Сила двойки

Степень двойки — это число вида 2 ^{n ,} где n — целое число , то есть результат возведения в степень с числом два в качестве основания и целым числом  n в качестве показателя степени .

Степени двойки с неотрицательными показателями являются целыми числами: 2 ⁰ = 1 , 2 ¹ = 2 , а 2 ⁿ равно двум, умноженному на себя n раз. ^{[1] [2]} Первые десять степеней двойки для неотрицательных значений n равны:

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , ... (последовательность A000079 в OEIS )

Для сравнения, степени двойки с отрицательными показателями являются дробями : для отрицательного целого числа n , 2 ⁿ равно половине, умноженной на себя n раз. Таким образом, первые несколько степеней двойки, где n отрицательно , ⁠1/2⁠ , ⁠1/4⁠ , ⁠1/8⁠ , ⁠1/16⁠ и т. д. Иногда их называют обратными степенями двойки , поскольку каждая из них является мультипликативной обратной величиной положительной степени двойки.

Поскольку два является основанием двоичной системы счисления , степени двойки распространены в информатике . Записанная в двоичном виде, степень двойки всегда имеет вид 100...000 или 0,00...001, как и степень 10 в десятичной системе.

Два в степени n , записанное как 2 ⁿ , — это количество способов, которыми могут быть расположены биты в двоичном слове длины n . Слово, интерпретируемое как целое число без знака , может представлять значения от 0 ( 000...000 ₂ ) до 2 ⁿ − 1  ( 111...111 ₂ ) включительно. Соответствующие целые числа со знаком могут быть положительными, отрицательными и нулевыми; см. представление знаковых чисел . В любом случае, единица меньше степени двойки часто является верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие, числа этой формы часто появляются в компьютерном программном обеспечении. Например, видеоигра, работающая на 8-битной системе, может ограничивать счет или количество предметов, которые может держать игрок, до 255 — результат использования байта длиной 8 бит для хранения числа, что дает максимальное значение 2 ⁸ − 1 = 255 . Например, в оригинальной Legend of Zelda главный герой мог носить с собой только 255 рупий (игровая валюта) в любой момент времени, а в видеоигре Pac-Man на 256-м уровне есть экран убийства .

Степени двойки часто используются для измерения компьютерной памяти. Байт теперь считается восемью битами (октетом ) , что приводит к возможности 256 значений (2 ⁸ ). (Термин байт когда-то означал (а в некоторых случаях и сейчас означает) набор битов , как правило, от 5 до 32 бит, а не только 8-битную единицу.) Префикс кило в сочетании с байтом может использоваться и традиционно использовался для обозначения 1024 (2 ¹⁰ ). Однако, в целом, термин кило использовался в Международной системе единиц для обозначения 1000 (10 ³ ). Двоичные префиксы были стандартизированы, например, киби  (Ки), что означает 1024. Почти все регистры процессора имеют размеры, которые являются степенями двойки, 32 или 64 являются очень распространенными.

Степени двойки встречаются и в других местах. Для многих дисководов , по крайней мере, один из размера сектора, количества секторов на дорожку и количества дорожек на поверхность является степенью двойки. Размер логического блока почти всегда является степенью двойки.

Числа, которые не являются степенями двойки, встречаются в ряде ситуаций, например, в разрешениях видео, но они часто являются суммой или произведением только двух или трех степеней двойки или степеней двойки минус один. Например, 640 = 32 × 20 и 480 = 32 × 15. Другими словами, они имеют довольно регулярные битовые шаблоны.

Простое число , которое на единицу меньше степени двойки, называется простым числом Мерсенна . Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна, потому что оно на 1 меньше 32 (2 ⁵ ). Аналогично, простое число (например, 257 ), которое на единицу больше положительной степени двойки, называется простым числом Ферма — показатель степени сам по себе является степенью двойки. Дробь , знаменатель которой — степень двойки, называется двоично-рациональной . Числа, которые можно представить в виде сумм последовательных положительных целых чисел, называются вежливыми числами ; это в точности те числа, которые не являются степенями двойки.

Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (или, в двоичной системе счисления , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ... ) важна в теории чисел . Книга IX, предложение 36 « Начал» доказывает, что если сумма первых n членов этой прогрессии является простым числом (и, таким образом, является простым числом Мерсенна, как упоминалось выше), то эта сумма, умноженная на n- й член, является совершенным числом . Например, сумма первых 5 членов ряда 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, что является простым числом. Сумма 31, умноженная на 16 (5-й член ряда), равна 496, что является совершенным числом.

