Целиком закрытый домен

В коммутативной алгебре целозамкнутая область A — это целочисленная область , целочисленное замыкание которой в ее поле дробей — это само A. В буквальном смысле это означает, что если x — элемент поля дробей A , являющийся корнем монического многочлена с коэффициентами в A, то x сам по себе является элементом A. Многие хорошо изученные области являются целочисленно замкнутыми, как показано в следующей цепочке включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Явным примером является кольцо целых чисел Z , евклидова область . Все регулярные локальные кольца также целозамкнуты.

Кольцо, локализации которого во всех простых идеалах являются целозамкнутыми областями, является нормальным кольцом .

Пусть A — целозамкнутая область с полем частных K , а L — расширение поля K. Тогда x ∈ L является целым над A тогда и только тогда , когда он алгебраичен над K и его минимальный многочлен над K имеет коэффициенты в A. [ ^1] В частности, это означает, что любой элемент L , целочисленный над A, является корнем монического многочлена в A [ X ], который неприводим в K [ X ].

Если A — область, содержащаяся в поле K, мы можем рассмотреть целочисленное замыкание A в K ( т.е. множество всех элементов K , которые являются целыми над A ). Это целочисленное замыкание является целочисленно замкнутой областью.

Целочисленно замкнутые области также играют роль в гипотезе теоремы о спуске . Теорема утверждает, что если A ⊆ B — целочисленное расширение областей и A — целочисленно замкнутая область, то свойство спуска выполняется для расширения A ⊆ B.

Ниже приведены полностью замкнутые домены.

• Основная идеальная область (в частности: целые числа и любое поле).
• Уникальная область факторизации (в частности, любое кольцо полиномов над полем, над целыми числами или над любой уникальной областью факторизации).
• Домен GCD (в частности, любой домен Bézout или домен оценки ).
• Домен Дедекинда .
• Симметричная алгебра над полем (поскольку каждая симметричная алгебра изоморфна кольцу многочленов от нескольких переменных над полем).
• Пусть — поле характеристики, отличной от 2, и кольцо многочленов над ним. Если — свободный от квадратов многочлен от константы в , то — целозамкнутая область. ^[2] В частности, — целозамкнутая область, если . ^[3]${\displaystyle к}$${\displaystyle S=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S[y]/(y^{2}-f)}$${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{r}]/(x_{0}^{2}+\dots +x_{r}^{2})}$${\displaystyle r\geq 2}$

Чтобы привести не-пример, ^[4] пусть k будет полем и , подалгеброй, порожденной t ² и t ³ . Тогда A не является целозамкнутой: она имеет поле дробей , а монический многочлен от переменной X имеет корень t , который находится в поле дробей, но не в A. Это связано с тем, что плоская кривая имеет особенность в начале координат.${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset k[t]}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle X^{2}-t^{2}}$ ${\displaystyle Y^{2}=X^{3}}$

Другая область, которая не является целозамкнутой, — это ; ее поле дробей содержит элемент , который не принадлежит A, но удовлетворяет моническому многочлену .${\displaystyle A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}\,]}$${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$${\displaystyle X^{2}-X-1=0}$

Для нётеровой локальной области A размерности один следующие условия эквивалентны.

• A является интегрально замкнутым.
• Максимальный идеал A является главным .
• A — дискретное кольцо оценки (эквивалентно A — Дедекиндово).
• A — обычное локальное кольцо.

Пусть A — нётерова область целостности. Тогда A является целозамкнутой тогда и только тогда, когда (i) A является пересечением всех локализаций по простым идеалам высоты 1 и (ii) локализация по простому идеалу высоты 1 является дискретным кольцом нормирования.${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Нётерово кольцо является областью Крулля тогда и только тогда, когда оно является целозамкнутой областью.

В ненётеровской постановке имеем следующее: область целостности является целозамкнутой тогда и только тогда, когда она является пересечением всех колец оценивания, содержащих ее.

