Спектральная последовательность Лерея

В математике спектральная последовательность Лере была пионерским примером в гомологической алгебре , введенной в 1946 году ^{[1] [2]} Жаном Лере . В настоящее время ее обычно рассматривают как частный случай спектральной последовательности Гротендика .

Пусть будет непрерывным отображением топологических пространств, которое, в частности, дает функтор из пучков абелевых групп на в пучки абелевых групп на . Композиция этого с функтором взятия сечений на есть то же самое, что и взятие сечений на , по определению функтора прямого образа :${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle \mathrm {Sh_{Ab}} (X)\xrightarrow {f_{*}} \mathrm {Sh_{Ab}} (Y)\xrightarrow {\Gamma } \mathrm {Ab} .}$

Таким образом, производные функторы вычисляют когомологии пучка для :${\displaystyle \Gamma \circ f_ {*}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle R^{i}(\Gamma \cdot f_{*})({\mathcal {F}})=H^{i}(X,{\mathcal {F}}).}$

Но поскольку и посылают инъективные объекты в - ациклические объекты в , существует спектральная последовательность ^{[3] стр. 33,19} , вторая страница которой ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$

${\displaystyle E_{2}^{pq}=(R^{p}\Gamma \cdot R^{q}f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({\mathcal {F}})),}$

и который сходится к

${\displaystyle E^{p+q}=R^{p+q}(\Gamma \circ f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}}).}$

Это называется спектральной последовательностью Лере .

Обратите внимание, что этот результат можно обобщить, рассматривая вместо этого пучки модулей над локально постоянным пучком колец для фиксированного коммутативного кольца . Тогда пучки будут пучками -модулей, где для открытого множества такой пучок является -модулем для . Кроме того, вместо пучков мы могли бы рассматривать комплексы пучков, ограниченных снизу, для производной категории . Затем заменяем когомологии пучков на гиперкогомологии пучков .${\displaystyle {\underline {A}}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle {\underline {A}}}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)}$${\displaystyle {\underline {A}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }\in D_{\underline {A}}^{+}(X)}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)}$

Существование спектральной последовательности Лере является прямым применением спектральной последовательности Гротендика ^{[3] стр. 19.} Это утверждает, что заданные аддитивные функторы

${\displaystyle {\mathcal {A}}\xrightarrow {G} {\mathcal {B}}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}}}$

между абелевыми категориями, имеющими достаточно инъективов , точным слева функтором и преобразованием инъективных объектов в ациклические объекты, то существует изоморфизм производных функторов${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle R^{+}(F\circ G)\simeq R^{+}F\circ R^{+}G}$

для производных категорий . В приведенном выше примере мы имеем композицию производных функторов${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}}),D^{+}({\mathcal {B}}),D^{+}({\mathcal {C}})}$

${\displaystyle D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X))\xrightarrow {Rf_{*}} D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y))\xrightarrow {\Gamma } D^{+}({\text{Ab}}).}$

Пусть — непрерывное отображение гладких многообразий . Если — открытое покрытие , образуем комплекс Чеха пучка относительно покрытия :${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}(X)}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

Граничные карты и карты пучков вместе дают граничную карту на двойном комплексе${\displaystyle d^{p}\colon C^{p}\to C^{p+1}}$${\displaystyle \delta ^{q}\colon \Omega _{X}^{q}\to \Omega _{X}^{q+1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{q})}$

${\displaystyle D=d+\delta \colon C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet })\longrightarrow C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }).}$

Этот двойной комплекс также является единым комплексом, градуированным по , относительно которого есть граничное отображение. Если каждое конечное пересечение диффеоморфно , можно показать, что когомологии ${\displaystyle n=p+q}$${\displaystyle D}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{D}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))=H_{\text{dR}}^{n}(X,\mathbb {R} )}$

этого комплекса есть когомологии де Рама . ^{[4] : 96} Более того, ^{[4] : 179  [5]} любой двойной комплекс имеет спектральную последовательность E с${\displaystyle X}$

${\displaystyle E_{\infty }^{n-p,p}={\text{the }}p{\text{th graded part of }}H_{dR}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))}$

(так что сумма этих чисел равна ), и ${\displaystyle H_{dR}^{n}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {H}}^{q}),}$

где — предпучок на Y , отправляющий . В этом контексте это называется спектральной последовательностью Лере.${\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}}$${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$

Современное определение включает это, поскольку высший функтор прямого образа является пучкообразованием предпучка .${\displaystyle R^{p}f_{*}(F)}$${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$

• Пусть будут гладкими многообразиями , и будут односвязными , так что . Вычислим спектральную последовательность Лере проекции . Если покрытие хорошее (конечные пересечения ), то${\displaystyle X,F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$${\displaystyle f\colon X\times F\to X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(f^{-1}U_{i})\simeq H^{q}(F)}$

