Теория Аткина–Леннера

В математике теория Аткина–Ленера является частью теории модулярных форм, описывающей, когда они возникают на заданном целочисленном уровне N таким образом, что теория операторов Гекке может быть расширена на более высокие уровни.

Теория Аткина–Ленера основана на концепции новой формы , которая является формой возврата «новой» на заданном уровне N , где уровни представляют собой вложенные подгруппы конгруэнтности :

${\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}}$

модулярной группы , с N, упорядоченным по делимости . То есть, если M делит N , Γ ₀ ( N ) является подгруппой Γ ₀ ( M ). Старые формы для Γ ₀ ( N ) являются модулярными формами f ( τ ) уровня N вида g ( d τ ) для модулярных форм g уровня M с M — собственным делителем N , где d делит N/M . Новые формы определяются как векторное подпространство модулярных форм уровня N , дополнительное к пространству, натянутому на старые формы, т. е. ортогональное пространство относительно скалярного произведения Петерссона .

Операторы Гекке , действующие на пространстве всех касповых форм, сохраняют подпространство новых форм и являются самосопряженными и коммутирующими операторами (относительно скалярного произведения Петерссона) при ограничении на это подпространство. Следовательно, алгебра операторов на новых формах, которые они порождают, является конечномерной C*-алгеброй , которая является коммутативной; и согласно спектральной теории таких операторов существует базис для пространства новых форм, состоящий из собственных форм для полной алгебры Гекке .

Рассмотрим делитель Холла e числа N , что означает, что не только e делит N , но также e и N / e являются взаимно простыми числами (часто обозначаемыми как e || N ). Если N имеет s различных простых делителей, то существует 2 ^s делителей Холла числа N ; например, если N = 360 = 2 ³ ⋅3 ² ⋅5 ¹ , то 8 делителей Холла числа N равны 1, 2 ³ , 3 ² , 5 ¹ , 2 ³ ⋅3 ² , 2 ³ ⋅5 ¹ , 3 ² ⋅5 ¹ и 2 ³ ⋅3 ² ⋅5 ¹ .

Для каждого делителя Холла e числа N выберем целочисленную матрицу W _e вида

${\displaystyle W_{e}={\begin{pmatrix}ae&b\\cN&de\end{pmatrix}}}$

с det W _e = e . Эти матрицы обладают следующими свойствами:

• Элементы W _e нормализуют Γ ₀ ( N ): то есть, если A находится в Γ ₀ ( N ), то W _e AW⁻¹
  _енаходится в Γ ₀ ( N ).
• Матрица W²
  _е, имеющий определитель e ² , можно записать как eA , где A принадлежит Γ ₀ ( N ). Нас будут интересовать операторы на параболических формах, возникающие из действия W _e на Γ ₀ ( N ) посредством сопряжения, при котором и скаляр e , и матрица A действуют тривиально. Следовательно, равенство W²
  _е= eA подразумевает, что действие W _e квадратично; по этой причине результирующий оператор называется инволюцией Аткина–Ленера .
• Если e и f являются делителями Холла числа N , то W _e и W _f коммутируют по модулю Γ ₀ ( N ). Более того, если мы определим g как делитель Холла g = ef /( e , f ) ² , их произведение равно W _g по модулю Γ ₀ ( N ).
• Если бы мы выбрали другую матрицу W ′ _e вместо W _e , то оказалось бы, что W _e ≡ W ′ _e по модулю Γ ₀ ( N ), поэтому W _e и W ′ _e определяли бы одну и ту же инволюцию Аткина–Ленера.

Мы можем суммировать эти свойства следующим образом. Рассмотрим подгруппу GL(2, Q ), порожденную Γ ₀ ( N ) вместе с матрицами W _e ; пусть Γ ₀ ( N ) ⁺ обозначает ее фактор по положительным скалярным матрицам. Тогда Γ ₀ ( N ) является нормальной подгруппой Γ ₀ ( N ) ⁺ индекса 2 ^s (где s — число различных простых множителей N ); факторгруппа изоморфна ( Z /2 Z ) ^s и действует на формы параболы посредством инволюций Аткина–Ленера.

• Мокану, Андреа. (2019). «Теория Аткина-Ленера Γ1(m)-модулярных форм»
• Аткин, AOL ; Ленер, Дж. (1970), «Операторы Гекке на Γ ₀ (m)», Mathematische Annalen , 185 (2): 134–160 , doi : 10.1007/BF01359701, ISSN  0025-5831, MR  0268123
• Коитиро Харада (2010) «Сияние» конечных групп , стр. 13, Европейское математическое общество ISBN 978-3-03719-090-6 MR 2722318