Главный идеал

В алгебре простой идеал — это подмножество кольца , которое разделяет многие важные свойства простого числа в кольце целых чисел . ^{[1] [2] Простые идеалы для целых} чисел — это множества, которые содержат все кратные заданному простому числу вместе с нулевым идеалом .

Первоначальные идеалы являются простыми, а простые идеалы являются как первичными, так и полупервичными .

Идеал P коммутативного кольца R является первичным , если он обладает следующими двумя свойствами:

• Если a и b — два элемента R, такие, что их произведение ab является элементом P , то a принадлежит P или b принадлежит P ,
• P — это не всё кольцо R.

Это обобщает следующее свойство простых чисел, известное как лемма Евклида : если p — простое число и если p делит произведение ab двух целых чисел , то p делит a или p делит b . Поэтому мы можем сказать

Положительное целое число n является простым числом тогда и только тогда, когда является простым идеалом в${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

• Простой пример: в кольце подмножество четных чисел является простым идеалом.${\displaystyle R=\mathbb {Z},}$
• При наличии целостной области любой простой элемент порождает главный простой идеал . Например, возьмем неприводимый многочлен в кольце многочленов над некоторым полем . Критерий Эйзенштейна для целостных областей (следовательно, UFD ) может быть эффективным для определения того, является ли элемент в кольце многочленов неприводимым .${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p\in R}$${\displaystyle (п)}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$
• Если R обозначает кольцо многочленов от двух переменных с комплексными коэффициентами , то идеал, порожденный многочленом Y ² − X ³ − X − 1, является простым идеалом (см. эллиптическую кривую ).${\displaystyle \mathbb {C} [X,Y]}$
• В кольце всех многочленов с целыми коэффициентами идеал, порожденный 2 и X, является простым идеалом. Идеал состоит из всех многочленов, построенных путем взятия 2 раз элемента из и сложения его с X раз другим многочленом из (что преобразует постоянный коэффициент в последнем многочлене в линейный коэффициент). Таким образом, результирующий идеал состоит из всех тех многочленов, постоянный коэффициент которых четный.${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$
• В любом кольце R максимальный идеал — это идеал M , который является максимальным в множестве всех собственных идеалов кольца R , т.е. M содержится ровно в двух идеалах кольца R , а именно в самом M и во всем кольце R. Каждый максимальный идеал на самом деле является простым. В области главных идеалов каждый ненулевой простой идеал является максимальным, но в общем случае это неверно. Для UFD Nullstellensatz Гильберта утверждает, что каждый максимальный идеал имеет вид${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle (x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}).}$
• Если M — гладкое многообразие , R — кольцо гладких действительных функций на M , а x — точка в M , то множество всех гладких функций f с f  ( x ) = 0 образует простой идеал (даже максимальный идеал) в R.

• Рассмотрим состав следующих двух частных :

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}}$

Хотя первые два кольца являются целостными доменами (фактически первое является UFD), последнее не является целостным доменом, поскольку оно изоморфно

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C} }$

поскольку разлагается на , что подразумевает существование делителей нуля в кольце частных, что не позволяет ему быть изоморфным , а вместо этого — нецелостной области (по китайской теореме об остатках ).${\displaystyle (y^{2}-1)}$${\displaystyle (y-1)(y+1)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} }$

Это показывает, что идеал не является простым числом. (См. первое свойство, перечисленное ниже.)${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]}$

• Другой не-пример - это идеал, поскольку у нас есть${\displaystyle (2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]}$

${\displaystyle x^{2}+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^{2}+5)}$

но ни то, ни другое не являются элементами идеала.${\displaystyle x-1}$${\displaystyle x+1}$

