Квазиалгебраически замкнутое поле

В математике поле F называется квазиалгебраически замкнутым (или C ₁ ), если каждый непостоянный однородный многочлен P над F имеет нетривиальный ноль при условии, что число его переменных больше его степени. Идея квазиалгебраически замкнутых полей была исследована CC Tsen , учеником Эмми Нётер , в статье 1936 года (Tsen 1936); а позднее Сержем Лангом в его диссертации 1951 года в Принстонском университете и в его статье 1952 года (Lang 1952). Сама идея приписывается научному руководителю Ланга Эмилю Артину .

Формально, если P — непостоянный однородный многочлен от переменных

X1 , ... _, XN _,

и степени d, удовлетворяющей

г < Н

тогда он имеет нетривиальный ноль над F ; то есть для некоторого x _i в F , не всех равных 0, мы имеем

Р ( х ₁ , ..., х _N ) = 0.

На геометрическом языке гиперповерхность , определяемая P в проективном пространстве степени N − 2 , имеет точку над F.

• Любое алгебраически замкнутое поле является квазиалгебраически замкнутым. Фактически, любой однородный многочлен по крайней мере от двух переменных над алгебраически замкнутым полем имеет нетривиальный нуль. ^[1]
• Любое конечное поле квазиалгебраически замкнуто по теореме Шевалле–Уорнинга . ^{[2] [3] [4]}
• Поля алгебраических функций размерности 1 над алгебраически замкнутыми полями являются квазиалгебраически замкнутыми по теореме Тзена . ^{[3] [5]}
• Максимальное неразветвленное расширение полного поля с дискретным нормированием и совершенным полем вычетов является квазиалгебраически замкнутым. ^[3]
• Полное поле с дискретным оцениванием и алгебраически замкнутым полем вычетов является квазиалгебраически замкнутым по результату Лэнга. ^{[3] [6]}
• Псевдоалгебраически замкнутое поле нулевой характеристики является квазиалгебраически замкнутым. ^[7]

• Любое алгебраическое расширение квазиалгебраически замкнутого поля квазиалгебраически замкнуто.
• Группа Брауэра конечного расширения квазиалгебраически замкнутого поля тривиальна. ^{[8] [9] [10]}
• Квазиалгебраически замкнутое поле имеет когомологическую размерность не более 1. ^[10]

Квазиалгебраически замкнутые поля также называются C ₁ . Поле C _k , в более общем смысле, — это поле, для которого любой однородный многочлен степени d от N переменных имеет нетривиальный нуль, при условии, что

д ^к < Н ,

для k ≥ 1. ^[11] Это условие было впервые введено и изучено Лэнгом. ^[10] Если поле есть C _{i ,} то таковым является и конечное расширение. ^{[11] [12]} Поля C ₀ являются в точности алгебраически замкнутыми полями. ^{[13] [14]}

Лэнг и Нагата доказали, что если поле равно C _k , то любое расширение степени трансцендентности n равно C _{k + n} . ^{[15] [16] [17]} Наименьшее k такое, что K является полем C _k ( если такого числа не существует), называется диофантовой размерностью dd( K ) поля K . ^[13]${\displaystyle \infty}$

Каждое конечное поле есть C ₁ . ^[7]

_{Предположим ,} что поле k равно C2 .

• Любое тело D, конечное над k как центром, обладает тем свойством, что приведенная норма D ^∗ → k ^∗ является сюръективной. ^[16]
• Каждая квадратичная форма от 5 или более переменных над k является изотропной . ^[16]

Артин предположил, что p -адические поля являются C ₂ , но Гай Терджанян нашел p -адические контрпримеры для всех p . ^{[18] [19]} Теорема Акса–Кохена применила методы из теории моделей , чтобы показать, что гипотеза Артина верна для Q _p с достаточно большим p (в зависимости от d ).

Поле K слабо C _{k , d} , если для каждого однородного многочлена степени d от N переменных, удовлетворяющего условию

д ^к < Н

Замкнутое по Зарискому множество V ( f ) многообразия P ⁿ ( K ) содержит подмногообразие , которое замкнуто по Зарискому над K .

Поле, которое слабо C _{k , d} для каждого d, слабо C k _. [ ^2]

• Поле C _k слабо C _k . ^[2]
• Идеальное PAC слабое поле C _k есть C _k . ^[2 ]
• Поле K является слабо C _{k , d} тогда и только тогда, когда каждая форма, удовлетворяющая условиям, имеет точку x, определенную над полем, которое является первичным расширением K . ^[20]
• Если поле слабо C _k , то любое расширение степени трансцендентности n слабо C _{k + n} . ^[17]
• Любое расширение алгебраически замкнутого поля слабо C ₁ . ^[21]
• Любое поле с проциклической абсолютной группой Галуа является слабо C ₁ . ^[21]
• Любое поле положительной характеристики слабо C ₂ . ^[21]
• Если поле рациональных чисел и поля функций слабо C ₁ , то каждое поле слабо C ₁ . ^[21]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}$

• Теорема Брауэра о формах
• Ранг Цен

• Акс, Джеймс ; Кохен, Саймон (1965). «Диофантовы задачи над локальными полями I». Amer. J. Math . 87 (3): 605– 630. doi :10.2307/2373065. JSTOR  2373065. Zbl  0136.32805.
• Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Том. 11 (3-е исправленное изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-540-77269-9. Збл  1145.12001.
• Жилль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Збл  1137.12001.
• Гринберг, М. Дж. (1969). Лекции о формах многих переменных . Серия заметок по лекционным записям по математике. Нью-Йорк-Амстердам: WA Benjamin. Zbl  0185.08304.
• Ланг, Серж (1952), «О квазиалгебраическом замыкании», Annals of Mathematics , 55 (2): 373– 390, doi :10.2307/1969785, JSTOR  1969785, Zbl  0046.26202
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Збл  0869.11051.
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Springer. С.  109–126 . ISBN 978-0-387-72487-4. Збл  1130.12001.
• Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике . Том 67. Перевод Гринберга, Марвина Джея . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. Збл  0423.12016.
• Серр, Жан-Пьер (1997). Когомологии Галуа . Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-61990-9. Збл  0902.12004.
• Цен, К. (1936), "Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper", J. Chinese Math. Соц. , 171 : 81–92 , Збл  0015.38803