Факторное пространство (топология)

В топологии и смежных областях математики фактор -пространство топологического пространства при заданном отношении эквивалентности — это новое топологическое пространство, построенное путем наделения фактор-множества исходного топологического пространства фактор -топологией , то есть наилучшей топологией , которая делает непрерывным каноническое проекционное отображение (функцию, которая отображает точки на их классы эквивалентности ). Другими словами, подмножество фактор-пространства открыто тогда и только тогда, когда его прообраз при каноническом проекционном отображении открыт в исходном топологическом пространстве.

Интуитивно говоря, точки каждого класса эквивалентности идентифицируются или «склеиваются» для формирования нового топологического пространства. Например, идентификация точек сферы, принадлежащих одному диаметру, создает проективную плоскость как фактор-пространство.

Пусть будет топологическим пространством , и пусть будет отношением эквивалентности на Фактор -множество — это множество классов эквивалентности элементов Класс эквивалентности обозначается${\displaystyle X}$${\displaystyle \сим }$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y=X/{\sim }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle [x].}$

Конструкция определяет каноническую сюръекцию. Как обсуждается ниже, представляет собой факторное отображение, обычно называемое каноническим факторным отображением или каноническим проекционным отображением, связанным с${\displaystyle Y}$ ${\textstyle q:X\ni x\mapsto [x]\in Y.}$${\displaystyle д}$${\displaystyle X/{\sim }.}$

Фактор -пространство по - это множество, снабженное топологией фактора , чьи открытые множества - это те подмножества , прообраз которых открыт . Другими словами, открыто в топологии фактора на тогда и только тогда, когда открыто в Аналогично, подмножество замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто в${\displaystyle \сим }$${\displaystyle Y}$ ${\textstyle U\subseteq Y}$ ${\displaystyle q^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\textstyle \{x\in X:[x]\in U\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle S\subseteq Y}$${\displaystyle \{x\in X:[x]\in S\}}$${\displaystyle X.}$

Топология фактора — это конечная топология на фактормножестве относительно отображения${\displaystyle x\mapsto [x].}$

Карта является фактор-картой (иногда называемой идентификационной картой ^[1] ), если она сюръективна и снабжена конечной топологией, индуцированной Последнее условие допускает две более элементарные формулировки: подмножество открыто (закрыто) тогда и только тогда, когда открыто (соответственно, замкнуто). Каждая фактор-карта непрерывна, но не каждая непрерывная карта является фактор-картой. ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle ф.}$${\displaystyle V\subseteq Y}$${\displaystyle f^{-1}(В)}$

Насыщенные наборы

Подмножество называется насыщенным (относительно ), если оно имеет вид для некоторого множества , которое истинно тогда и только тогда, когда Присваивание устанавливает взаимно однозначное соответствие ( обратное которому равно ) между подмножествами и насыщенными подмножествами С этой терминологией сюръекция является факторным отображением тогда и только тогда, когда для каждого насыщенного подмножества открыто в тогда и только тогда, когда открыто в В частности, открытые подмножества , которые не насыщены, не влияют на то, является ли функция факторным отображением (или, действительно, непрерывной: функция непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого насыщенного такого, что открыто в , множество открыто в ).${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S=f^{-1}(T)}$${\displaystyle Т,}$${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S.}$${\displaystyle T\mapsto f^{-1}(T)}$${\displaystyle S\mapsto f(S)}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle Y=f(X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(S)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\textstyle S\subseteq X}$${\displaystyle f(S)}$${\textstyle f(X)}$${\displaystyle S}$${\textstyle X}$

Действительно, если является топологией на и является любым отображением, то множество всех , которые являются насыщенными подмножествами, образует топологию на Если является также топологическим пространством, то является фактор-отображением (соответственно, непрерывным ) тогда и только тогда, когда то же самое верно для${\displaystyle \тау}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \тау _{ф}}$${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:(X,\tau)\to Y}$${\displaystyle f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.}$

Факторное пространство характеристик волокон

Если задано отношение эквивалентности на , обозначим класс эквивалентности точки через , а обозначим множество классов эквивалентности. Отображение , которое переводит точки в их классы эквивалентности (то есть оно определяется как для каждого ), называется каноническим отображением . Оно является сюръективным отображением и для всех тогда и только тогда, когда , следовательно, для всех В частности, это показывает, что множество класса эквивалентности является в точности множеством слоев канонического отображения Если является топологическим пространством , то задание топологии факторизации, индуцированной с помощью , превратит его в факторпространство и превратит в факторкарту. С точностью до гомеоморфизма эта конструкция является репрезентативной для всех факторпространств; точное значение этого сейчас объясняется. ${\displaystyle \,\сим \,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle [x]:=\{z\in X:z\sim x\}}$${\displaystyle X/{\sim }:=\{[x]:x\in X\}}$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$${\displaystyle q(x):=[x]}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle а\,\сим \,б}$${\displaystyle q(a)=q(b);}$${\displaystyle q(x)=q^{-1}(q(x))}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle д.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle д}$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$

