Число Ферма

В математике число Ферма , названное в честь Пьера де Ферма (1607–1665), первого известного исследователя, изучавшего их, — это положительное целое число вида: где n — неотрицательное целое число. Первые несколько чисел Ферма: 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , 4294967297, 18446744073709551617, ... (последовательность A000215 в OEIS ).${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}$

Если 2k ⁺ 1 — простое число и k > 0 , то само k должно быть степенью 2, ^[1] поэтому 2k ₊ 1 — число Ферма; такие простые числа называются простыми числами Ферма . По состоянию на 2023 год единственными^{[обновлять]} известными простыми числами Ферма являются ^F0 = 3 , F1 = 5 , F2 = 17 , F3 ₌ 257 и F4 _{= 65537 (} последовательность A019434 в OEIS ).

Числа Ферма удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям :

${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}$

${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}$

для n ≥ 1,

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}}$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}}$

для n ≥ 2. Каждое из этих соотношений может быть доказано методом математической индукции . Из второго уравнения можно вывести теорему Гольдбаха (названную в честь Христиана Гольдбаха ): никакие два числа Ферма не имеют общего целого множителя, большего 1. Чтобы увидеть это, предположим, что 0 ≤ i < j и F _i и F _j имеют общий множитель a > 1. Тогда a делит оба

${\displaystyle F_{0}\cdots F_{j-1}}$

и F _j ; следовательно, a делит их разность, 2. Поскольку a > 1 , это вынуждает a = 2 . Это противоречие , поскольку каждое число Ферма явно нечетное. Как следствие , мы получаем еще одно доказательство бесконечности простых чисел: для каждого F _n выберем простой множитель p _n ; тогда последовательность { p _n } является бесконечной последовательностью различных простых чисел.

• Ни одно простое число Ферма не может быть выражено как разность двух степеней p , где p — нечетное простое число.
• За исключением F ₀ и F ₁ , последняя цифра числа Ферма равна 7.
• Сумма обратных величин всех чисел Ферма (последовательность A051158 в OEIS ) иррациональна . ( Соломон В. Голомб , 1963)

Числа Ферма и простые числа Ферма были впервые изучены Пьером де Ферма, который предположил , что все числа Ферма являются простыми. Действительно, легко показать, что первые пять чисел Ферма F ₀ , ..., F ₄ являются простыми. Гипотеза Ферма была опровергнута Леонардом Эйлером в 1732 году, когда он показал, что

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.}$

Эйлер доказал , что каждый множитель F _n должен иметь вид k  2 ^{n +1} + 1 (позже улучшенный до k  2 ^{n +2} + 1 Лукасом ) для n ≥ 2 .

То, что 641 является множителем F _5, можно вывести из равенств 641 = 2 ⁷  × 5 + 1 и 641 = 2 ⁴  + 5 ⁴ . Из первого равенства следует, что 2 ⁷  × 5 ≡ −1 (mod 641) и, следовательно (возводя в четвертую степень), что 2 ²⁸  × 5 ⁴  ≡ 1 (mod 641). С другой стороны, второе равенство подразумевает, что 5 ⁴  ≡ −2 ⁴  (mod 641). Из этих сравнений следует, что 2 ³²  ≡ −1 (mod 641).

Ферма, вероятно, знал форму множителей, позже доказанную Эйлером, поэтому кажется странным, что он не смог выполнить прямолинейные вычисления, чтобы найти множитель. ^[2] Одно из распространенных объяснений состоит в том, что Ферма допустил вычислительную ошибку.

Других известных простых чисел Ферма F _n с n > 4 не существует , но мало что известно о числах Ферма для больших n . ^[3] Фактически, каждое из следующих заданий является открытой проблемой:

• Является ли F _n составным для всех n > 4 ?
• Существует ли бесконечно много простых чисел Ферма? ( Эйзенштейн 1844 ^[4] )
• Существует ли бесконечно много составных чисел Ферма?
• Существует ли число Ферма, которое не является бесквадратным ?