В предложении 35 книги IX доказывается, что если в геометрической прогрессии первый член вычесть из второго и последнего члена последовательности, то как избыток второго относится к первому, так и избыток последнего относится ко всем предшествующим ему. (Это переформулировка нашей формулы для геометрической прогрессии, приведенной выше.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (которая получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31), мы видим, что 62 минус 31 относится к 31 так же, как 496 минус 31 относится к сумме 31, 62, 124, 248. Следовательно, числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 в сумме дают 496, и далее это все числа, которые делят 496. Предположим, что p делит 496, и его нет среди этих чисел. Предположим, что p q равно 16 × 31 , или 31 относится к q так же, как p относится к 16. Теперь p не может делить 16, иначе оно было бы среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Следовательно, 31 не может делить q . И поскольку 31 не делит q, а q равно 496, основная теорема арифметики подразумевает, что q должно делить 16 и быть среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть q равно 4, тогда p должно быть равно 124, что невозможно, поскольку по гипотезе p не входит в число чисел 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

(последовательность A000079 в OEIS )

Начиная с 2 последняя цифра периодична с периодом 4, с циклом 2–4–8–6–, а начиная с 4 последние две цифры периодически с периодом 20. Эти шаблоны, как правило, верны для любой степени относительно любого основания . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку 2 ^k , а период является мультипликативным порядком 2 по модулю  5 ^k , что равно φ (5 ^k ) = 4 × 5 ^{k −1} (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). ^{[ необходима цитата ]}

(последовательность A140300 в OEIS )

Первые несколько степеней 2 ¹⁰ немного больше, чем те же самые степени 1000 (10 ³ ). Значения степеней 2 ¹⁰ , которые имеют отклонение менее 25%, перечислены ниже:

Для достижения 50% отклонения требуется приблизительно 17 степеней 1024, а для достижения 100% отклонения тех же степеней 1000 — приблизительно 29 степеней 1024. ^[3] См. также Двоичные префиксы и IEEE 1541-2002 .

Поскольку данные (в частности, целые числа) и адреса данных хранятся с использованием одного и того же оборудования, а данные хранятся в одном или нескольких октетах ( 2 ³ ), двойные экспоненты двух являются обычным явлением. Первые 20 из них:

См. также число Ферма , тетрацию и низшие гипероперации .

Все эти числа больше 4 заканчиваются цифрой 6. Начиная с 16 последние две цифры периодические с периодом 4, с циклом 16–56–36–96–, а начиная с 16 последние три цифры периодические с периодом 20. Эти закономерности, как правило, справедливы для любой степени относительно любого основания . Закономерность продолжается, когда каждая закономерность имеет начальную точку 2 ^k , а период — это мультипликативный порядок 2 по модулю  5 ^k , который равен φ (5 ^k ) = 4 × 5 ^{k −1} (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). ^{[ необходима цитата ]}

В связи с числами эти числа часто называют степенями Ферма 2 .

Числа образуют последовательность иррациональности : для каждой последовательности положительных целых чисел ряд${\displaystyle 2^{2^{n}}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots }$

сходится к иррациональному числу . Несмотря на быстрый рост этой последовательности, это самая медленно растущая из известных последовательностей иррациональности. ^[4]

Поскольку для типов компьютерных данных характерно иметь размер , являющийся степенью двойки, эти числа подсчитывают количество представимых значений этого типа. Например, 32-битное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять 2 ³² различных значений, которые можно рассматривать как простые битовые комбинации или чаще интерпретировать как беззнаковые числа от 0 до 2 ³² − 1 , или как диапазон знаковых чисел от −2 ³¹ до 2 ³¹ − 1 . Подробнее о представлении знаковых чисел см. в разделе дополнение до двух .

2 ² = 4

Число, которое является квадратом двойки. Также первая степень двойки тетрация двойки.

2 ⁸ = 256

Количество значений, представленных 8 битами в байте , более конкретно называемое октетом . (Термин байт часто определяется как набор битов , а не строгое определение 8-битной величины, как показано на примере термина килобайт .)

2 ¹⁰ = 1024

Двоичное приближение кило- или множителя 1000, которое вызывает изменение префикса. Например: 1024  байта = 1  килобайт (или кибибайт ).

2 ¹² = 4096

Размер аппаратной страницы процессора, совместимого с Intel x86 .

