Конус отображения (топология)

В математике , особенно в теории гомотопий , конус отображения — это конструкция в топологии, аналогичная факторпространству и обозначаемая . По-другому его также называют гомотопическим коволокном и обозначают . Его двойственное, расслоение , называется волокном отображения . Конус отображения можно понимать как цилиндр отображения , начальный конец которого сжат в точку. Конусы отображения часто применяются в теории гомотопий пунктированных пространств .${\displaystyle C_{f}}$${\displaystyle Сф}$ ${\displaystyle Мф}$

При наличии отображения конус отображения определяется как факторпространство цилиндра отображения относительно отношения эквивалентности , . Здесь обозначает единичный интервал [0, 1] со стандартной топологией . Обратите внимание, что некоторые авторы (например, Дж. Питер Мэй ) используют противоположное соглашение, переключая 0 и 1.${\displaystyle f\двоеточие от X до Y}$${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle (X\times I)\sqcup _{f}Y}$ ${\displaystyle \forall x,x'\in X,(x,0)\sim \left(x',0\right)\,}$${\displaystyle (x,1)\sim f(x)}$${\displaystyle Я}$

Визуально, берется конус на X (цилиндр , один конец которого (конец 0) сжат в точку) и приклеивается к Y с помощью отображения f (конец 1).${\displaystyle X\times I}$

Грубо говоря, берется факторпространство по образу X , поэтому ; это не совсем верно из-за проблем с множеством точек, но такова философия, и она уточняется такими результатами, как гомология пары и понятие n -связного отображения.${\displaystyle C_{f}=Y/f(X)}$

Выше приведено определение для карты неточечных пространств; для карты точечных пространств (так что ) также идентифицируются все . Формально, . Таким образом, один конец и «шов» все идентифицируются с${\displaystyle f\двоеточие (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$${\displaystyle f\двоеточие x_{0}\mapsto y_{0}}$${\displaystyle x_{0}\times I}$${\displaystyle (x_{0},t)\sim \left(x_{0},t'\right)}$${\displaystyle y_{0}.}$

Если — окружность , то конус отображения можно рассматривать как факторпространство несвязного объединения Y с диском , образованным путем отождествления каждой точки x на границе с точкой в ​​Y .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle f(x)}$

Рассмотрим, например, случай, когда Y — диск , а — стандартное включение окружности как границы . Тогда конус отображения гомеоморфен двум дискам, соединенным на их границе, которая топологически является сферой .${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle f\colon S^{1}\to Y=D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Конус отображения является частным случаем цилиндра двойного отображения . Это по сути цилиндр, присоединенный одним концом к пространству через отображение.${\displaystyle X\times I}$${\displaystyle Y_{1}}$

${\displaystyle f_{1}:X\to Y_{1}}$

и присоединен на другом конце к пространству через карту${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle f_{2}:X\to Y_{2}}$

Конус отображения является вырожденным случаем цилиндра двойного отображения (также известного как гомотопический выталкиватель), в котором один из конусов представляет собой одну точку.${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$

Двойственным к конусу отображения является волокно отображения . При наличии заостренного отображения волокно отображения определяется как ^[1]${\displaystyle F_{f}}$${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),}$

${\displaystyle F_{f}=\left\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ and }}\omega (1)=f(x)\right\}}$.

Здесь I — единичный интервал, а — непрерывный путь в пространстве ( экспоненциальный объект ) . Иногда волокно отображения обозначается как ; однако это противоречит той же нотации для цилиндра отображения.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle Y^{I}}$${\displaystyle Mf}$

Он двойственен к конусу отображения в том смысле, что произведение выше по сути является расслоенным произведением или обратным вытягиванием , которое двойственно выталкиванию, используемому для построения конуса отображения. ^[2] В этом конкретном случае двойственность по сути является двойственностью каррирования , в том смысле, что конус отображения имеет каррированную форму , где — это просто альтернативная запись для пространства всех непрерывных отображений из единичного интервала в . Два варианта связаны сопряженным функтором . Заметим, что каррирование сохраняет редуцированную природу отображений: в одном случае — к вершине конуса, а в другом случае — пути к базовой точке.${\displaystyle X\times _{f}Y}$ ${\displaystyle X\sqcup _{f}Y}$${\displaystyle (X\times I)\sqcup _{f}Y}$${\displaystyle X\times _{f}(I\to Y)}$${\displaystyle I\to Y}$${\displaystyle Y^{I}}$${\displaystyle Y}$

Присоединение ячейки.

Если задано пространство X и петля, представляющая элемент фундаментальной группы X , мы можем сформировать конус отображения . Эффект этого состоит в том, что петля становится стягиваемой в , и, следовательно, класс эквивалентности в фундаментальной группе будет просто единичным элементом .${\displaystyle \alpha \colon S^{1}\to X}$${\displaystyle C_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle C_{\alpha }}$

Учитывая групповое представление с помощью генераторов и отношений, получаем 2-комплекс с этой фундаментальной группой.

Конус отображения позволяет интерпретировать гомологию пары как редуцированную гомологию фактора. А именно, если E — теория гомологии , а — корасслоение , то${\displaystyle i\colon A\to X}$

${\displaystyle E_{*}(X,A)=E_{*}(X/A,*)={\tilde {E}}_{*}(X/A)}$,

что следует за применением вырезания к конусу отображения. ^[2]

Отображение между односвязными комплексами CW является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда его конус отображения стягиваем.${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$

В более общем смысле, карта называется n -связной (как карта), если ее конус отображения является n -связным (как пространство) и еще немного больше. ^{[3] [ нужна страница ]}

Пусть — фиксированная теория гомологии . Отображение индуцирует изоморфизмы на тогда и только тогда, когда отображение индуцирует изоморфизм на , т.е. .${\displaystyle \mathbb {} H_{*}}$${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle H_{*}}$${\displaystyle \{pt\}\hookrightarrow C_{f}}$${\displaystyle H_{*}}$${\displaystyle H_{*}(C_{f},pt)=0}$

Конусы отображения широко используются для построения длинных коточных последовательностей Пуппе , из которых можно получить длинные точные последовательности гомотопий и относительных гомотопических групп. ^[1]

• Кофибрация
• Конус отображения (гомологическая алгебра)