По состоянию на 2024 год ^{[обновлять]}известно, что F _n является составным числом при 5 ≤ n ≤ 32 , хотя из них полные факторизации F _n известны только для 0 ≤ n ≤ 11 , и нет известных простых множителей для n = 20 и n = 24. [ ^5] Наибольшее число Ферма, которое известно как составное число, — это F _18233954 , а его простой множитель 7 × 2 ^18233956 + 1 был обнаружен в октябре 2020 года.

Эвристика предполагает, что _F4 — последнее простое число Ферма.

Теорема о простых числах подразумевает, что случайное целое число в подходящем интервале вокруг N является простым с вероятностью 1  /  ln N. Если использовать эвристику, что число Ферма является простым с той же вероятностью, что и случайное целое число его размера, и что F ₅ , ..., F ₃₂ являются составными, то ожидаемое количество простых чисел Ферма за пределами F ₄ (или, что эквивалентно, за пределами F ₃₂ ) должно быть

${\displaystyle \sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\ln F_{n}}}<{\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\log _{2}(2^{2^{n}})}}={\frac {1}{\ln 2}}2^{-32}<3,36\times 10^{-10}.}$

Это число можно интерпретировать как верхнюю границу вероятности того, что существует простое число Ферма, превышающее F4 _.

Этот аргумент не является строгим доказательством. Во-первых, он предполагает, что числа Ферма ведут себя «случайно», но множители чисел Ферма обладают особыми свойствами. Боклан и Конвей опубликовали более точный анализ, предполагающий, что вероятность того, что существует еще одно простое число Ферма, составляет менее одного на миллиард. ^[6]

Андерс Бьорн и Ханс Ризель оценили количество квадратных множителей чисел Ферма от F ₅ и далее как

${\displaystyle \sum _{n\geq 5}\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k(k2^{n}+1)\ln(k2^{n})}}} {\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}\sum _{n\geq 5}{\frac {1}{n2^{n}}}\approx 0,02576;}$

Другими словами, маловероятно, что существуют какие-либо несвободные от квадратов числа Ферма, и вообще квадратные множители очень редки для больших n . ^[7]${\displaystyle а^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$

Пусть будет n-м числом Ферма. Тест Пепена утверждает, что для n > 0 ,${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

${\displaystyle F_{n}}$является простым тогда и только тогда, когда${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.}$

Выражение можно оценить по модулю путем повторного возведения в квадрат . Это делает тест быстрым алгоритмом полиномиального времени . Но числа Ферма растут так быстро, что только несколько из них можно проверить за разумное количество времени и пространства.${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}}$${\displaystyle F_{n}}$

Существуют некоторые тесты для чисел вида k  2 ^m + 1 , такие как множители чисел Ферма, на простоту.

Теорема Прота (1878). Пусть N = k  2 ^m + 1 с нечетным k < 2 ^m . Если существует целое число a такое, что

${\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}}$

тогда является простым. Наоборот, если указанное выше сравнение не выполняется, и в дополнение${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{N}}\right)=-1}$(См. символ Якоби )

тогда является составным.${\displaystyle N}$

Если N = F _n > 3 , то указанный выше символ Якоби всегда равен −1 для a = 3 , и этот особый случай теоремы Прота известен как тест Пепена . Хотя тест Пепена и теорема Прота были реализованы на компьютерах для доказательства составности некоторых чисел Ферма, ни один из тестов не дает конкретного нетривиального множителя. Фактически, для n = 20 и 24 не известны конкретные простые множители.

