Алгебраический элемент

Эта статья включает список ссылок , связанных чтений или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Март 2013 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике , если L является полем расширения K , то элемент a из L называется алгебраическим элементом над K или просто алгебраическим над K , если существует некоторый ненулевой многочлен g ( x ) с коэффициентами в K, такой что g ( a ) = 0. Элементы L , которые не являются алгебраическими над K, называются трансцендентными над K.

Эти понятия обобщают алгебраические числа и трансцендентные числа (где расширение поля равно C / Q , где C — поле комплексных чисел , а Q — поле рациональных чисел ).

• Квадратный корень из 2 является алгебраическим числом над Q , поскольку он является корнем многочлена g ( x ) = x ² − 2 , коэффициенты которого рациональны.
• Число Pi трансцендентно над Q, но алгебраично над полем действительных чисел R : оно является корнем уравнения g ( x ) = x −π , коэффициенты которого (1 и −π ) являются действительными, но не любого многочлена с только рациональными коэффициентами. (В определении термина трансцендентное число используется C / Q , а не C / R .)

Следующие условия эквивалентны для элемента :${\displaystyle а}$${\displaystyle L}$

• ${\displaystyle а}$является алгебраическим над ,${\displaystyle К}$
• расширение поля является алгебраическим, т.е. каждый элемент является алгебраическим над (здесь обозначает наименьшее подполе , содержащее и ),${\displaystyle К(а)/К}$${\displaystyle К(а)}$${\displaystyle К}$${\displaystyle К(а)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle К}$${\displaystyle а}$
• расширение поля имеет конечную степень, т.е. размерность как векторного пространства конечна ,${\displaystyle К(а)/К}$${\displaystyle К(а)}$${\displaystyle К}$
• ${\displaystyle К[а]=К(а)}$, где — множество всех элементов , которое можно записать в виде многочлена, коэффициенты которого лежат в .${\displaystyle К[а]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle г(а)}$${\displaystyle г}$${\displaystyle К}$

Чтобы сделать это более явным, рассмотрим оценку полинома . Это гомоморфизм , и его ядром является . Если является алгебраическим, этот идеал содержит ненулевые полиномы, но поскольку является евклидовой областью , он содержит единственный полином с минимальной степенью и старшим коэффициентом , который затем также порождает идеал и должен быть неприводимым . Полином называется минимальным полиномом , и он кодирует многие важные свойства . Следовательно, изоморфизм колец, полученный теоремой о гомоморфизме, является изоморфизмом полей, где мы можем тогда заметить, что . В противном случае является инъективным и, следовательно, мы получаем изоморфизм полей , где является полем дробей , т. е. полем рациональных функций на , по универсальному свойству поля дробей. Мы можем заключить, что в любом случае мы находим изоморфизм или . Исследование этой конструкции дает желаемые результаты.${\displaystyle \varepsilon _{a}:K[X]\rightarrow K(a),\,P\mapsto P(a)}$${\displaystyle \{P\in K[X]\mid P(a)=0\}}$${\displaystyle а}$${\displaystyle К[X]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle а}$${\displaystyle а}$${\displaystyle K[X]/(p)\rightarrow \mathrm {im} (\varepsilon _{a})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\varepsilon _{a})=K(a)}$${\displaystyle \varepsilon _ {a}}$${\displaystyle К(X)\rightarrow К(a)}$${\displaystyle К(Х)}$${\displaystyle К[X]}$${\displaystyle К}$${\displaystyle K(a)\cong K[X]/(p)}$${\displaystyle K(a)\cong K(X)}$

Эту характеристику можно использовать для того, чтобы показать, что сумма, разность, произведение и частное алгебраических элементов над снова являются алгебраическими над . Ибо если и оба алгебраические, то конечно. Поскольку оно содержит вышеупомянутые комбинации и , присоединение одного из них к также дает конечное расширение, и, следовательно, эти элементы также являются алгебраическими. Таким образом, множество всех элементов , которые являются алгебраическими над , является полем, которое находится между и . ${\displaystyle К}$${\displaystyle К}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle (К(а))(б)}$${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle К}$${\displaystyle L}$${\displaystyle К}$${\displaystyle L}$${\displaystyle К}$

Поля, которые не допускают никаких алгебраических элементов над собой (кроме своих собственных элементов), называются алгебраически замкнутыми . Поле комплексных чисел является примером. Если является алгебраически замкнутым, то поле алгебраических элементов над является алгебраически замкнутым, что снова можно напрямую показать с помощью характеристики простых алгебраических расширений выше. Примером этого является поле алгебраических чисел .${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle К}$

• Алгебраическая независимость

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001