Обобщенное среднее

Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Обобщенное среднее" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике обобщенные средние (или степенные или средние Гёльдера от Отто Гёльдера ) ^[1] — это семейство функций для агрегирования наборов чисел. Они включают в себя в качестве частных случаев пифагорейские средние ( арифметические , геометрические и гармонические ).

Если p — ненулевое действительное число , а — положительные действительные числа, то обобщенное среднее или степенное среднее с показателем p этих положительных действительных чисел равно ^{[2] [3]}${\displaystyle x_{1},\точки ,x_{n}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.}$$

(См. p -норма ). При p = 0 мы устанавливаем его равным среднему геометрическому (что является пределом средних значений с показателями степени, стремящимися к нулю, как доказано ниже):

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.}$$

Кроме того, для последовательности положительных весов w _i мы определяем среднее взвешенное значение мощности как ^[2] и при p = 0 оно равно среднему геометрическому взвешенному значению :$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}}$$

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.}$$

Невзвешенные средние значения соответствуют установке всех w _i = 1/n .

Несколько конкретных значений p дают особые случаи со своими собственными именами: ^[4]

минимум

${\displaystyle M_{-\infty}(x_{1},\dots,x_{n})=\lim _{p\to -\infty}M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})=\min\{x_{1},\dots,x_{n}\}}$

гармоническое среднее

${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

геометрическое среднее ${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$

среднее арифметическое

${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$

среднеквадратичное значение
или квадратичное среднее ^{[5] [6]}

${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$

кубическое среднее

${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$

максимум

${\displaystyle M_{+\infty}(x_{1},\dots,x_{n})=\lim _{p\to \infty}M_{p}(x_{1},\dots,x_{n})=\max\{x_{1},\dots,x_{n}\}}$

Доказательство (среднего геометрического)${\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$

Для целей доказательства будем предполагать без потери общности, что и $${\displaystyle w_{i}\in [0,1]}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1.}$$

Мы можем переписать определение использования экспоненциальной функции как${\displaystyle M_{p}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}}$$

В пределе p → 0 мы можем применить правило Лопиталя к аргументу показательной функции. Мы предполагаем, что но p ≠ 0 , и что сумма w _i равна 1 (без потери общности); ^[7] Дифференцируя числитель и знаменатель по p , мы имеем${\displaystyle p\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}}$$

В силу непрерывности экспоненциальной функции мы можем подставить ее обратно в приведенное выше соотношение и получить желаемое. ^[2]$${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})}$$

Доказательство и${\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$${\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$

Предположим (возможно, после переименования и объединения терминов), что . Тогда${\displaystyle x_{1}\geq \dots \geq x_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).\end{aligned}}}$$

Формула для следует из ${\displaystyle M_{-\infty }}$$${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}=x_{n}.}$$

Пусть — последовательность положительных действительных чисел, тогда выполняются следующие свойства: ^[1]${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

1. ${\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})}$.
   Каждое обобщенное среднее значение всегда лежит между наименьшим и наибольшим значениями x .
2. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}$, где — оператор перестановки.${\displaystyle P}$
   Каждое обобщенное среднее является симметричной функцией своих аргументов; перестановка аргументов обобщенного среднего не меняет его значения.
3. ${\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$.
   Как и большинство средних значений , обобщенное среднее является однородной функцией своих аргументов x ₁ , ..., x _n . То есть, если b — положительное действительное число, то обобщенное среднее с показателем p чисел равно b, умноженному на обобщенное среднее чисел x ₁ , ..., x _n .${\displaystyle b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}}$
4. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]}$.
   Как и квазиарифметические средние , вычисление среднего может быть разделено на вычисления подблоков одинакового размера. Это позволяет использовать алгоритм «разделяй и властвуй» для вычисления средних значений, когда это желательно.

В общем случае, если p < q , то и два средних значения равны тогда и только тогда, когда x ₁ = x ₂ = ... = x _n .$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$$

Неравенство справедливо для действительных значений p и q , а также для положительных и отрицательных бесконечных значений.

