Поднимаясь и спускаясь

В коммутативной алгебре , разделе математики , термины «восхождение» и «нисхождение» относятся к определенным свойствам цепочек простых идеалов в целочисленных расширениях .

Фраза «идти вверх» относится к случаю, когда цепь может быть расширена путем « включения вверх », тогда как «идти вниз» относится к случаю, когда цепь может быть расширена путем «включения вниз».

Основными результатами являются теоремы Коэна–Зейденберга , доказанные Ирвином С. Коэном и Авраамом Зейденбергом . Они известны как теоремы о движении вверх и вниз .

Пусть A  ⊆  B — расширение коммутативных колец .

Теоремы о восхождении и нисхождении дают достаточные условия для того, чтобы цепочку простых идеалов в B , каждый элемент которой лежит над элементами более длинной цепочки простых идеалов в A , можно было продолжить до длины цепочки простых идеалов в A.

Во-первых, зафиксируем некоторую терминологию. Если и являются простыми идеалами A и B соответственно, такими, что${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A={\mathfrak {p}}}$

(обратите внимание, что является автоматически простым идеалом A ), то мы говорим, что лежит под , а что лежит над . В общем случае говорят, что расширение кольца A  ⊆  B коммутативных колец удовлетворяет свойству лежания над , если каждый простой идеал A лежит под некоторым простым идеалом B  .${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Говорят, что расширение A  ⊆  B удовлетворяет свойству несравнимости, если всякий раз, когда и являются различными простыми числами числа B, лежащими над простым числом из A , то  ⊈  и  ⊈  .${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Говорят, что расширение кольца A  ⊆  B удовлетворяет свойству подъема, если всякий раз, когда

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subseteq {\mathfrak {p}}_{2}\subseteq \!\!\;\cdots \cdots \cdots \!\!\,\subseteq {\mathfrak {p}}_{n}}$

представляет собой цепочку простых идеалов A и

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}}$

является цепочкой простых идеалов B с m < n и такой, что лежит над для 1 ≤  i  ≤  m , то последняя цепочка может быть расширена до цепочки${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}}$

такой, что лежит над для каждого 1 ≤  i  ≤  n .${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

В работе (Kaplansky 1970) показано, что если расширение A  ⊆  B удовлетворяет свойству подъема, то оно также удовлетворяет свойству перекрытия.

Говорят, что расширение кольца A  ⊆  B удовлетворяет свойству спуска, если всякий раз, когда

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \!\!\;\cdots \cdots \cdots \!\!\,\supseteq {\mathfrak {p}}_{n}}$

представляет собой цепочку простых идеалов A и

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}}$

является цепочкой простых идеалов B с m < n и такой, что лежит над для 1 ≤  i  ≤  m , то последняя цепочка может быть расширена до цепочки${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}}$

такой, что лежит над для каждого 1 ≤  i  ≤  n .${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

Существует обобщение случая расширения кольца с помощью кольцевых морфизмов. Пусть f  : A  →  B — (унитальный) гомоморфизм кольца , такой что B — расширение кольца f ( A ). Тогда говорят, что f удовлетворяет свойству подъема вверх , если свойство подъема вверх выполняется для f ( A ) в  B .

Аналогично, если B является кольцевым расширением f ( A ), то говорят, что f удовлетворяет свойству нисхождения , если свойство нисхождения выполняется для f ( A ) в B .

В случае обычных расширений колец, таких как A  ⊆  B , подходящим отображением является отображение включения .

Обычные утверждения теорем о восхождении и нисхождении относятся к кольцевому расширению A  ⊆  B :

1. (Подъем вверх) Если B является интегральным расширением A , то расширение удовлетворяет свойству подъема вверх (и, следовательно, свойству лежания сверху) и свойству несравнимости.
2. (Спуск) Если B является целочисленным расширением A , а B является областью, а A цело замкнуто в своем поле дробей, то расширение (в дополнение к свойствам подъема, перекрытия и несравнимости) удовлетворяет свойству спуска.

Есть еще одно достаточное условие для свойства нисхождения:

• Если A ⊆ B — плоское расширение коммутативных колец, то свойство нисхождения выполняется. ^[1]

Доказательство : ^[2] Пусть p ₁  ⊆  p ₂ — простые идеалы кольца A , и пусть q ₂ — простой идеал кольца B, такой что q ₂  ∩  A  =  p ₂ . Мы хотим доказать, что существует простой идеал q ₁ кольца B, содержащийся в q _{2 ,} такой что q ₁  ∩  A  =  p ₁ . Поскольку A  ⊆  B — плоское расширение колец, то A _{p 2}  ⊆  B _{q 2} — плоское расширение колец. Фактически, A _{p 2}  ⊆  B _{q 2} — строго плоское расширение колец, поскольку отображение включения A _{p 2}  →  B _{q 2} является локальным гомоморфизмом. Следовательно, индуцированное отображение на спектрах Spec( B _{q 2} ) → Spec( A _{p 2} ) является сюръективным и существует простой идеал B _{q 2} , который сжимается до простого идеала p ₁ A _{p 2} алгебры A _{p 2} . Сжатие этого простого идеала алгебры B _{q 2} до B является простым идеалом q ₁ алгебры B, содержащимся в q ₂ , который сжимается до p ₁ . Доказательство завершено.  QED

• Атья, М. Ф. и И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, 1969, ISBN  0-201-00361-9 MR 242802
• Винфрид Брунс; Юрген Герцог, Кольца Коэна–Маколея . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Кембридж, 1993. xii+403 стр. ISBN 0-521-41068-1 
• Коэн, И. С.; Зайденберг, А. (1946). «Простые идеалы и интегральная зависимость». Bull. Amer. Math. Soc . 52 (4): 252– 261. doi : 10.1090/s0002-9904-1946-08552-3 . MR  0015379.
• Капланский, Ирвинг (1970). Коммутативные кольца . Аллин и Бэкон.
• Мацумура, Хидеюки (1970). Коммутативная алгебра . В. А. Бенджамин. ISBN 978-0-8053-7025-6.
• Sharp, RY (2000). "13 Интегральная зависимость от подколец (13.38 Теорема о движении вверх, стр. 258–259; 13.41 Теорема о движении вниз, стр. 261–262)". Шаги в коммутативной алгебре . Тексты для студентов Лондонского математического общества. Том 51 (Второе издание). Кембридж: Cambridge University Press. стр. xii+355. ISBN 0-521-64623-5. МР  1817605.