• Идеал I в кольце R (с единицей ) является простым тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R / I является областью целостности . В частности, коммутативное кольцо (с единицей) является областью целостности тогда и только тогда, когда (0) является простым идеалом. ( Нулевое кольцо не имеет простых идеалов, потому что идеал (0) является всем кольцом.)
• Идеал I является простым тогда и только тогда, когда его теоретико-множественное дополнение мультипликативно замкнуто . ^[3]
• Каждое ненулевое кольцо содержит по крайней мере один простой идеал (фактически оно содержит по крайней мере один максимальный идеал), что является прямым следствием теоремы Крулля .
• В более общем случае, если S — любое мультипликативно замкнутое множество в R , то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал R , максимальный относительно того, чтобы быть дизъюнктным с S , и, более того, идеал должен быть простым. Это может быть далее обобщено на некоммутативные кольца (см. ниже). ^[4] В случае S = {1} мы имеем теорему Крулля , и она восстанавливает максимальные идеалы R . Другой прототипической m-системой является множество { x , x ² , x ³ , x ⁴ , ...} всех положительных степеней ненильпотентного элемента .
• Прообраз простого идеала при гомоморфизме колец является простым идеалом. Аналогичный факт не всегда верен для максимальных идеалов , что является одной из причин, по которой алгебраические геометры определяют спектр кольца как его множество простых, а не максимальных идеалов; требуется, чтобы гомоморфизм колец давал отображение между их спектрами.
• Множество всех простых идеалов (называемое спектром кольца ) содержит минимальные элементы (называемые минимальными простыми идеалами ). Геометрически они соответствуют неприводимым компонентам спектра.
• Сумма двух простых идеалов не обязательно является простой. Для примера рассмотрим кольцо с простыми идеалами P = ( x ² + y ² − 1) и Q = ( x ) (идеалы, порожденные x ² + y ² − 1 и x соответственно). Их сумма P + Q = ( x ² + y ² − 1, x ) = ( y ² − 1, x ) однако не является простой: y ² − 1 = ( y − 1)( y + 1) ∈ P + Q , но два ее множителя не являются простыми. С другой стороны, фактор-кольцо имеет делители нуля , поэтому оно не является областью целостности, и, таким образом, P + Q не может быть простым.${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$
• Не каждый идеал, который не может быть разложен на два идеала, является простым идеалом; например, не может быть разложен на множители, но не является простым.${\displaystyle (x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]}$
• В коммутативном кольце R, содержащем по крайней мере два элемента, если каждый собственный идеал является простым, то кольцо является полем. (Если идеал (0) является простым, то кольцо R является областью целостности. Если q — любой ненулевой элемент кольца R , а идеал ( q ² ) является простым, то он содержит q , и тогда q обратим .)
• Ненулевой главный идеал является простым тогда и только тогда, когда он порождается простым элементом . В UFD каждый ненулевой простой идеал содержит простой элемент.

Одно из применений простых идеалов происходит в алгебраической геометрии , где многообразия определяются как нулевые множества идеалов в кольцах многочленов. Оказывается, что неприводимые многообразия соответствуют простым идеалам. В современном абстрактном подходе начинают с произвольного коммутативного кольца и превращают множество его простых идеалов, также называемое его спектром , в топологическое пространство и, таким образом, могут определять обобщения многообразий, называемые схемами , которые находят применение не только в геометрии , но и в теории чисел .

Введение простых идеалов в алгебраическую теорию чисел стало важным шагом вперед: стало ясно, что важное свойство однозначной факторизации, выраженное в фундаментальной теореме арифметики, не выполняется в каждом кольце целых алгебраических чисел , но замена была найдена, когда Ричард Дедекинд заменил элементы идеалами, а простые элементы — простыми идеалами; см. Область Дедекинда .

Понятие простого идеала можно обобщить на некоммутативные кольца, используя коммутативное определение «идеально». Вольфганг Крулль выдвинул эту идею в 1928 году . ^[5] Следующее содержание можно найти в таких текстах, как ^[6] Гудёрла и Лэма. ^[7] Если R — (возможно, некоммутативное) кольцо, а P — собственный идеал кольца R , мы говорим, что P — простое кольцо , если для любых двух идеалов A и B кольца R :

• Если произведение идеалов AB содержится в P , то по крайней мере один из A и B содержится в P.

Можно показать, что это определение эквивалентно коммутативному в коммутативных кольцах. Легко проверить, что если идеал некоммутативного кольца R удовлетворяет коммутативному определению простоты, то он также удовлетворяет некоммутативной версии. Идеал P, удовлетворяющий коммутативному определению простоты, иногда называют совершенно простым идеалом, чтобы отличить его от других просто простых идеалов в кольце. Совершенно простые идеалы являются простыми идеалами, но обратное неверно. Например, нулевой идеал в кольце матриц n  ×  n над полем является простым идеалом, но он не является совершенно простым.

Это близко к исторической точке зрения на идеалы как идеальные числа , поскольку для кольца « A содержится в P » — это другой способ сказать « P делит A », а единичный идеал R представляет собой единицу.${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Эквивалентные формулировки идеала P ≠ R, являющегося простым числом, включают следующие свойства:

• Для всех a и b из R , ( a )( b ) ⊆ P влечет a ∈ P или b ∈ P .
• Для любых двух правых идеалов кольца R AB ⊆ P влечет A ⊆ P или B ⊆ P .
• Для любых двух левых идеалов R AB ⊆ P влечет A ⊆ P или B ⊆ P .
• Для любых элементов a и b из R , если aRb ⊆ P , то a ∈ P или b ∈ P.