2 ¹⁵ = 32,768

Количество неотрицательных значений для 16-битного целого числа со знаком .

2 ¹⁶ = 65 536

Количество различных значений, которые можно представить одним словом на 16-битном процессоре, например, на исходных процессорах x86 . ^[5]

Максимальный диапазон переменной типа short integer в языках программирования C# , Java и SQL . Максимальный диапазон переменной типа Word или Smallint в языке программирования Pascal .

Число бинарных отношений на множестве из 4 элементов.

2 ²⁰ = 1 048 576

Двоичное приближение мега- , или множителя 1 000 000, которое вызывает изменение префикса. Например: 1 048 576  байт = 1  мегабайт (или мебибайт ).

2 ²⁴ = 16 777 216

Количество уникальных цветов , которые могут отображаться в режиме TrueColor , используемом обычными компьютерными мониторами .

Это число является результатом использования трехканальной системы RGB , где цвета определяются тремя значениями (красный, зеленый и синий) независимо в диапазоне от 0 ( 00) до 255 ( FF) включительно. Это дает 8 бит для каждого канала или 24 бита в общей сложности; например, чистый черный — #000000, чистый белый — #FFFFFF. Пространство всех возможных цветов, 16 777 216, может быть определено как 16 ⁶ (6 цифр с 16 возможными значениями для каждого), 256 ³ (3 канала с 256 возможными значениями для каждого) или 2 ²⁴ (24 бита с 2 возможными значениями для каждого).

Размер наибольшего беззнакового целого числа или адреса в компьютерах с 24-битными регистрами или шинами данных.

2 ³⁰ = 1 073 741 824

Двоичное приближение множителя гига- или 1 000 000 000, вызывающее смену префикса. Например, 1 073 741 824 байта = 1  гигабайт (или гибибайт ).

2 ³¹ = 2 147 483 648

Количество неотрицательных значений для 32-битного целого числа со знаком . Поскольку время Unix измеряется в секундах с 1 января 1970 года, оно закончится через 2 147 483 647 секунд или в 03:14:07 UTC во вторник, 19 января 2038 года на 32-битных компьютерах под управлением Unix, проблема, известная как проблема 2038 года .

2 ³² = 4 294 967 296

Количество различных значений, представимых одним словом на 32-разрядном процессоре. ^[6] Или количество значений, представимых двойным словом на 16-разрядном процессоре, таком как оригинальные процессоры x86 . ^[5]

Диапазон intпеременной в языках программирования Java , C# и SQL .

Диапазон значений переменной Cardinalили Integerв языке программирования Pascal .

Минимальный диапазон длинной целочисленной переменной в языках программирования C и C++ .

Общее количество IP-адресов в IPv4 . Хотя это, казалось бы, большое число, количество доступных 32-битных IPv4-адресов исчерпано (но не для IPv6 -адресов).

Число бинарных операций с доменом, равным любому набору из 4 элементов, например GF (4).

2 ⁴⁰ = 1 099 511 627 776

Двоичное приближение тера- или множителя 1 000 000 000 000, вызывающее смену префикса. Например, 1 099 511 627 776 байт = 1 терабайт или тебибайт.

2 ⁵⁰ = 1 125 899 906 842 624

Двоичное приближение множителя пета- , или 1 000 000 000 000 000. 1 125 899 906 842 624 байта = 1 петабайт или пебибайт.

2 ⁵³ = 9 007 199 254 740 992

Число, до которого все целые значения могут быть точно представлены в формате IEEE с двойной точностью и плавающей точкой . Также первая степень числа 2, начинающаяся с цифры 9 в десятичной системе счисления.

2 ⁵⁶ = 72 057 594 037 927 936

Количество различных возможных ключей в устаревшем 56-битном симметричном шифре DES .

2 ⁶⁰ = 1 152 921 504 606 846 976

Двоичное приближение множителя экса- , или 1 000 000 000 000 000 000. 1 152 921 504 606 846 976 байт = 1 эксабайт или эксбибайт.

2 ⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808

Количество неотрицательных значений для 64-битного целого числа со знаком.

2 ⁶³ − 1, общее максимальное значение (эквивалентно числу положительных значений) для 64-битного целого числа со знаком в языках программирования.

2 ⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616

Количество различных значений, представимых одним словом на 64-битном процессоре. Или количество значений, представимых двойным словом на 32 -битном процессоре. Или количество значений, представимых четверным словом на 16-битном процессоре, таком как оригинальные процессоры x86 . ^[5]

Диапазон длинной переменной в языках программирования Java и C# .

