Полное перекрестное кольцо

В коммутативной алгебре полное кольцо пересечений — это коммутативное кольцо, похожее на координатные кольца многообразий, которые являются полными пересечениями . Неформально их можно грубо рассматривать как локальные кольца , которые можно определить с помощью «минимально возможного» числа соотношений.

Для нётеровых локальных колец имеет место следующая цепочка включений:

Универсально цепные кольца ⊃ Кольца Коэна–Маколея ⊃ Кольца Горенштейна ⊃ Кольца полного пересечения ⊃ Регулярные локальные кольца

Локальное полное кольцо пересечения — это нётерово локальное кольцо , пополнение которого является фактором регулярного локального кольца по идеалу, порождённому регулярной последовательностью . Взятие пополнения — это небольшое техническое осложнение, вызванное тем фактом, что не все локальные кольца являются факторами регулярных колец. Для колец, которые являются факторами регулярных локальных колец, что охватывает большинство локальных колец, встречающихся в алгебраической геометрии, нет необходимости брать пополнения в определении.

Существует альтернативное внутреннее определение, которое не зависит от вложения кольца в регулярное локальное кольцо. Если R — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом m , то размерность m / m2 называется размерностью вложения emb dim( R ) кольца R. Определим градуированную алгебру H ( R ) как гомологии комплекса Кошуля относительно минимальной системы образующих кольца ^m / m2 ^; с точностью до изоморфизма это зависит только от R _, а не от выбора образующих кольца m . Размерность H1 ( R ) обозначается ε1 _и называется первым отклонением кольца R ; она равна нулю тогда и только тогда, когда кольцо R регулярно. Нётерово локальное кольцо называется полным кольцом пересечений , если его размерность вложения равна сумме размерности и первого отклонения:

вставить тусклый( р ) знак равно тусклый( р ) + ε ₁ ( р ).

Существует также рекурсивная характеристика локальных полных колец пересечений, которая может быть использована в качестве определения, как указано ниже. Предположим, что R — полное нётерово локальное кольцо. Если R имеет размерность больше 0, а x — элемент максимального идеала, не являющийся делителем нуля, то R является полным кольцом пересечений тогда и только тогда, когда R /( x ) является делителем нуля. (Если максимальный идеал состоит исключительно из делителей нуля, то R не является полным кольцом пересечений.) Если R имеет размерность 0, то Вибе (1969) показал, что оно является полным кольцом пересечений тогда и только тогда, когда идеал Фиттинга его максимального идеала не равен нулю.

Регулярные локальные кольца являются кольцами полных пересечений, но обратное неверно: кольцо является 0-мерным кольцом полных пересечений, которое не является регулярным.${\displaystyle k[x]/(x^{2})}$

Примером локально полного кольца пересечений, которое не является полным кольцом пересечений, является , которое имеет длину 3, поскольку оно изоморфно как векторное пространство . ^[1]${\displaystyle k[x,y]/(yx^{2},x^{3})}$${\displaystyle к}$${\displaystyle k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot x^{2}}$

Полные локальные кольца пересечения являются кольцами Горенштейна , но обратное неверно: кольцо является 0-мерным кольцом Горенштейна, которое не является кольцом полного пересечения. Как -векторное пространство это кольцо изоморфно${\displaystyle k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)=R/I}$${\displaystyle к}$

${\displaystyle {\frac {k[x,y,z]}{(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)}}\cong R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}}$, где , и${\displaystyle R_{0}=k\cdot 1,R_{1}=k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot z}$${\displaystyle R_{2}=k\cdot z^{2}}$

показывая, что он является горенштейновым, поскольку компонентом высшей степени является размерность , и он удовлетворяет свойству Пуанкаре. Это не локальное полное кольцо пересечений, поскольку идеал не является -регулярным. Например, является делителем нуля в .${\displaystyle 1}$${\displaystyle I\подмножество R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R/(x^{2},y^{2})}$