Из-за размера чисел Ферма их трудно факторизовать или даже проверить на простоту. Тест Пепена дает необходимое и достаточное условие простоты чисел Ферма и может быть реализован современными компьютерами. Метод эллиптической кривой — быстрый метод нахождения малых простых делителей чисел. Проект распределенных вычислений Fermatsearch нашел некоторые множители чисел Ферма. Программа proth.exe Ива Галло использовалась для нахождения множителей больших чисел Ферма. Эдуард Люка , улучшая вышеупомянутый результат Эйлера, доказал в 1878 году, что каждый множитель числа Ферма , где n не менее 2, имеет вид (см. Число Прота ), где k — положительное целое число. Само по себе это позволяет легко доказать простоту известных простых чисел Ферма.${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle k\times 2^{n+2}+1}$

Факторизации первых 12 чисел Ферма следующие:

Ф 0	=	2 1	+	1	=	3 — простое число
Ф 1	=	2 2	+	1	=	5 — простое число
Ф 2	=	2 4	+	1	=	17 — простое число
Ф 3	=	2 8	+	1	=	257 — простое число
Ф 4	=	2 16	+	1	=	65 537 — наибольшее известное простое число Ферма.
Ф 5	=	2 32	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417 (полностью разложено на множители 1732 [8] )
Ф 6	=	2 64	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617 (20 цифр)
					=	274,177 × 67,280,421,310,721 (14 цифр) (полностью разложенное на множители 1855)
Ф 7	=	2 128	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 (39 цифр)
					=	59,649,589,127,497,217 (17 цифр) × 5,704,689,200,685,129,054,721 (22 цифры) (полностью разложено на множители 1970)
Ф 8	=	2 256	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129, 639,937 (78 цифр)
					=	1,238,926,361,552,897 (16 цифр) × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 (62 цифры) (полностью разложенное на множители 1980)
Ф 9	=	2 512	+	1	=	13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,0 30,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,6 49,006,084,097 (155 цифр)
					=	2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 (49 цифр) × 741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759, 504,705,008,092,818,711,693,940,737 (99 цифр) (полностью разложено на множители 1990)
Ф 10	=	2 1024	+	1	=	179,769,313,486,231,590,772,930...304,835,356,329,624,224,137,217 (309 цифр)
					=	45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 (40 цифр) × 130,439,874,405,488,189,727,484...806,217,820,753,127,014,424,577 (252 цифры) (полностью разложено на множители 1995)
Ф 11	=	2 2048	+	1	=	32,317,006,071,311,007,300,714,8...193,555,853,611,059,596,230,657 (617 цифр)
					=	319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 (21 цифра) × 3,560,841,906,445,833,920,513 (22 цифры) × 173,462,447,179,147,555,430,258...491,382,441,723,306,598,834,177 (564 цифры) (полностью разложено на множители 1988)

По состоянию на апрель 2023 года полностью факторизованы только^{[обновлять]} числа F ₀ – F _11. ^[5] Проект распределенных вычислений Fermat Search ищет новые факторы чисел Ферма. [ ^9] Набор всех факторов Ферма равен A050922 (или, отсортированный, A023394) в OEIS .

Следующие множители чисел Ферма были известны до 1950 года (с тех пор цифровые компьютеры помогли найти больше множителей):

Год	Искатель	Число Ферма	Фактор
1732	Эйлер	${\displaystyle F_{5}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{7}+1}$
1732	Эйлер	${\displaystyle F_{5}}$(полностью факторизовано)	${\displaystyle 52347\cdot 2^{7}+1}$
1855	Клаузен	${\displaystyle F_{6}}$	${\displaystyle 1071\cdot 2^{8}+1}$
1855	Клаузен	${\displaystyle F_{6}}$(полностью факторизовано)	${\displaystyle 262814145745\cdot 2^{8}+1}$
1877	Первушин	${\displaystyle F_{12}}$	${\displaystyle 7\cdot 2^{14}+1}$
1878	Первушин	${\displaystyle F_{23}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{25}+1}$
1886	Зеельхофф	${\displaystyle F_{36}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{39}+1}$
1899	Каннингем	${\displaystyle F_{11}}$	${\displaystyle 39\cdot 2^{13}+1}$
1899	Каннингем	${\displaystyle F_{11}}$	${\displaystyle 119\cdot 2^{13}+1}$
1903	Западный	${\displaystyle F_{9}}$	${\displaystyle 37\cdot 2^{16}+1}$
1903	Западный	${\displaystyle F_{12}}$	${\displaystyle 397\cdot 2^{16}+1}$
1903	Западный	${\displaystyle F_{12}}$	${\displaystyle 973\cdot 2^{16}+1}$
1903	Западный	${\displaystyle F_{18}}$	${\displaystyle 13\cdot 2^{20}+1}$
1903	Каллен	${\displaystyle F_{38}}$	${\displaystyle 3\cdot 2^{41}+1}$
1906	Морхед	${\displaystyle F_{73}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{75}+1}$
1925	Крайчик	${\displaystyle F_{15}}$	${\displaystyle 579\cdot 2^{21}+1}$