Диапазон переменной Int64 или QWord в языке программирования Pascal .

Общее количество адресов IPv6, обычно выделяемых одной локальной сети или подсети.

2 ⁶⁴ − 1, количество зерен риса на шахматной доске, согласно старой истории , где первый квадрат содержит одно зерно риса, а каждый последующий квадрат в два раза больше предыдущего. По этой причине это число иногда называют «шахматным числом».

2 ⁶⁴ − 1 — это также количество ходов, необходимых для завершения легендарной 64-дисковой версии Ханойской башни .

2 ⁶⁸ = 295 147 905 179 352 825 856

Первая степень числа 2, содержащая все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS )

2 ⁷⁰ = 1 180 591 620 717 411 303 424

Двоичное приближение множителя зетта- , или 1 000 000 000 000 000 000 000. 1 180 591 620 717 411 303 424 байта = 1 зеттабайт (или зебибайт ).

2 ⁸⁰ = 1 208 925 819 614 629 174 706 176

Двоичное приближение множителя йотта- , или 1 000 000 000 000 000 000 000 000. 1 208 925 819 614 629 174 706 176 байт = 1 йоттабайт (или йобибайт ).

2 ⁸⁶ = 77 371 252 455 336 267 181 195 264

Предполагается ^{, что 286} — это наибольшая степень двойки, не содержащая ноль в десятичной дроби. ^[7]

2 ⁹⁶ = 79 228 162 514 264 337 593 543 950 336

Общее количество адресов IPv6 , обычно предоставляемых локальному интернет-регистратору . В нотации CIDR интернет-провайдерам предоставляется / 32 , что означает, что для адресов доступно 128-32=96 бит (в отличие от сетевого обозначения). Таким образом, 2 ⁹⁶ адресов.

2 ¹⁰⁸ = 324, 518, 553, 658, 426, 726, 783, 156, 020, 576, 256

Наибольшая известная степень числа 2, не содержащая 9 в десятичной дроби. (последовательность A035064 в OEIS )

2 ¹²⁶ = 85, 070, 591, 730, 234, 615, 865, 843 , 651, 857, 942, 052, 864

Наибольшая известная степень числа 2, не содержащая пары последовательных одинаковых цифр. (последовательность A050723 в OEIS )

2 ¹²⁸ = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456

Общее количество IP-адресов, доступных в IPv6 . Также количество различных универсальных уникальных идентификаторов (UUID) .

2 ¹⁶⁸ = 374 144 419 156 711 147 060 143 317 175 368 453 031 918 731 001 856

Наибольшая известная степень числа 2, не содержащая все десятичные цифры (в данном случае цифра 2 отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS )

2 ¹⁹² = 6 277 101 735 386 680 763 835 789 423 207 666 416 102 355 444 464 034 512 896

Общее количество различных возможных ключей в 192-битном ключевом пространстве AES (симметричный шифр).

2 ²²⁹ = 862 718 293 348 820 473 429 344 482 784 628 181 556 388 621 521 298 319 395 315 527 974 912

2 ²²⁹ — это наибольшая известная степень двойки, содержащая наименьшее количество нулей относительно своей степени. Метин Сарияр предположил, что каждая цифра от 0 до 9 склонна появляться равное количество раз в десятичном разложении степени двойки по мере увеличения степени. (последовательность A330024 в OEIS )

2 ²⁵⁶ = 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936

Общее количество различных возможных ключей в 256-битном ключевом пространстве AES (симметричный шифр).

2 ¹⁰²⁴ ≈ 1,79 × 10³⁰⁸

Максимальное число, которое может поместиться в 64-битном формате IEEE с плавающей запятой двойной точности (отсюда и максимальное число, которое может быть представлено многими программами, например Microsoft Excel ).

2 ^16,384 ≈ 1.19 × 10 ^4,932

Максимальное число, которое может поместиться в 128-битном формате IEEE с плавающей точкой четверной точности

2 ^{262 144} ≈ 1,61 × 10 ^{78 913}

Максимальное число, которое может поместиться в 256-битном формате IEEE с плавающей точкой восьмеричной точности

2 82 ^{589 933} ≈ 1,49 × 10 ^{24 862 047}

На единицу больше, чем самое большое известное простое число по состоянию на июнь 2023 года ^{[обновлять]}. ^[8]

В музыкальной нотации все немодифицированные значения нот имеют длительность, равную целой ноте, деленной на степень двойки; например, половинная нота (1/2), четвертная нота (1/4), восьмая нота (1/8) и шестнадцатая нота (1/16). Ноты с точкой или иным образом модифицированные имеют другие длительности. В тактовых размерах нижняя цифра, единица удара , которую можно рассматривать как знаменатель дроби, почти всегда является степенью двойки.

