В математике ориентация действительного векторного расслоения является обобщением ориентации векторного пространства ; таким образом, для действительного векторного расслоения π: E → B ориентация E означает: для каждого волокна E x существует ориентация векторного пространства E x и требуется, чтобы каждое отображение тривиализации (которое является отображением расслоения)
является послойно сохраняющей ориентацию, где R n задана стандартная ориентация . В более кратких терминах это означает, что структурная группа расслоения фреймов E , которая является действительной общей линейной группой GL n ( R ), может быть сведена к подгруппе, состоящей из тех, у которых положительный определитель.
Если E — вещественное векторное расслоение ранга n , то выбор метрики на E равносилен редукции структурной группы к ортогональной группе O ( n ). В этой ситуации ориентация E равносилен редукции от O ( n ) к специальной ортогональной группе SO ( n ).
Векторные расслоения вместе с ориентацией называются ориентированными расслоениями . Векторные расслоения, которым можно придать ориентацию, называются ориентируемыми векторными расслоениями .
Основным инвариантом ориентированного расслоения является класс Эйлера . Умножение (то есть чашечное произведение) на класс Эйлера ориентированного расслоения приводит к последовательности Гизина .
Комплексное векторное расслоение ориентировано каноническим образом.
Понятие ориентации векторного расслоения обобщает ориентацию дифференцируемого многообразия : ориентация дифференцируемого многообразия является ориентацией его касательного расслоения. В частности, дифференцируемое многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда его касательное расслоение ориентируемо как векторное расслоение. (Примечание: как многообразие, касательное расслоение всегда ориентируемо.)
Дать ориентацию действительному векторному расслоению E ранга n — значит дать ориентацию (действительному) детерминантному расслоению E. Аналогично, дать ориентацию E — значит дать ориентацию единичному сферическому расслоению E.
Так же, как действительное векторное расслоение классифицируется действительным бесконечным грассманианом , ориентированные расслоения классифицируются бесконечным грассманианом ориентированных действительных векторных пространств.
С когомологической точки зрения, для любого кольца Λ, Λ-ориентация вещественного векторного расслоения E ранга n означает выбор (и существование) класса
в кольце когомологий пространства Тома T ( E ) такое, что u порождает как свободный -модуль глобально и локально: т.е.
является изоморфизмом (называемым изоморфизмом Тома ), где «тильда» означает редуцированные когомологии , который ограничивается каждым изоморфизмом
вызванное тривиализацией . Можно показать, проделав некоторую работу, [ требуется ссылка ] , что обычное понятие ориентации совпадает с Z -ориентацией.