Пусть будет сюръекцией между топологическими пространствами (еще не предполагается, что она непрерывна или является фактор-отображением) и объявим для всех , что тогда и только тогда, когда Тогда есть отношение эквивалентности на такое, что для каждого из которого следует, что (определено как ) является одноэлементным множеством ; обозначим уникальный элемент в через (так что по определению, ). Назначение определяет биекцию между слоями и точками в Определим отображение , как указано выше (через ), и зададим фактор-топологию, индуцированную с помощью (что делает фактор-отображение). Эти отображения связаны соотношением: Из этого и из того факта, что является фактор-отображением, следует, что является непрерывным тогда и только тогда, когда это верно для Кроме того, является фактор-отображением тогда и только тогда, когда является гомеоморфизмом (или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда и его обратное являются непрерывными). ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle a,b\in X}$${\displaystyle а\,\сим \,б}$${\displaystyle f(a)=f(b).}$${\displaystyle \,\сим \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle [x]=f^{-1}(f(x)),}$${\displaystyle f([x])}$${\displaystyle f([x])=\{\,f(z)\,:z\in [x]\}}$${\displaystyle f([x])}$${\displaystyle {\hat {f}}([x])}$${\displaystyle f([x])=\{\,{\hat {f}}([x])\,\}}$${\displaystyle [x]\mapsto {\hat {f}}([x])}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$${\displaystyle q(x):=[x]}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle д}$${\displaystyle д}$$${\displaystyle f={\hat {f}}\circ q\quad {\text{ и }}\quad q={\hat {f}}^{-1}\circ f.}$$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$${\displaystyle {\шляпа {ж}}}$

Анаследственно факторное отображение — это сюръективное отображениесо свойством, что для каждого подмножестваограничениетакже является факторным отображением. Существуют факторные отображения, которые не являются наследственно факторными.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle T\subseteq Y,}$${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$

• Склеивание . Топологи говорят о склеивании точек вместе. Если — топологическое пространство, склеивание точек и в означает рассмотрение факторпространства, полученного из отношения эквивалентности , тогда и только тогда, когда или (или ).${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\сим б}$${\displaystyle а=б}$${\displaystyle а=х,b=у}$${\displaystyle а=у,b=х}$
• Рассмотрим единичный квадрат и отношение эквивалентности ~, порожденное требованием, чтобы все граничные точки были эквивалентны, тем самым отождествляя все граничные точки с одним классом эквивалентности . Тогда гомеоморфно сфере${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$${\displaystyle I^{2}/\sim }$ ${\displaystyle S^{2}.}$

• Пространство сопряжения . В более общем смысле, предположим,чтоесть пространство иесть подпространство Можно идентифицировать все точки водном классе эквивалентности и оставить точки внеэквивалентными только себе. Результирующее фактор-пространство обозначаетсяТогда 2-сфера гомеоморфна замкнутому диску , граница которого идентифицирована в одной точке:${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X/A.}$${\displaystyle D^{2}/\partial {D^{2}}.}$
• Рассмотрим множество действительных чисел с обычной топологией и запишем тогда и только тогда, когда является целым числом . Тогда факторпространство гомеоморфно единичной окружности посредством гомеоморфизма, который переводит класс эквивалентности в${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y}$${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \exp(2\pi ix).}$
• Обобщение предыдущего примера следующее: Предположим, что топологическая группа непрерывно действует на пространстве Можно образовать отношение эквивалентности на , сказав, что точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат в одной и той же орбите . Фактор-пространство по этому отношению называется пространством орбит , обозначаемым В предыдущем примере действует на с помощью переноса. Пространство орбит гомеоморфно${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/G.}$${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{1}.}$
  • Примечание : Обозначение несколько двусмысленно. Если понимается как группа, действующая на посредством сложения, то частное — это окружность. Однако, если рассматривается как топологическое подпространство (которое идентифицируется как одна точка), то частное (которое идентифицируется с множеством ) — это счетный бесконечный букет окружностей, соединенных в одной точке${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• Следующий пример показывает, что в общем случае неверно , что если является факторным отображением , то каждая сходящаяся последовательность (соответственно, каждая сходящаяся сеть ) в имеет подъем (на ) до сходящейся последовательности (или сходящейся сети ) в Пусть и Пусть и пусть будет факторным отображением , так что и для каждого Отображение, определенное с помощью , хорошо определено (потому что ) и гомеоморфизмом . Пусть и пусть будут любыми последовательностями (или, в более общем смысле, любыми сетями) со значениями в , такими что в Тогда последовательность сходится к в , но не существует никакого сходящегося подъема этой последовательности с помощью факторного отображения (то есть не существует последовательности в , которая и сходится к некоторому и удовлетворяет для каждого ). Этот контрпример можно обобщить на сети , позволив быть любым направленным множеством , и превратив в сеть, объявив, что для любого выполняется тогда и только тогда, когда и (1) и (2) если тогда -индексированная сеть, определенная путем допуска равного и равного , не имеет подъема (на ) до сходящейся -индексированной сети в${\displaystyle q:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X=[0,1]}$${\displaystyle \,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\right\}.}$${\displaystyle Y:=X/{\sim }}$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$${\displaystyle q(x):=[x],}$${\displaystyle q(0)=q(1)=\{0,1\}}$${\displaystyle q(x)=\{x\}}$${\displaystyle x\in (0,1).}$${\displaystyle h:X/{\sim }\to S^{1}\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle h([x]):=e^{2\pi ix}}$${\displaystyle e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}}$${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ and }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle a_{\bullet }\to 0{\text{ and }}b_{\bullet }\to 1}$${\displaystyle X=[0,1].}$$${\displaystyle y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_{2}\right),y_{4}:=q\left(b_{2}\right),\ldots }$$${\displaystyle [0]=[1]}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y_{i}=q\left(s_{i}\right)}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle (A,\leq )}$${\displaystyle I:=A\times \{1,2\}}$${\displaystyle (a,m),(b,n)\in I,}$ ${\displaystyle (m,a)\;\leq \;(n,b)}$${\displaystyle a\leq b,}$${\displaystyle a=b{\text{ then }}m\leq n;}$${\displaystyle A}$${\displaystyle y_{(a,m)}}$${\displaystyle a_{i}{\text{ if }}m=1}$${\displaystyle b_{i}{\text{ if }}m=2}$${\displaystyle q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X=[0,1].}$

