Ориентация векторного расслоения

Обобщение ориентации векторного пространства

В математике ориентация действительного векторного расслоения является обобщением ориентации векторного пространства ; таким образом, для действительного векторного расслоения π: EB ориентация E означает: для каждого волокна E x существует ориентация векторного пространства E x и требуется, чтобы каждое отображение тривиализации (которое является отображением расслоения)

ϕ У : π 1 ( У ) У × Р н {\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {R} ^{n}}

является послойно сохраняющей ориентацию, где R n задана стандартная ориентация . В более кратких терминах это означает, что структурная группа расслоения фреймов E , которая является действительной общей линейной группой GL n ( R ), может быть сведена к подгруппе, состоящей из тех, у которых положительный определитель.

Если E — вещественное векторное расслоение ранга n , то выбор метрики на E равносилен редукции структурной группы к ортогональной группе O ( n ). В этой ситуации ориентация E равносилен редукции от O ( n ) к специальной ортогональной группе SO ( n ).

Векторные расслоения вместе с ориентацией называются ориентированными расслоениями . Векторные расслоения, которым можно придать ориентацию, называются ориентируемыми векторными расслоениями .

Основным инвариантом ориентированного расслоения является класс Эйлера . Умножение (то есть чашечное произведение) на класс Эйлера ориентированного расслоения приводит к последовательности Гизина .

Примеры

Комплексное векторное расслоение ориентировано каноническим образом.

Понятие ориентации векторного расслоения обобщает ориентацию дифференцируемого многообразия : ориентация дифференцируемого многообразия является ориентацией его касательного расслоения. В частности, дифференцируемое многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда его касательное расслоение ориентируемо как векторное расслоение. (Примечание: как многообразие, касательное расслоение всегда ориентируемо.)

Операции

Дать ориентацию действительному векторному расслоению E ранга n значит дать ориентацию (действительному) детерминантному расслоению E. Аналогично, дать ориентацию E — значит дать ориентацию единичному сферическому расслоению E. дет Э = н Э {\displaystyle \operatorname {det} E=\wedge ^{n}E}

Так же, как действительное векторное расслоение классифицируется действительным бесконечным грассманианом , ориентированные расслоения классифицируются бесконечным грассманианом ориентированных действительных векторных пространств.

пространство Тома

С когомологической точки зрения, для любого кольца Λ, Λ-ориентация вещественного векторного расслоения E ранга n означает выбор (и существование) класса

ты ЧАС н ( Т ( Э ) ; Λ ) {\displaystyle u\in H^{n}(T(E);\Lambda)}

в кольце когомологий пространства Тома T ( E ) такое, что u порождает как свободный -модуль глобально и локально: т.е. ЧАС ~ ( Т ( Э ) ; Λ ) {\displaystyle {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Лямбда)} ЧАС ( Э ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(E;\Лямбда)}

ЧАС ( Э ; Λ ) ЧАС ~ ( Т ( Э ) ; Λ ) , х х ты {\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )\to {\tilde {H}}^{*}(T(E);\Lambda ),x\mapsto x\smile u}

является изоморфизмом (называемым изоморфизмом Тома ), где «тильда» означает редуцированные когомологии , который ограничивается каждым изоморфизмом

ЧАС ( π 1 ( У ) ; Λ ) ЧАС ~ ( Т ( Э | У ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(\pi ^{-1}(U);\Lambda)\to {\tilde {H}}^{*}(T(E|_{U});\Lambda) }

вызванное тривиализацией . Можно показать, проделав некоторую работу, [ требуется ссылка ] , что обычное понятие ориентации совпадает с Z -ориентацией. π 1 ( У ) У × Р н {\displaystyle \пи ^{-1}(U)\simeq U\times \mathbf {R} ^{n}}

Смотрите также

Ссылки

Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ориентация_векторного_комплекта&oldid=1073294835"