Лемма об избегании простого

You can help expand this article with text translated from the corresponding article in French. (October 2018) Click [show] for important translation instructions. View a machine-translated version of the French article. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikipedia. Do not translate text that appears unreliable or low-quality. If possible, verify the text with references provided in the foreign-language article. You must provide copyright attribution in the edit summary accompanying your translation by providing an interlanguage link to the source of your translation. A model attribution edit summary is Content in this edit is translated from the existing French Wikipedia article at [[:fr:Lemme d'évitement des idéaux premiers]]; see its history for attribution. You may also add the template {{Translated|fr|Lemme d'évitement des idéaux premiers}} to the talk page. For more guidance, see Wikipedia:Translation.

В алгебре лемма об избегании простых чисел гласит, что если идеал I в коммутативном кольце R содержится в объединении конечного числа простых идеалов P _i , то он содержится в P _i для некоторого i .

Существует много вариаций леммы (ср. Хохстер); например, если кольцо R содержит бесконечное поле или конечное поле достаточно большой мощности, то утверждение следует из факта линейной алгебры , что векторное пространство над бесконечным полем или конечным полем большой мощности не является конечным объединением своих собственных векторных подпространств. ^[1]

Следующее утверждение и аргумент, пожалуй, являются наиболее стандартными.

Утверждение : Пусть E — подмножество R , которое является аддитивной подгруппой R и мультипликативно замкнуто . Пусть — идеалы, такие что являются простыми идеалами для . Если E не содержится ни в одном из , то E не содержится в объединении .${\displaystyle I_{1},I_{2},\dots ,I_{n},n\geq 1}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle i\geq 3}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle \cup I_{i}}$

Доказательство индукцией по n : Идея состоит в том, чтобы найти элемент, который есть в E и не находится ни в одном из . Основной случай n = 1 тривиален. Далее предположим, что n ≥ 2. Для каждого i выберем${\displaystyle I_{i}}$

${\displaystyle z_{i}\in E-\cup _{j\neq i}I_{j}}$

где множество справа непусто по индуктивной гипотезе. Мы можем предположить для всех i ; в противном случае, some избегает всех 's и мы закончили. Положим${\displaystyle z_{i}\in I_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle I_{i}}$

${\displaystyle z=z_{1}\dots z_{n-1}+z_{n}}$.

Тогда z принадлежит E, но не принадлежит ни одному из 's. Действительно, если z принадлежит для некоторого , то принадлежит , противоречие. Предположим , что z принадлежит . Тогда принадлежит . Если n равно 2, то все готово. Если n > 2, то, поскольку — простой идеал, то принадлежит , противоречие.${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle i\leq n-1}$${\displaystyle z_{n}}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle z_{1}\dots z_{n-1}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle z_{i},i<n}$${\displaystyle I_{n}}$

Существует следующий вариант прайм-избегания, предложенный Э. Дэвисом.

Доказательство: ^[3] Мы рассуждаем индукцией по r . Без потери общности можно предположить, что между ' нет отношения включения ; в противном случае мы можем использовать индуктивную гипотезу.${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

Кроме того, если для каждого i , то мы закончили; таким образом, без потери общности, мы можем предположить . По индуктивной гипотезе мы находим y в J такой, что . Если не входит в , мы закончили. В противном случае, заметим, что (так как ) и так как является простым идеалом, мы имеем:${\displaystyle x\not \in {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle x+y\in I-\cup _{1}^{r-1}{\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle x+y}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle J\not \subset {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}\not \supset J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}}$.

Следовательно, мы можем выбрать в , который не находится в . Тогда, поскольку , элемент обладает требуемым свойством.${\displaystyle y'}$${\displaystyle J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle x+y\in {\mathfrak {p}}_{r}}$${\displaystyle x+y+y'}$${\displaystyle \square }$

Пусть A — нётерово кольцо , I — идеал, порожденный n элементами, а M — конечный A - модуль такой, что . Также пусть = максимальная длина M - регулярных последовательностей в I = длина каждой максимальной M - регулярных последовательностей в I . Тогда ; эту оценку можно показать с помощью избегания простых чисел выше следующим образом. Мы рассуждаем индукцией по n . Пусть — множество ассоциированных простых чисел M . Если , то для каждого i . Если , то, по избеганию простых чисел, мы можем выбрать${\displaystyle IM\neq M}$${\displaystyle d=\operatorname {depth} _{A}(I,M)}$${\displaystyle d\leq n}$${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}\}}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle I\not \subset {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle I=(y_{1},\dots ,y_{n})}$

${\displaystyle x_{1}=y_{1}+\sum _{i=2}^{n}a_{i}y_{i}}$

для некоторых из таких, что = множество делителей нуля на M . Теперь, является идеалом, порожденным элементами и, таким образом, по индуктивному предположению, . Теперь следует утверждение.${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{1}\not \in \cup _{1}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle I/(x_{1})}$${\displaystyle A/(x_{1})}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \operatorname {depth} _{A/(x_{1})}(I/(x_{1}),M/x_{1}M)\leq n-1}$

• Мел Хохстер , Теория размерности и системы параметров, дополнительное примечание
• Мацумура, Хидеюки (1986). Коммутативная теория колец. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 8. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6. MR  0879273. Zbl  0603.13001.