Так как односвязно, любой локально постоянный предпучок является постоянным, поэтому это постоянный предпучок . Таким образом, вторая страница спектральной последовательности Лере — это${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{q}(F)={\underline {\mathbb {R} }}^{n_{q}}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},H^{q}(F))=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\mathbb {R} )\otimes H^{q}(F)}$

Так как обложка тоже хороша, . Так что${\displaystyle \{f^{-1}(U_{i})\}_{i\in I}}$${\displaystyle X\times F}$${\displaystyle H^{p}(f^{-1}(U_{i});\mathbb {R} )\cong H^{p}(f;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X)\otimes H^{q}(F)\ \Longrightarrow \ H^{p+q}(X\times F,\mathbb {R} )}$

Вот первое место, которое мы используем, которое является проекцией, а не просто расслоением: каждый элемент из является действительной замкнутой дифференциальной формой на всех из , поэтому применение d и к ним дает ноль. Таким образом . Это доказывает теорему Кюннета для односвязных:${\displaystyle f}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle X\times F}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle E_{\infty }=E_{2}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{\bullet }(X\times Y,\mathbb {R} )\simeq H^{\bullet }(X)\otimes H^{\bullet }(Y)}$

• Если — общее расслоение волокон с волокном , то вышесказанное применимо, за исключением того, что — только локально постоянный предпучок, а не константа.${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V^{p}\to H^{p}(f^{-1}V,H^{q})}$

• Все примеры вычислений со спектральной последовательностью Серра представляют собой последовательность Лере для постоянного пучка.

В категории квазипроективных многообразий над существует теорема о вырождении, доказанная Пьером Делинем и Бланшаром для спектральной последовательности Лере, которая утверждает, что гладкий проективный морфизм многообразий дает нам, что -страница спектральной последовательности для вырожденных, следовательно,${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} )\cong \bigoplus _{p+q=k}H^{p}(Y;\mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})).}$

Простые примеры можно вычислить, если Y односвязно; например, полное пересечение размерности (это происходит из-за гомоморфизма Гуревича и теоремы Лефшеца о гиперплоскости ). В этом случае локальные системы будут иметь тривиальную монодромию, следовательно . Например, рассмотрим гладкое семейство кривых рода 3 над гладкой поверхностью K3 . Тогда мы имеем, что${\displaystyle \geq 2}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus l_{q}}}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\\\mathbf {R} ^{1}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6}\\\mathbf {R} ^{2}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\end{aligned}}}$

давая нам -страницу${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}=E_{\infty }={\begin{bmatrix}H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\end{bmatrix}}}$

Другим важным примером гладкого проективного семейства является семейство, связанное с эллиптическими кривыми

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-t)}$

над . Здесь монодромия вокруг${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\setminus \{0,1,\infty \}}$0 и1 можно вычислить с помощью теории Пикара–Лефшеца , задавая монодромию путем составления локальных монодромий.${\displaystyle \infty }$

Во времена работы Лере ни одна из двух задействованных концепций (спектральная последовательность, когомологии пучков) не достигла сколько-нибудь определенного состояния. Поэтому редко бывает так, что результат Лере цитируется в его первоначальной форме. После большой работы, в частности на семинаре Анри Картана , было получено современное утверждение, хотя и не общая спектральная последовательность Гротендика.

Ранее (1948/9) импликации для расслоений были извлечены в форме, формально идентичной спектральной последовательности Серра , которая не использует пучки. Однако эта трактовка применялась к когомологиям Александера–Спанье с компактными носителями , применяемым к собственным отображениям локально компактных хаусдорфовых пространств, поскольку вывод спектральной последовательности требовал тонкого пучка вещественных дифференциальных градуированных алгебр на общем пространстве, который был получен путем вытягивания комплекса де Рама вдоль вложения в сферу. Жан-Пьер Серр , которому нужна была спектральная последовательность в гомологии , которая применялась к расслоениям пространства путей , общие пространства которых почти никогда не являются локально компактными, таким образом, не смог использовать исходную спектральную последовательность Лере и поэтому вывел связанную спектральную последовательность, когомологический вариант которой согласуется, для компактного расслоения на хорошо себя ведущем пространстве с последовательностью выше.

В формулировке, полученной Александром Гротендиком около 1957 года, спектральная последовательность Лере представляет собой спектральную последовательность Гротендика для композиции двух производных функторов .

• Спектральная последовательность Серра - для большего количества примеров
• Спектральная последовательность Гротендика - для абстрактной теории, включающей конструкцию для спектральной последовательности Лере
• Смешанный модуль Ходжа

• Спектральная последовательность Лерея Статья в Энциклопедии математики
• Спектральная последовательность Лерея для кольцевых пространств Статья в проекте The Stacks