Якобианский идеал

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  «Идеал Якоба» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2022 г. )

В математике идеал Якоби или градиентный идеал — это идеал, порожденный якобианом функции или ростка функции . Пусть обозначает кольцо гладких функций от переменных и функцию в кольце. Идеал Якоби — это${\displaystyle {\mathcal {O}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle J_{f}:=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle .}$

В теории деформаций деформации гиперповерхности, заданные полиномом , классифицируются кольцом Это показано с помощью отображения Кодаиры–Спенсера .${\displaystyle f}$$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f)+J_{f}}}.}$$

В теории Ходжа существуют объекты, называемые реальными структурами Ходжа , которые являются данными реального векторного пространства и возрастающей фильтрацией удовлетворяющей списку структур совместимости. Для гладкого проективного многообразия существует каноническая структура Ходжа.${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle F^{\bullet }}$${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle X}$

В частном случае определяется однородным степенным многочленом эта структура Ходжа может быть полностью понята из идеала Якоби. Для его градуированных частей это задается отображением ^[1] , которое сюръективно на примитивных когомологиях, обозначается и имеет ядро ​​. Обратите внимание, что примитивные классы когомологий — это классы , которые не происходят из , который является просто классом Лефшеца .${\displaystyle X}$${\displaystyle д}$${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n+1},{\mathcal {O}}(d))}$$${\displaystyle \mathbb {C} [Z_{0},\ldots ,Z_{n}]^{(d(n-1+p)-(n+2))}\to {\frac {F^{p}H^{n}(X,\mathbb {C} )}{F^{p+1}H^{n}(X,\mathbb {C} )}}}$$${\displaystyle {\text{Prim}}^{p,n-p}(X)}$${\displaystyle J_{f}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$${\displaystyle [L]^{n}=c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{d}}$

Для есть ассоциированная короткая точная последовательность комплексов , где средний комплекс является комплексом пучков логарифмических форм , а правая карта является отображением вычета . Это имеет ассоциированную длинную точную последовательность в когомологиях. Из теоремы Лефшеца о гиперплоскости есть только одна интересная группа когомологий , которая есть . Из длинной точной последовательности этой короткой точной последовательности есть индуцированное отображение вычета , где правая часть равна , которое изоморфно . Кроме того, есть изоморфизм Через эти изоморфизмы есть индуцированное отображение вычета , которое является инъективным и сюръективным на примитивных когомологиях. Кроме того, есть разложение Ходжа и .${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}$$${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\xrightarrow {res} \Omega _{X}^{\bullet }[-1]\to 0}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{n}(X;\mathbb {C} )=\mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })}$$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)\to \mathbb {H} ^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet }[-1])}$$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet })}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })}$$${\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1};\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)}$$$${\displaystyle res:H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\to H^{n}(X;\mathbb {C} )}$$$${\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \bigoplus _{p+q=n+1}H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))}$$${\displaystyle H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))\cong {\text{Prim}}^{p-1,q}(X)}$

Оказывается, группа когомологий де Рама гораздо более податлива и имеет явное описание в терминах многочленов. Часть охватывается мероморфными формами, имеющими полюса порядка , который сюръецируется на часть . Это происходит из изоморфизма редукции Используя каноническую -форму на , где обозначает удаление из индекса, эти мероморфные дифференциальные формы выглядят как , где Наконец, оказывается, что ядро ^{​​[1] Лемма 8.11} есть ядро ​​всех многочленов вида , где . Обратите внимание, что тождество Эйлера показывает .${\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)}$${\displaystyle F^{p}}$${\displaystyle \leq n-p+1}$${\displaystyle F^{p}}$${\displaystyle {\text{Prim}}^{n}(X)}$$${\displaystyle F^{p+1}H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X;\mathbb {C} )\cong {\frac {\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p+1))}{d\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p))}}}$$${\displaystyle (n+1)}$$${\displaystyle \Omega =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}Z_{j}dZ_{0}\wedge \cdots \wedge {\hat {dZ_{j}}}\wedge \cdots \wedge dZ_{n+1}}$$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$${\displaystyle {\hat {dZ_{j}}}}$$${\displaystyle {\frac {A}{f^{n-p+1}}}\Omega }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}(A)&=(n-p+1)\cdot {\text{deg}}(f)-{\text{deg}}(\Omega )\\&=(n-p+1)\cdot d-(n+2)\\&=d(n-p+1)-(n+2)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A'+fB}$${\displaystyle A'\in J_{f}}$$${\displaystyle f=\sum Z_{j}{\frac {\partial f}{\partial Z_{j}}}}$$${\displaystyle f\in J_{f}}$

• Число Милнора
• Структура Ходжа
• Карта Кодаира–Спенсер
• Связь Гаусса–Манина
• Разворачивание