Вычет Пуанкаре

В математике вычет Пуанкаре является обобщением, на несколько комплексных переменных и теорию комплексных многообразий , вычета в полюсе теории комплексных функций . Это всего лишь одно из ряда таких возможных расширений.

Если задана гиперповерхность , заданная полиномом степени и рациональной -формой на с полюсом порядка на , то мы можем построить класс когомологий . Если мы восстановим классическую конструкцию вычета. Х ⊂ П н {\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}} г {\displaystyle д} Ф {\displaystyle F} н {\displaystyle n} ω {\displaystyle \омега} П н {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} к > 0 {\displaystyle к>0} Х {\displaystyle X} Рез ⁡ ( ω ) ∈ ЧАС н − 1 ( Х ; С ) {\displaystyle \operatorname {Res} (\omega )\in H^{n-1}(X;\mathbb {C} )} н = 1 {\displaystyle n=1}

Историческое строительство

Когда Пуанкаре впервые ввел вычеты [1], он изучал интегралы периодов вида

∬ Г ω {\displaystyle {\underset {\Gamma }{\iint }}\omega } для Г ∈ ЧАС 2 ( П 2 − Д ) {\displaystyle \Гамма \in H_{2}(\mathbb {P} ^{2}-D)}

где была рациональная дифференциальная форма с полюсами вдоль дивизора . Он смог сделать сведение этого интеграла к интегралу вида ω {\displaystyle \омега} Д {\displaystyle D}

∫ γ Рез ( ω ) {\displaystyle \int _{\gamma }{\text{Res}}(\omega )} для γ ∈ ЧАС 1 ( Д ) {\displaystyle \gamma \in H_ {1}(D)}

где , отправляя к границе сплошной -трубки вокруг на гладком геометрическом месте делителя. Если Г = Т ( γ ) {\ displaystyle \ Gamma = T (\ gamma)} γ {\displaystyle \гамма} ε {\displaystyle \varepsilon } γ {\displaystyle \gamma } D ∗ {\displaystyle D^{*}}

ω = q ( x , y ) d x ∧ d y p ( x , y ) {\displaystyle \omega ={\frac {q(x,y)dx\wedge dy}{p(x,y)}}}

на аффинной карте, где неприводима степени и (поэтому на бесконечной прямой нет полюсов [2] стр. 150 ). Затем он дал формулу для вычисления этого остатка как p ( x , y ) {\displaystyle p(x,y)} N {\displaystyle N} deg ⁡ q ( x , y ) ≤ N − 3 {\displaystyle \deg q(x,y)\leq N-3}

Res ( ω ) = − q d x ∂ p / ∂ y = q d y ∂ p / ∂ x {\displaystyle {\text{Res}}(\omega )=-{\frac {qdx}{\partial p/\partial y}}={\frac {qdy}{\partial p/\partial x}}}

которые обе являются когомологичными формами.

Строительство

Предварительное определение

Учитывая настройку во введении, пусть будет пространством мероморфных -форм, на которых есть полюсы порядка до . Обратите внимание, что стандартный дифференциал посылает A k p ( X ) {\displaystyle A_{k}^{p}(X)} p {\displaystyle p} P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} k {\displaystyle k} d {\displaystyle d}

d : A k − 1 p − 1 ( X ) → A k p ( X ) {\displaystyle d:A_{k-1}^{p-1}(X)\to A_{k}^{p}(X)}

Определять

K k ( X ) = A k p ( X ) d A k − 1 p − 1 ( X ) {\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(X)={\frac {A_{k}^{p}(X)}{dA_{k-1}^{p-1}(X)}}}

как рациональные группы когомологий де-Рама . Они образуют фильтрацию

K 1 ( X ) ⊂ K 2 ( X ) ⊂ ⋯ ⊂ K n ( X ) = H n + 1 ( P n + 1 − X ) {\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(X)\subset {\mathcal {K}}_{2}(X)\subset \cdots \subset {\mathcal {K}}_{n}(X)=H^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)}

что соответствует фильтрации Ходжа.

Определение остатка

Рассмотрим -цикл . Берем трубку вокруг (локально изоморфную ), которая лежит внутри дополнения к . Поскольку это -цикл, мы можем интегрировать рациональную -форму и получить число. Если мы запишем это как ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} γ ∈ H n − 1 ( X ; C ) {\displaystyle \gamma \in H_{n-1}(X;\mathbb {C} )} T ( γ ) {\displaystyle T(\gamma )} γ {\displaystyle \gamma } γ × S 1 {\displaystyle \gamma \times S^{1}} X {\displaystyle X} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} ω {\displaystyle \omega }

∫ T ( − ) ω : H n − 1 ( X ; C ) → C {\displaystyle \int _{T(-)}\omega :H_{n-1}(X;\mathbb {C} )\to \mathbb {C} }

то мы получаем линейное преобразование на классах гомологии. Двойственность гомологии/когомологии подразумевает, что это класс когомологии

Res ⁡ ( ω ) ∈ H n − 1 ( X ; C ) {\displaystyle \operatorname {Res} (\omega )\in H^{n-1}(X;\mathbb {C} )}

который мы называем остатком. Обратите внимание, если мы ограничимся случаем , это будет просто стандартный остаток из комплексного анализа (хотя мы расширяем нашу мероморфную -форму на все . Это определение можно обобщить как отображение n = 1 {\displaystyle n=1} 1 {\displaystyle 1} P 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}