По состоянию на июль 2023 года ^{[обновлять]}известно 368 простых множителей чисел Ферма, а 324 числа Ферма являются составными. ^[5] Каждый год обнаруживается несколько новых множителей Ферма. ^[10]

Подобно составным числам вида 2 ^p − 1, каждое составное число Ферма является сильным псевдопростым числом по основанию 2. Это происходит потому, что все сильные псевдопростые числа по основанию 2 также являются псевдопростыми числами Ферма , т. е.

${\displaystyle 2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}$

для всех чисел Ферма. ^[11]

В 1904 году Чиполла показал, что произведение по крайней мере двух различных простых или составных чисел Ферма будет псевдопростым числом Ферма по основанию 2 тогда и только тогда, когда . ^[12]${\displaystyle F_{a}F_{b}\dots F_{s},}$ ${\displaystyle a>b>\точки >s>1}$${\displaystyle 2^{s}>a}$

Число Ферма не может быть совершенным числом или частью пары дружественных чисел . (Лука 2000)

Ряд обратных величин всех простых делителей чисел Ферма сходится . (Кржижек, Лука и Сомер 2002)

Если n ⁿ + 1 — простое число, то существует целое число m, такое что n = 2 ^{2 m} . В этом случае справедливо уравнение n ⁿ + 1 = F _{(2 ^m + m )} . ^{[13] [14]}

Пусть наибольший простой множитель числа Ферма F _n будет P ( F _n ). Тогда,

${\displaystyle P(F_{n})\geq 2^{n+2}(4n+9)+1.}$(Грычук, Лука и Войтович, 2001 г.)

Карл Фридрих Гаусс разработал теорию гауссовых периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae и сформулировал достаточное условие для конструктивности правильных многоугольников. Гаусс утверждал, что это условие также необходимо , ^[15] но никогда не публиковал доказательство. Пьер Ванцель дал полное доказательство необходимости в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса–Ванцеля :

Правильный n - угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n является либо степенью числа 2, либо произведением степени числа 2 и различных простых чисел Ферма: другими словами, тогда и только тогда, когда n имеет вид n = 2 ^k или n = 2 ^k p ₁ p ₂ ... p _s , где k , s — неотрицательные целые числа, а p _i — различные простые числа Ферма.

Положительное целое число n имеет указанный выше вид тогда и только тогда, когда его тотиент φ ( n ) является степенью числа 2.

Простые числа Ферма особенно полезны для генерации псевдослучайных последовательностей чисел в диапазоне 1, ..., N , где N — степень числа 2. Наиболее распространенный метод — взять любое начальное значение от 1 до P − 1 , где P — простое число Ферма. Теперь умножьте это на число A , которое больше квадратного корня из P и является примитивным корнем по модулю P (т. е. не является квадратичным вычетом ). Затем возьмите результат по модулю P . Результат — новое значение для ГСЧ.

${\displaystyle V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}}$(см. линейный конгруэнтный генератор , RANDU )

Это полезно в информатике, поскольку большинство структур данных имеют элементы с 2 ^X возможными значениями. Например, байт имеет 256 (2 ⁸ ) возможных значений (0–255). Поэтому для заполнения байта или байтов случайными значениями можно использовать генератор случайных чисел, который выдает значения 1–256, при этом байт принимает выходное значение −1. По этой причине очень большие простые числа Ферма представляют особый интерес для шифрования данных. Этот метод выдает только псевдослучайные значения, так как после P − 1 повторений последовательность повторяется. Неправильно выбранный множитель может привести к повторению последовательности раньше, чем P − 1 .

