Мутация (алгебра)

В теории алгебр над полем мутация — это построение новой бинарной операции, связанной с умножением алгебры. В особых случаях полученная алгебра может называться гомотопом или изотопом исходной .

Пусть A — алгебра над полем F с умножением (не предполагается, что оно ассоциативно ), обозначаемым сопоставлением. Для элемента a из A определим левый a -гомотоп как алгебру с умножением${\displaystyle А(а)}$

${\displaystyle x*y=(xa)y.\,}$

Аналогично определяем левую ( a , b ) мутацию ${\displaystyle А(а,б)}$

${\displaystyle x*y=(xa)y-(yb)x.\,}$

Аналогично определяются правый гомотоп и мутация. Поскольку правая ( p , q ) мутация A является левой (− q , − p ) мутацией противоположной алгебры к A , достаточно изучить левые мутации. ^[1]

Если A — унитальная алгебра и a обратим, то изотоп мы обозначаем как a .

• Если A ассоциативен, то таковым является любой гомотоп A , и любая мутация A является допустимой по Ли .
• Если A является альтернативным, то таковым является любой гомотоп A , и любая мутация A является допустимой по Мальцеву . ^[1]
• Любой изотоп алгебры Гурвица изоморфен исходному. ^[1]
• Гомотоп алгебры Бернштейна по элементу ненулевого веса снова является алгеброй Бернштейна. ^[2]

Йорданова алгебра — это коммутативная алгебра, удовлетворяющая тождеству Жордана . Тройное произведение Жордана определяется как${\displaystyle (xy)(xx)=x(y(xx))}$

${\displaystyle \{a,b,c\}=(ab)c+(cb)a-(ac)b.\,}$

Для y в A мутация ^[3] или гомотоп [ ^4] A ^y определяется как векторное пространство A с умножением

${\displaystyle a\circ b=\{a,y,b\}.\,}$

и если y обратим, то это называется изотопом . Гомотоп йордановой алгебры снова является йордановой алгеброй: изотопия определяет отношение эквивалентности. ^[5] Если y является ядерным , то изотоп по y изоморфен исходному. ^[6]

• Elduque, Alberto; Myung, Hyo Chyl (1994). Мутации альтернативных алгебр . Математика и ее приложения. Т. 278. Springer-Verlag . ISBN 0792327357.
• Якобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2. Збл  0874.16002.
• Koecher, Max (1999) [1962]. Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian (ред.). The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1710 (переиздание). Springer-Verlag . ISBN 3-540-66360-6. Збл  1072.17513.
• Маккриммон, Кевин (2004). Вкус йордановых алгебр . Universitext. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/b97489. ISBN 0-387-95447-3. МР  2014924.
• Окубо, Сусумо (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике. Серия лекций памяти Монтролла по математической физике. Берлин, Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 0-521-47215-6. MR  1356224. Архивировано из оригинала 2012-11-16 . Получено 2014-02-04 .