Если отношение частот двух тонов равно степени двойки, то интервал между этими тонами равен полным октавам . В этом случае соответствующие ноты имеют одинаковое название.

Математическое совпадение , из , тесно связывает интервал из 7 полутонов в равномерной темперации с чистой квинтой чистой интонации : , с точностью около 0,1%. Чистая квинта является основой пифагорейской настройки ; разница между двенадцатью чистыми квинтами и семью октавами является пифагорейской коммой . ^[9]${\displaystyle 2^{7}\приблизительно ({\tfrac {3}{2}})^{12}}$${\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}=1,5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}}$${\displaystyle 2^{7/12}\приблизительно 3/2}$

Сумма всех n -выборных биномиальных коэффициентов равна 2 ⁿ . Рассмотрим множество всех n -значных двоичных целых чисел. Его мощность равна 2 ⁿ . Это также суммы мощностей определенных подмножеств: подмножество целых чисел без единиц (состоящих из одного числа, записанного как n нулей), подмножество с одной единицей, подмножество с двумя единицами и так далее до подмножества с n единицами (состоящего из числа, записанного как n единиц). Каждое из них, в свою очередь, равно биномиальному коэффициенту, индексированному n , и количеству рассматриваемых единиц (например, есть 10-выборных-3 двоичных чисел с десятью цифрами, которые включают ровно три единицы).

В настоящее время единственными известными почти совершенными числами являются степени двойки .

Мощность множества a всегда равна 2 ^{| a |} , где | a | — мощность a .

Число вершин n -мерного гиперкуба равно 2 ⁿ . Аналогично, число ( n − 1) -граней n -мерного кросс-политопа также равно 2 n ^, а формула для числа x -граней n -мерного кросс-политопа имеет вид${\displaystyle 2^{x}{\tбином {n}{x}}.}$

Сумма первых степеней двойки (начиная с ) определяется по формуле:${\displaystyle n}$${\displaystyle 1=2^{0}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1}$

для любого положительного целого числа.${\displaystyle n}$

Таким образом, сумма мощностей

${\displaystyle 1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}}$

можно вычислить просто, оценив: (что является «шахматным числом»).${\displaystyle 2^{64}-1}$

Сумма обратных величин степеней двойки равна 1. Сумма обратных величин квадратов степеней двойки (степеней четверки) равна 1/3.

Наименьшая натуральная степень двойки, десятичная запись которой начинается с 7, равна ^[10]

${\displaystyle 2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.}$

Каждая степень двойки (исключая 1) может быть записана в виде суммы четырех квадратных чисел 24 способами . Степени двойки — это натуральные числа, большие 1, которые могут быть записаны в виде суммы четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.

Как действительный многочлен , a ⁿ + b ⁿ является неприводимым , если и только если n является степенью двойки. (Если n нечетно, то a ⁿ + b ⁿ делится на a + b , а если n четно, но не является степенью двойки, то n можно записать как n = mp , где m нечетно, и, таким образом , , что делится на a ^p + b ^p .) Но в области комплексных чисел многочлен (где n >= 1) всегда можно разложить на множители как , даже если n является степенью двойки.${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}}$${\displaystyle а^{2n}+b^{2n}}$${\displaystyle a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)}$

Единственные известные степени числа 2 со всеми четными цифрами: 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^6 = 64 и 2^11 = 2048. ^[11] Первые 3 степени числа 2 со всеми нечетными цифрами, кроме последней, это 2^4 = 16, 2^5 = 32 и 2^9 = 512. Следующая такая степень числа 2 вида 2^n должна иметь n не менее чем из 6 цифр. Единственные степени числа 2 со всеми различными цифрами: 2^0 = 1 до 2^15 = 32768, 2^20 = 1048576 и 2^29 = 536870912.

Коды Хаффмана обеспечивают оптимальное сжатие данных без потерь , когда вероятности исходных символов являются отрицательными степенями двойки. ^[12]

• Простое число Ферми–Дирака
• последовательность Гулда
• Двоичный логарифм
• Сила трех
• Степень 10