Числа вида с a , b и любыми взаимно простыми целыми числами, a > b > 0 , называются обобщенными числами Ферма . Нечетное простое число p является обобщенным числом Ферма тогда и только тогда, когда p сравнимо с 1 (mod 4) . (Здесь мы рассматриваем только случай n > 0 , поэтому 3 = не является контрпримером.)${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+b^{2^{\overset {n}{}}}}$${\displaystyle 2^{2^{0}}\!+1}$

Примером вероятного простого числа этой формы является 1215 ¹³¹⁰⁷² + 242 ¹³¹⁰⁷² (найденное Келленом Шентоном). ^[16]

По аналогии с обычными числами Ферма, обобщенные числа Ферма вида F _n ( a ) принято записывать как F 3 (10 ). В этой нотации, например, число 100 000 001 будет записано как F ₃ (10). В дальнейшем мы ограничимся простыми числами этого вида, такие простые числа называются «простыми числами Ферма по основанию a » . Конечно, эти простые числа существуют только если a четно .${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$

Если мы требуем n > 0 , то четвертая проблема Ландау спрашивает, существует ли бесконечно много обобщенных простых чисел Ферма F _n ( a ).

Из-за простоты доказательства их простоты обобщенные простые числа Ферма стали в последние годы темой для исследований в области теории чисел. Многие из самых больших известных простых чисел сегодня являются обобщенными простыми числами Ферма.

Обобщенные числа Ферма могут быть простыми только для четного a , потому что если a нечетное, то каждое обобщенное число Ферма будет делиться на 2. Наименьшее простое число с равно , или 30 ³² + 1. Кроме того, мы можем определить «полуобобщенные числа Ферма» для нечетного основания, полуобобщенное число Ферма по основанию a (для нечетного a ) равно , и также следует ожидать, что будет только конечное число полуобобщенных простых чисел Ферма для каждого нечетного основания.${\displaystyle F_{n}(a)}$${\displaystyle n>4}$${\displaystyle F_{5}(30)}$${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!+1}{2}}}$

В этом списке обобщенные числа Ферма ( ) для четного a равны , для нечетного a они равны . Если a — совершенная степень с нечетным показателем (последовательность A070265 в OEIS ), то все обобщенные числа Ферма можно разложить на алгебраические множители, поэтому они не могут быть простыми.${\displaystyle F_{n}(a)}$${\displaystyle a^{2^{n}}\!+1}$${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!\!+1}{2}}}$

См. ^{[17] [18]} для четных оснований до 1000 и ^[19] для нечетных оснований. Для наименьшего числа, такого, что является простым, см. OEIS : A253242 .${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{n}(a)}$

${\displaystyle a}$	числа такие, что является простым${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(a)}$	${\displaystyle a}$	числа такие, что является простым${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(a)}$	${\displaystyle a}$	числа такие, что является простым${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(a)}$	${\displaystyle a}$	числа такие, что является простым${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(a)}$
2	0, 1, 2, 3, 4, ...	18	0, ...	34	2, ...	50	...
3	0, 1, 2, 4, 5, 6, ...	19	1, ...	35	1, 2, 6, ...	51	1, 3, 6, ...
4	0, 1, 2, 3, ...	20	1, 2, ...	36	0, 1, ...	52	0, ...
5	0, 1, 2, ...	21	0, 2, 5, ...	37	0, ...	53	3, ...
6	0, 1, 2, ...	22	0, ...	38	...	54	1, 2, 5, ...
7	2, ...	23	2, ...	39	1, 2, ...	55	...
8	(никто)	24	1, 2, ...	40	0, 1, ...	56	1, 2, ...
9	0, 1, 3, 4, 5, ...	25	0, 1, ...	41	4, ...	57	0, 2, ...
10	0, 1, ...	26	1, ...	42	0, ...	58	0, ...
11	1, 2, ...	27	(никто)	43	3, ...	59	1, ...
12	0, ...	28	0, 2, ...	44	4, ...	60	0, ...
13	0, 2, 3, ...	29	1, 2, 4, ...	45	0, 1, ...	61	0, 1, 2, ...
14	1, ...	30	0, 5, ...	46	0, 2, 9, ...	62	...
15	1, ...	31	...	47	3, ...	63	...
16	0, 1, 2, ...	32	(никто)	48	2, ...	64	(никто)
17	2, ...	33	0, 3, ...	49	1, ...	65	1, 2, 5, ...