Первичные идеалы в коммутативных кольцах характеризуются наличием мультипликативно замкнутых дополнений в R , и с небольшими изменениями подобную характеристику можно сформулировать для первичных идеалов в некоммутативных кольцах. Непустое подмножество S ⊆ R называется m-системой , если для любых a и b в S существует r в R такое, что arb находится в S . ^[8] Следующий пункт затем может быть добавлен к списку эквивалентных условий выше:

• Дополнение R ∖ P является m-системой.

• Любой примитивный идеал является первичным.
• Как и в случае коммутативных колец, максимальные идеалы являются первичными, а первичные идеалы также содержат минимальные первичные идеалы.
• Кольцо является первичным кольцом тогда и только тогда, когда нулевой идеал является первичным идеалом, и, более того, кольцо является областью тогда и только тогда, когда нулевой идеал является вполне первичным идеалом.
• Другой факт из коммутативной теории, отраженный в некоммутативной теории, состоит в том, что если A — ненулевой R - модуль , а P — максимальный элемент в частично упорядоченном множестве аннуляторных идеалов подмодулей A , то P — простое число.

• Лемма об избегании простого кольца . Если R — коммутативное кольцо, A — подкольцо (возможно, без единицы), а I ₁ , ..., I _n — набор идеалов кольца R с максимум двумя непростыми элементами, то если A не содержится ни в одном I _j , то оно также не содержится в объединении I 1 , ..., I _n . ^[9] В частности, A _может быть идеалом кольца R .
• Если S — любая m-система в R , то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал I в R , максимальный относительно того, чтобы быть дизъюнктным с S , и, более того, идеал I должен быть простым (простота I может быть доказана следующим образом: если , то существуют элементы, такие что по максимальному свойству I . Теперь, если , то , что является противоречием). ^[4] В случае S = {1} мы имеем теорему Крулля , и это восстанавливает максимальные идеалы R . Другой прототипической m-системой является множество { x , x ² , x ³ , x ⁴ , ...} всех положительных степеней ненильпотентного элемента .${\displaystyle a,b\not \in I}$${\displaystyle s,t\in S}$${\displaystyle s\in I+(a),t\in I+(b)}$${\displaystyle (a)(b)\subset I}$${\displaystyle st\in (I+(a))(I+(b))\subset I+(a)(b)\subset I}$
• Для простого идеала P дополнение R ∖ P имеет еще одно свойство помимо того, что является m-системой. Если xy принадлежит R ∖ P , то и x, и y должны принадлежать R ∖ P , поскольку P является идеалом. Множество, содержащее делители своих элементов, называется насыщенным .
• Для коммутативного кольца R существует своего рода обратный вариант предыдущего утверждения: если S — любое непустое насыщенное и мультипликативно замкнутое подмножество R , то дополнение R ∖ S является объединением простых идеалов R. ^[10]
• Пересечение элементов нисходящей цепочки простых идеалов является простым идеалом, а в коммутативном кольце объединение элементов восходящей цепочки простых идеалов является простым идеалом. С учетом леммы Цорна эти наблюдения подразумевают, что посет простых идеалов коммутативного кольца (частично упорядоченного по включению) имеет максимальные и минимальные элементы.

Первичные идеалы часто могут быть получены как максимальные элементы определенных наборов идеалов. Например:

• Идеал, максимальный относительно наличия пустого пересечения с фиксированной m-системой, является простым.
• Идеал, максимальный среди аннуляторов подмодулей фиксированного R -модуля M, является простым.
• В коммутативном кольце максимальный относительно того, чтобы быть неглавным, идеал является простым. ^[11]
• В коммутативном кольце максимальный относительно несчётно порождённости идеал является простым. ^[12]

• Радикальный идеал
• Максимальный идеал
• Теорема Дедекинда–Куммера
• Поле остатков

• Гудэрл, К. Р.; Уорфилд, Р. Б. младший (2004), Введение в некоммутативные нётеровы кольца , Лондонское математическое общество, студенческие тексты, т. 61 (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, стр. xxiv+344, doi : 10.1017/CBO9780511841699, ISBN 0-521-54537-4, МР  2080008
• Якобсон, Натан (1989), Основы алгебры. II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, МР  1009787
• Капланский, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. x+180, MR  0254021
• Лэм, TY (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR  1838439, Zbl  0980.16001
• Лам, Тайвань ; Рейес, Мануэль Л. (2008), «Принцип простого идеала в коммутативной алгебре», J. Algebra , 319 (7): 3006–3027 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2007.07.016 , ISSN  0021-8693, MR  2397420, Zbl  1168.13002
• «Первичный идеал», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]