Res : H n ( P n ∖ X ) → H n − 1 ( X ) {\displaystyle {\text{Res}}:H^{n}(\mathbb {P} ^{n}\setminus X)\to H^{n-1}(X)}

Алгоритм вычисления этого класса

Существует простой рекурсивный метод вычисления остатков, который сводится к классическому случаю . Напомним, что остаток -формы n = 1 {\displaystyle n=1} 1 {\displaystyle 1}

Res ⁡ ( d z z + a ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Res} \left({\frac {dz}{z}}+a\right)=1}

Если мы рассмотрим карту, содержащую , где находится исчезающее геометрическое место , мы можем записать мероморфную -форму с полюсом в виде X {\displaystyle X} w {\displaystyle w} n {\displaystyle n} X {\displaystyle X}

d w w k ∧ ρ {\displaystyle {\frac {dw}{w^{k}}}\wedge \rho }

Тогда мы можем записать это как

1 ( k − 1 ) ( d ρ w k − 1 + d ( ρ w k − 1 ) ) {\displaystyle {\frac {1}{(k-1)}}\left({\frac {d\rho }{w^{k-1}}}+d\left({\frac {\rho }{w^{k-1}}}\right)\right)}

Это показывает, что два класса когомологий

[ d w w k ∧ ρ ] = [ d ρ ( k − 1 ) w k − 1 ] {\displaystyle \left[{\frac {dw}{w^{k}}}\wedge \rho \right]=\left[{\frac {d\rho }{(k-1)w^{k-1}}}\right]}

равны. Таким образом, мы уменьшили порядок полюса, поэтому мы можем использовать рекурсию, чтобы получить полюс порядка и определить остаток как 1 {\displaystyle 1} ω {\displaystyle \omega }

Res ⁡ ( α ∧ d w w + β ) = α | X {\displaystyle \operatorname {Res} \left(\alpha \wedge {\frac {dw}{w}}+\beta \right)=\alpha |_{X}}

Пример

Например, рассмотрим кривую, определяемую полиномом X ⊂ P 2 {\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{2}}

F t ( x , y , z ) = t ( x 3 + y 3 + z 3 ) − 3 x y z {\displaystyle F_{t}(x,y,z)=t(x^{3}+y^{3}+z^{3})-3xyz}

Затем мы можем применить предыдущий алгоритм для вычисления остатка

ω = Ω F t = x d y ∧ d z − y d x ∧ d z + z d x ∧ d y t ( x 3 + y 3 + z 3 ) − 3 x y z {\displaystyle \omega ={\frac {\Omega }{F_{t}}}={\frac {x\,dy\wedge dz-y\,dx\wedge dz+z\,dx\wedge dy}{t(x^{3}+y^{3}+z^{3})-3xyz}}}

С

− z d y ∧ ( ∂ F t ∂ x d x + ∂ F t ∂ y d y + ∂ F t ∂ z d z ) = z ∂ F t ∂ x d x ∧ d y − z ∂ F t ∂ z d y ∧ d z y d z ∧ ( ∂ F t ∂ x d x + ∂ F t ∂ y d y + ∂ F t ∂ z d z ) = − y ∂ F t ∂ x d x ∧ d z − y ∂ F t ∂ y d y ∧ d z {\displaystyle {\begin{aligned}-z\,dy\wedge \left({\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dz\right)&=z{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx\wedge dy-z{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dy\wedge dz\\y\,dz\wedge \left({\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dz\right)&=-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx\wedge dz-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy\wedge dz\end{aligned}}}

и

3 F t − z ∂ F t ∂ x − y ∂ F t ∂ y = x ∂ F t ∂ x {\displaystyle 3F_{t}-z{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}=x{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}}

у нас есть это

ω = y d z − z d y ∂ F t / ∂ x ∧ d F t F t + 3 d y ∧ d z ∂ F t / ∂ x {\displaystyle \omega ={\frac {y\,dz-z\,dy}{\partial F_{t}/\partial x}}\wedge {\frac {dF_{t}}{F_{t}}}+{\frac {3\,dy\wedge dz}{\partial F_{t}/\partial x}}}

Это подразумевает, что

Res ⁡ ( ω ) = y d z − z d y ∂ F t / ∂ x {\displaystyle \operatorname {Res} (\omega )={\frac {y\,dz-z\,dy}{\partial F_{t}/\partial x}}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Пуанкаре, Х. (1887). «Sur les Résidus des Integrales Double». Acta Mathematica (на французском языке). 9 : 321–380. дои : 10.1007/BF02406742 . ISSN  0001-5962.
  2. ^ Гриффитс, Филлип А. (1982). «Пуанкаре и алгебраическая геометрия». Бюллетень Американского математического общества . 6 (2): 147–159. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-14967-9 . ISSN  0273-0979.

Вводный

  • Пуанкаре и алгебраическая геометрия
  • Бесконечно малые вариации структуры Ходжа и глобальная проблема Торелли - Страница 7 содержит общую формулу вычисления с использованием когомологий Чеха
  • Введение в остатки и продукты реакции (PDF)
  • Вычеты более высоких размерностей - Mathoverflow

Передовой

  • Николаеску, Ливиу, Остатки и теория Ходжа (PDF)
  • Шнелл, Кристиан, О вычислении уравнений Пикара-Фукса (PDF)

Ссылки

  • Борис А. Хесин , Роберт Вендт, Геометрия бесконечномерных групп (2008) стр. 171
  • Вебер, Анджей, Вычет Лере для единичных многообразий (PDF)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Poincaré_residue&oldid=1131865869"