Для наименьшего четного основания a, являющегося простым, см. OEIS : A056993 .${\displaystyle F_{n}(a)}$

${\displaystyle n}$	базирует a таким образом, что является простым (рассматриваем только четное a )${\displaystyle F_{n}(a)}$	последовательность OEIS
0	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150,...	А006093
1	2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184,...	А005574
2	2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228,...	А000068
3	2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, ...	А006314
4	2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, ​​396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, ...	А006313
5	30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 8, 1306, 1540, 1568, ...	А006315
6	102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, , 2336, 2388, .. .	А006316
7	120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 8, 9356, 9582, .. .	А056994
8	278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, ...	А056995
9	46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, , 7388, 7992, ...	А057465
10	824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 6, 17670, ...	А057002
11	150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 4 4174, 45654, ...	А088361
12	1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 1015 78, 109696, ...	А088362
13	30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 22517 4, 241600, ...	А226528
14	67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 904, 506664, ...	А226529
15	70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999 236, 1041870, ...	А226530
16	48594,108368,141146,189590,255694,291726,292550,357868,440846,544118,549868,671600,843832,857678,1024390, 10 57476, 1087540, ...	А251597
17	62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, 1560730, 1660830, 1717162, 230, 1766192, ...	А253854
18	24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858, 2042774, 2514168, 2611294, 26764 04, 3060772, ...	А244150
19	75898,341112,356926,475856,1880370,2061748,2312092,2733014,2788032,2877652,2985036,3214654,3638450,4896418,5 897794, ...	А243959
20	919444, 1059094, 1951734, 1963736, ...	А321323

Наименьшие основания b=b(n) такие, что b ^{2 n} + 1 (для заданного n= 0,1,2, ... ) является простым числом, это

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, ... (последовательность A056993 в OEIS )

Наоборот, наименьшее число k=k(n) такое, что (2 n ) ^k + 1 (для заданного n ) является простым числом, равно

1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 4, 1, ... (Следующий член неизвестен) (последовательность A079706 в OEIS ) (см. также OEIS : A228101 и OEIS : A084712 )

Более сложную теорию можно использовать для предсказания количества оснований, для которых будет простым числом при фиксированном . Можно приблизительно ожидать, что количество обобщенных простых чисел Ферма уменьшится вдвое при увеличении на 1.${\displaystyle F_{n}(a)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Также возможно построить обобщенные простые числа Ферма вида . Как и в случае, когда b = 1, числа этого вида всегда будут делиться на 2, если a+b четно, но все еще возможно определить обобщенные полупростые числа Ферма этого типа. Для наименьшего простого числа вида (для нечетного ), см. также OEIS : A111635 .${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$${\displaystyle F_{n}(a,b)}$${\displaystyle a+b}$

