально соответствовала свойствам конечномерной меры Лебега.

Пусть — бесконечномерное, сепарабельное банахово пространство, снабженное локально конечной трансляционно-инвариантной мерой . Чтобы доказать, что — тривиальная мера, достаточно и необходимо показать, что${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (X)=0.}$

Как и каждое сепарабельное метрическое пространство , является пространством Линделёфа , что означает, что каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие. Поэтому достаточно показать, что существует некоторое открытое покрытие нулевыми множествами, поскольку при выборе счетного подпокрытия σ-субаддитивность будет подразумевать, что${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (X)=0.}$

Используя локальную конечность меры , предположим, что для некоторого открытый шар радиуса имеет конечную -меру. Поскольку бесконечномерно, по лемме Рисса существует бесконечная последовательность попарно непересекающихся открытых шаров радиуса , в которой все меньшие шары содержатся В силу инвариантности относительно трансляции все шары покрытия имеют одну и ту же -меру, и поскольку бесконечная сумма этих конечных -мер конечна, все шары покрытия должны иметь -меру ноль.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle B(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{n}(r/4),}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle r/4,}$${\displaystyle B_{n}(r/4)}$${\displaystyle B(r).}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

Так как было произвольным, то каждый открытый шар в имеет нулевую меру, и взятие покрытия которого является множеством всех открытых шаров, завершает доказательство того, что .${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu (X)=0}$

Вот несколько примеров бесконечномерных мер Лебега, которые могут существовать, если условия приведенной выше теоремы смягчены.

Одним из примеров полностью сепарабельного банахова пространства является абстрактная конструкция пространства Винера , похожая на произведение гауссовых мер (которые не являются инвариантными относительно трансляции). Другой подход заключается в рассмотрении меры Лебега конечномерных подпространств в большем пространстве и рассмотрении преобладающих и застенчивых множеств . ^[2]

Куб Гильберта несет произведение меры Лебега ^[3] , а компактная топологическая группа , заданная произведением Тихонова бесконечного числа копий группы окружности, является бесконечномерной и несет меру Хаара , которая инвариантна относительно трансляции. Эти два пространства могут быть отображены друг на друга способом, сохраняющим меру, путем разворачивания окружностей в интервалы. Бесконечное произведение аддитивных действительных чисел имеет аналогичное произведение меры Хаара, которое является в точности бесконечномерным аналогом меры Лебега. ^{[ необходима цитата ]}

• Измерение набора цилиндров  – способ создания измерения по пространствам продуктаPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Теорема Кэмерона–Мартина  – Теорема, определяющая перенос гауссовских мер (мер Винера) на гильбертовых пространствах.
• Теорема Фельдмана – Хайека  - Теория в теории вероятностей
• Гауссовская мера#Бесконечномерные пространства  – Тип меры Бореля
  • Структурная теорема для гауссовых мер  – Математическая теорема
• Проекционно-значная мера  – Математическая операторно-значная мера, представляющая интерес в квантовой механике и функциональном анализе.
• Функция множества  – Функция преобразования множеств в числа