Авторы, включая Серра , Гротендика и Мацумуру, определяют нормальное кольцо как кольцо, локализации которого в простых идеалах являются целозамкнутыми областями. Такое кольцо обязательно является редуцированным кольцом , ^[5] и это иногда включается в определение. В общем случае, если A — нётерово кольцо, локализации которого в максимальных идеалах являются всеми областями, то A — конечное произведение областей. ^[6] В частности, если A — нётерово нормальное кольцо, то области в произведении являются целозамкнутыми областями. ^[7] Обратно, любое конечное произведение целозамкнутых областей является нормальным. В частности, если является нётеровым, нормальным и связным, то A — целозамкнутая область. (ср. гладкое многообразие )${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (A)}$

Пусть A — нётерово кольцо. Тогда ( критерий Серра ) A нормально тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующему: для любого простого идеала ,${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

1. Если имеет высоту , то является регулярным (т.е. является дискретным кольцом нормирования ).${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \leq 1}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$
2. Если имеет высоту , то имеет глубину . ^[8]${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \geq 2}$${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \geq 2}$

Пункт (i) часто формулируется как «регулярный в коразмерности 1». Примечание (i) подразумевает, что множество ассоциированных простых чисел не имеет вложенных простых чисел , и, когда имеет место (i), (ii) означает, что не имеет вложенных простых чисел для любого неделителя нуля f . В частности, кольцо Коэна-Маколея удовлетворяет (ii). Геометрически мы имеем следующее: если X является локальным полным пересечением в неособом многообразии; ^[9] например, само X неособо, то X является Коэном-Маколеем; т. е. стебли структурного пучка являются Коэном-Маколеем для всех простых идеалов p. Тогда мы можем сказать: X является нормальным (т. е. стебли его структурного пучка все нормальны), если и только если он является регулярным в коразмерности 1.${\displaystyle Ass(A)}$${\displaystyle Ass(A/fA)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{p}}$

Пусть A — область, а K — её поле дробей. Элемент x из K называется почти целым над A , если подкольцо A [ x ] кольца K, порожденное A , и x — дробный идеал кольца A ; то есть если существует ненулевой элемент такой, что для всех . Тогда A называется вполне целозамкнутым , если каждый почти целый элемент кольца K содержится в A . Полностью целозамкнутая область является целозамкнутой. Обратно, нётерова целозамкнутая область является вполне целозамкнутой.${\displaystyle d\in A}$${\displaystyle dx^{n}\in A}$${\displaystyle n\geq 0}$

Предположим, что A полностью целозамкнуто. Тогда формальное кольцо степенных рядов полностью целозамкнуто. ^[10] Это важно, поскольку аналог ложен для целозамкнутой области: пусть R — область оценки высоты не менее 2 (которая целозамкнута). Тогда не является целозамкнутой. ^[11] Пусть L — расширение поля K. Тогда целозамкнутое замыкание A в L полностью целозамкнуто. ^[12]${\displaystyle A[[X]]}$${\displaystyle R[[X]]}$

Целостная область является полностью целозамкнутой тогда и только тогда, когда моноид делителей A является группой. ^[13]

Для области целостности A следующие условия эквивалентны :

1. A является интегрально замкнутым;
2. A _p (локализация A относительно p ) цело замкнута для каждого простого идеала p ;
3. Для любого максимального идеала m множество _m целозамкнуто .

1 → 2 следует непосредственно из сохранения целочисленного замыкания при локализации; 2 → 3 тривиально; 3 → 1 следует из сохранения целочисленного замыкания при локализации, точности локализации и того свойства, что A -модуль M равен нулю тогда и только тогда, когда его локализация относительно каждого максимального идеала равна нулю.

Напротив, «целозамкнутость» не переходит через частное, поскольку Z [t]/(t ² +4) не является целозамкнутой.

Локализация полностью интегрально замкнутой области не обязательно должна быть полностью интегрально замкнутой. ^[14]

Прямым пределом целозамкнутых областей является целозамкнутая область.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (February 2013)

Пусть A — нётерова целозамкнутая область.

Идеал I множества A является делимисторным тогда и только тогда, когда каждое связанное с ним простое число множества A / I имеет высоту один. ^[15]

Пусть P обозначает множество всех простых идеалов в A высоты один. Если T — конечно порожденный модуль кручения, то можно положить:

${\displaystyle \chi (T)=\sum _{p\in P}\operatorname {length} _{p}(T)p}$,

что имеет смысл как формальная сумма; т. е. делитель. Мы пишем для класса делителей d . Если являются максимальными подмодулями M , то ^[16] и обозначается (в Бурбаки) как .${\displaystyle c(d)}$${\displaystyle F,F'}$${\displaystyle c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))}$${\displaystyle c(\chi (M/F))}$${\displaystyle c(M)}$

• Местное кольцо с унибранной ветвью