Лемер означает

В математике среднее значение Лемера для кортежа положительных действительных чисел , названное в честь Деррика Генри Лемера , ^[1] определяется как:${\displaystyle x}$

${\displaystyle L_{p}(\mathbf {x})={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^ {n}x_{k}^{p-1}}}.}$

Взвешенное среднее значение Лемера относительно кортежа положительных весов определяется как:${\displaystyle w}$

${\displaystyle L_{p,w}(\mathbf {x})={\frac {\sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p}}{\ sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p-1}}}.}$

Среднее значение Лемера является альтернативой среднему значению мощности для интерполяции между минимумом и максимумом через среднее арифметическое и среднее гармоническое .

Производная неотрицательна${\displaystyle p\mapsto L_ {p}(\mathbf {x})}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j+1}^{n}\left[x_{j}-x_{k}\right]\cdot \left[\ln(x_{j})-\ln(x_{k})\right]\cdot \left[x_{j}\cdot x_{k}\right]^{p-1}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}\right)^{2}}},}$

таким образом, эта функция монотонна и неравенство

${\ displaystyle p \ leq q \ Longrightarrow L_ {p} (\ mathbf {x}) \ leq L_ {q} (\ mathbf {x})}$

держится.

Производная взвешенного среднего Лемера равна:

${\displaystyle {\frac {\partial L_{p,w}(\mathbf {x} )}{\partial p}}={\frac {(\sum wx^{p-1})(\sum wx^{p}\ln {x})-(\sum wx^{p})(\sum wx^{p-1}\ln {x})}{(\sum wx^{p-1})^{2}}}}$

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(\mathbf {x} )}$является минимальным из элементов .${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle L_{0}(\mathbf {x})}$это гармоническое среднее .
• ${\displaystyle L_{\frac {1}{2}}\left((x_{1},x_{2})\right)}$представляет собой среднее геометрическое двух значений и .${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$
• ${\displaystyle L_{1}(\mathbf {x})}$это среднее арифметическое .
• ${\displaystyle L_{2}(\mathbf {x})}$является контргармоническим средним .
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }L_{p}(\mathbf {x} )}$является максимальным из элементов .${\displaystyle \mathbf {x} }$
  Набросок доказательства: Без потери общности пусть будут значения, которые равны максимуму. Тогда${\displaystyle x_{1},\точки ,x_{k}}$${\displaystyle L_{p}(\mathbf {x} )=x_{1}\cdot {\frac {k+\left({\frac {x_{k+1}}{x_{1}}}\right)^{p}+\cdots +\left({\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)^{p}}{k+\left({\frac {x_{k+1}}{x_{1}}}\right)^{p-1}+\cdots +\left({\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)^{p-1}}}}$

Как и среднее значение мощности , среднее значение Лемера служит нелинейным скользящим средним , которое смещено в сторону малых значений сигнала для малых и подчеркивает большие значения сигнала для больших . При наличии эффективной реализации скользящего арифметического среднего, называемого , вы можете реализовать скользящее среднее Лемера в соответствии со следующим кодом Haskell .${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$smooth

lehmerSmooth :: Плавающий a => ([ a ] ​​-> [ a ]) -> a -> [ a ] ​​-> [ a ] ​​lehmerSmooth плавный p xs = zipWith ( / ) ( плавный ( map ( ** p ) xs )) ( плавный ( map ( ** ( p - 1 )) xs ))                           

• Для больших он может служить детектором огибающей выпрямленного сигнала .${\displaystyle p}$
• Для небольших масс-спектров он может служить базовым детектором .${\displaystyle p}$

Гонсалес и Вудс называют это «контрагармоническим средним фильтром », описанным для различных значений p (однако, как и выше, контргармоническое среднее может относиться к конкретному случаю ). Их соглашение заключается в замене p на порядок фильтра Q :${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{Q+1}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{Q}}}.}$

Q = 0 — среднее арифметическое. Положительный Q может уменьшить шум перца , а отрицательный Q может уменьшить шум соли . ^[2]

• Иметь в виду
• Средняя мощность

• Среднее значение Лемера в MathWorld