Это следует из того факта, что для всех действительных p , что можно доказать с помощью неравенства Йенсена .$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}$$

В частности, для p в диапазоне {−1, 0, 1} обобщенное среднее неравенство подразумевает неравенство средних Пифагора, а также неравенство средних арифметических и геометрических .

Мы докажем неравенство средней взвешенной мощности. Для доказательства мы предположим следующее без потери общности:$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}}$$

Доказательство для невзвешенных средних значений мощности можно легко получить, подставив w _i = 1/ n .

Предположим, что выполняется среднее значение между степенными средними с показателями p и q : применяя это, получаем:$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}\right)^{1/q}}$$

Возводим обе части в степень −1 (строго убывающая функция в положительных действительных числах):$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}\right)^{-1/p}=\left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}\right)^{1/p}\leq \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}\right)^{1/q}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}}$$

Мы получаем неравенство для средних значений с показателями − p и − q , и мы можем использовать те же рассуждения в обратном порядке, тем самым доказывая эквивалентность неравенств, что будет использовано в некоторых из последующих доказательств.

Для любого q > 0 и неотрицательных весов, дающих в сумме 1, справедливо следующее неравенство:$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.}$$

Доказательство следует из неравенства Йенсена , использующего тот факт, что логарифм вогнут:$${\displaystyle \log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

Применяя показательную функцию к обеим сторонам и замечая, что как строго возрастающая функция она сохраняет знак неравенства, получаем$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

Возведение x _i в степень q дает$${\displaystyle {\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\\&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, неравенство с положительным q выполнено ; случай с отрицательными значениями идентичен, за исключением того, что на последнем шаге знаки поменялись местами:

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}.}$$

Конечно, возведение каждой части в степень отрицательного числа -1/ q меняет направление неравенства.

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}.}$$

Нам нужно доказать, что для любого p < q справедливо следующее неравенство: если p отрицательно, а q положительно, то неравенство эквивалентно доказанному выше:$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$

Доказательство для положительных p и q выглядит следующим образом: Определим следующую функцию: f  : R ₊ → R ₊ . f — степенная функция, поэтому у нее есть вторая производная: которая строго положительна в области определения f , поскольку q > p , поэтому мы знаем, что f выпукла.${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}$$${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}}$$

Используя это и неравенство Йенсена, получаем: возведя обе части в степень 1/ q (возрастающую функцию, поскольку 1/ q положительна), получаем неравенство, которое и требовалось доказать:$${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{q/p}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$

Используя ранее показанную эквивалентность, мы можем доказать неравенство для отрицательных p и q, заменив их на −q и −p соответственно.

Среднее значение мощности можно обобщить далее до обобщенного f -среднего :

$${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$$

Это охватывает геометрическое среднее без использования предела с f ( x ) = log( x ) . Среднее значение мощности получается для f ( x ) = x ^p . Свойства этих средних значений изучаются в de Carvalho (2016). ^[3]

Среднее значение мощности служит нелинейной скользящей средней , которая смещена в сторону малых значений сигнала для малых p и подчеркивает большие значения сигнала для больших p . При наличии эффективной реализации скользящего арифметического среднего, называемого , smoothможно реализовать скользящую среднюю мощности в соответствии со следующим кодом Haskell .

powerSmooth :: Плавающий a => ([ a ] ​​-> [ a ]) -> a -> [ a ] ​​-> [ a ] ​​powerSmooth плавный p = карта ( ** recip p ) . плавный . карта ( ** p )                         

• При больших p он может служить детектором огибающей выпрямленного сигнала .
• При малых p он может служить базовым детектором в масс-спектре .

• Буллен, П.С. (2003). «Глава III — Силовые средства». Справочник по средствам и их неравенствам . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer. С. 175–265.

• Среднее значение мощности в MathWorld
• Примеры обобщенного среднего
• Доказательство обобщенного среднего на PlanetMath