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	числа такие, что является простым [20] [7]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(a,b)={\frac {a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}{\gcd(a+b,2)}}}$
2	1	0, 1, 2, 3, 4, ...
3	1	0, 1, 2, 4, 5, 6, ...
3	2	0, 1, 2, ...
4	1	0, 1, 2, 3, ... (эквивалентно )${\displaystyle F_{n}(2,1)}$
4	3	0, 2, 4, ...
5	1	0, 1, 2, ...
5	2	0, 1, 2, ...
5	3	1, 2, 3, ...
5	4	1, 2, ...
6	1	0, 1, 2, ...
6	5	0, 1, 3, 4, ...
7	1	2, ...
7	2	1, 2, ...
7	3	0, 1, 8, ...
7	4	0, 2, ...
7	5	1, 4,
7	6	0, 2, 4, ...
8	1	(никто)
8	3	0, 1, 2, ...
8	5	0, 1, 2,
8	7	1, 4, ...
9	1	0, 1, 3, 4, 5, ... (эквивалентно )${\displaystyle F_{n}(3,1)}$
9	2	0, 2, ...
9	4	0, 1, ... (эквивалентно )${\displaystyle F_{n}(3,2)}$
9	5	0, 1, 2, ...
9	7	2, ...
9	8	0, 2, 5, ...
10	1	0, 1, ...
10	3	0, 1, 3, ...
10	7	0, 1, 2, ...
10	9	0, 1, 2, ...
11	1	1, 2, ...
11	2	0, 2, ...
11	3	0, 3, ...
11	4	1, 2, ...
11	5	1, ...
11	6	0, 1, 2, ...
11	7	2, 4, 5, ...
11	8	0, 6, ...
11	9	1, 2, ...
11	10	5, ...
12	1	0, ...
12	5	0, 4, ...
12	7	0, 1, 3, ...
12	11	0, ...

Ниже приведен список пяти крупнейших известных обобщенных простых чисел Ферма. ^[21] Вся пятерка лучших чисел обнаружена участниками проекта PrimeGrid .

На Prime Pages можно найти текущие 100 лучших обобщенных простых чисел Ферма.

• Построимый многоугольник : то, какие правильные многоугольники можно построить, частично зависит от простых чисел Ферма.
• Двойная показательная функция
• Теорема Люка
• простое число Мерсенна
• Пирпонт Прайм
• Тест на простоту
• Теорема Прота
• Псевдопростое число
• Число Серпинского
• последовательность Сильвестра

• Голомб, С. В. (1 января 1963 г.), «О сумме обратных чисел чисел Ферма и связанных с ними иррациональностях», Canadian Journal of Mathematics , 15 : 475–478, doi : 10.4153/CJM-1963-051-0 , S2CID  123138118
• Грытчук, А.; Лука, Ф. и Войтович, М. (2001), «Еще одна заметка о наибольших простых множителях чисел Ферма», Юго-Восточный азиатский математический вестник , 25 (1): 111–115, doi :10.1007/s10012-001-0111-4, S2CID  122332537
• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел, Сборник задач по математике, т. 1 (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
• Кржижек, Михал; Лука, Флориан и Сомер, Лоуренс (2001), 17 лекций по числам Ферма: от теории чисел к геометрии, CMS books in Mathematics, т. 10, Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8- В этой книге содержится обширный список литературы.
• Кржижек, Михал; Лука, Флориан и Сомер, Лоуренс (2002), «О сходимости рядов обратных величин простых чисел, связанных с числами Ферма», Журнал теории чисел , 97 (1): 95–112, doi : 10.1006/jnth.2002.2782
• Лука, Флориан (2000), «Антисоциальное число Ферма», American Mathematical Monthly , 107 (2): 171–173, doi :10.2307/2589441, JSTOR  2589441
• Рибенбойм, Пауло (1996), Новая книга рекордов простых чисел (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Робинсон, Рафаэль М. (1954), «Числа Мерсенна и Ферма», Труды Американского математического общества , 5 (5): 842–846, doi : 10.2307/2031878 , JSTOR  2031878
• Ябута, М. (2001), «Простое доказательство теоремы Кармайкла о примитивных делителях» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 39 (5): 439–443, doi :10.1080/00150517.2001.12428701, архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09

• Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: ​​число Ферма на The Prime Pages .
• Луиджи Морелли, История чисел Ферма
• Джон Косгрейв, Объединение чисел Мерсенна и Ферма
• Вильфрид Келлер, Простые множители чисел Ферма
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Ферма». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Ферма Прайм». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. "Обобщенное число Ферма". MathWorld .
• Ив Галло, Обобщенный поиск простых чисел Ферма
• Марк С. Манассе, Полная факторизация девятого числа Ферма (первоначальное объявление)
• Пейтон Хейслетт, Объявление о крупнейшем известном обобщенном простом числе Ферма