Факторные отображения характеризуются среди сюръективных отображений следующим свойством: если — любое топологическое пространство и — любая функция, то является непрерывным тогда и только тогда, когда является непрерывным.${\displaystyle q:X\to Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f:Y\to Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ q}$

Фактор-пространство вместе с фактор-отображением характеризуется следующим универсальным свойством : если — непрерывное отображение, такое что для всех влечет , то существует единственное непрерывное отображение, такое что Другими словами, следующая диаграмма коммутативна:${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$${\displaystyle g:X\to Z}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle g(a)=g(b)}$${\displaystyle a,b\in X,}$${\displaystyle f:X/{\sim }\to Z}$${\displaystyle g=f\circ q.}$

Говорят, что спускается к фактору для выражения этого, то есть, что он факторизуется через факторное пространство. Непрерывные отображения, определенные на , являются, таким образом, именно теми отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определенных на , которые соблюдают отношение эквивалентности (в том смысле, что они отправляют эквивалентные элементы в один и тот же образ). Этот критерий широко используется при изучении факторных пространств.${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X}$

При наличии непрерывной сюръекции полезно иметь критерии, с помощью которых можно определить, является ли отображением факторизации. Два достаточных критерия — быть открытым или закрытым . Обратите внимание, что эти условия являются только достаточными , а не необходимыми . Легко построить примеры отображений факторизации, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп отображение факторизации открыто.${\displaystyle q:X\to Y}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

Разделение

• В общем случае факторпространства ведут себя плохо по отношению к аксиомам разделения. Свойства разделения не обязательно должны наследоваться и могут иметь свойства разделения, не разделяемые${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle X/{\sim }}$является пространством T1 тогда и только тогда, когда каждый класс эквивалентности замкнут в${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X.}$
• Если фактор-отображение открыто , то является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда ~ является замкнутым подмножеством пространства произведения${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X\times X.}$

Связанность

• Если пространство связно или путе-связно , то таковыми являются и все его фактор-пространства.
• Факторпространство односвязного или стягиваемого пространства не обязано обладать этими свойствами.

Компактность

• Если пространство компактно, то и все его факторпространства компактны.
• Факторпространство локально компактного пространства не обязано быть локально компактным.

Измерение

• Топологическая размерность факторпространства может быть больше (а также меньше) размерности исходного пространства; такими примерами являются заполняющие пространство кривые .

Топология

• Покрывающее пространство  – Тип непрерывного отображения в топологии
• Непересекающееся объединение (топология)  – пространство, образованное путем оснащения непересекающегося объединения базовых множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Окончательная топология  – наилучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными
• Конус отображения (топология)  – топологическое построениеPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Пространство произведений  – Топология декартовых произведений топологических пространствPages displaying short descriptions of redirect targets
• Подпространство (топология)  – Унаследованная топологияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологическое пространство  – Математическое пространство с понятием близости.

Алгебра

• Категория коэффициента
• Факторная группа  – группа, полученная путем объединения схожих элементов большей группы.
• Факторное пространство (линейная алгебра)  – векторное пространство, состоящее из аффинных подмножеств
• Конус отображения (гомологическая алгебра)  – Инструмент в гомологической алгебре

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для студентов по математике. Перевод Бербериана, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Келли, Джон Л. (1975) [1955]. Общая топология . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 27 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  1365153.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley . ISBN 0-486-43479-6.