Теорема плотности Лебега

В математике теорема о плотности Лебега гласит, что для любого измеримого по Лебегу множества «плотность» A равна 0 или 1 почти в каждой точке в . Кроме того, «плотность» A равна 1 почти в каждой точке в A . Интуитивно это означает, что «граница» A , множество точек в A , «окрестности» которых частично находятся в A и частично за пределами A , пренебрежимо мала .${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Пусть μ — мера Лебега на евклидовом пространстве R ⁿ , а A — измеримое по Лебегу подмножество R ⁿ . Определим приближенную плотность A в ε-окрестности точки x в R ⁿ как

${\displaystyle d_{\varepsilon}(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon}(x))}{\mu (B_{\varepsilon}(x))}}}$

где B _ε обозначает замкнутый шар радиуса ε с центром в точке x .

Теорема плотности Лебега утверждает , что для почти каждой точки x из R ⁿ плотность

${\displaystyle d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)}$

существует и равен 0 или 1.

Другими словами, для каждого измеримого множества A плотность A равна 0 или 1 почти всюду в R ⁿ . ^[1] Однако, если μ( A ) > 0 и μ( R ⁿ  \  A ) > 0 , то всегда существуют точки R ⁿ , где плотность не равна ни 0, ни 1.

Например, если взять квадрат на плоскости, то плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, на ребрах — 1/2, а в углах — 1/4. Множество точек на плоскости, в которых плотность не равна ни 0, ни 1, непусто (граница квадрата), но оно пренебрежимо мало.

Теорема Лебега о плотности является частным случаем теоремы Лебега о дифференцировании .

Таким образом, эта теорема верна также для любой конечной меры Бореля на Rn вместо меры Лебега, см ^. Обсуждение .

• Теорема дифференциации Лебега  – Математическая теорема в реальном анализе

• Халлард Т. Крофт. Три решеточные задачи Штейнхауза. Quart. J. Math. Oxford (2) , 33:71-83, 1982.

В данной статье использованы материалы из теоремы плотности Лебега на сайте PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .