Генетическая алгебра

В математической генетике генетическая алгебра — это (возможно, неассоциативная ) алгебра, используемая для моделирования наследования в генетике. Некоторые вариации этих алгебр называются алгебрами поездов , специальными алгебрами поездов , гаметическими алгебрами , алгебрами Бернштейна , копулярными алгебрами , зиготическими алгебрами и барическими алгебрами (также называемыми взвешенной алгеброй ). Изучение этих алгебр было начато Айвором Этерингтоном  (1939).

В приложениях к генетике эти алгебры часто имеют базис, соответствующий генетически различным гаметам , а структурные константы алгебры кодируют вероятности производства потомства различных типов. Законы наследования затем кодируются как алгебраические свойства алгебры.

Обзоры генетических алгебр см. в работах Бертрана (1966), Вёрца-Бусекроса (1980) и Рида (1997).

Барические алгебры

Барические алгебры (или весовые алгебры) были введены Этерингтоном (1939). Барическая алгебра над полем  K — это возможно неассоциативная алгебра над  K вместе с гомоморфизмом  w , называемым весом, из алгебры в  K. [ 1]

Алгебры Бернштейна

Алгебра Бернштейна, основанная на работе Сергея Натановича Бернштейна  (1923) о законе Харди–Вайнберга в генетике, — это (возможно, неассоциативная) барическая алгебра B над полем K с гомоморфизмом веса w из B в K, удовлетворяющим . Каждая такая алгебра имеет идемпотенты e вида с . Разложение Пирса алгебры B , соответствующее e, имеет вид ( х 2 ) 2 = ж ( х ) 2 х 2 {\displaystyle (x^{2})^{2}=w(x)^{2}x^{2}} е = а 2 {\displaystyle е=а^{2}} ж ( а ) = 1 {\displaystyle w(a)=1}

Б = К е ⊕ У е ⊕ З е {\displaystyle B=Ke\oplus U_{e}\oplus Z_{e}}

где и . Хотя эти подпространства зависят от e , их размерности инвариантны и составляют тип B . Исключительная алгебра Бернштейна — это алгебра с . [2] У е = { а ∈ кер ⁡ ж : е а = а / 2 } {\displaystyle U_{e}=\{a\in \ker w:ea=a/2\}} З е = { а ∈ кер ⁡ ж : е а = 0 } {\displaystyle Z_{e}=\{a\in \ker w:ea=0\}} У е 2 = 0 {\displaystyle U_{e}^{2}=0}

Связные алгебры

Связные алгебры были введены Этерингтоном (1939, раздел 8)

Эволюционные алгебры

Эволюционная алгебра над полем — это алгебра с базисом, на котором умножение определяется произведением различных базисных членов, равным нулю, и квадратом каждого базисного элемента, являющимся линейной формой в базисных элементах. Действительная эволюционная алгебра — это алгебра, определенная над действительными числами: она неотрицательна , если все структурные константы в линейной форме неотрицательны. [3] Эволюционная алгебра обязательно коммутативна и гибка , но не обязательно ассоциативна или ассоциативна по мощности . [4]

Гаметические алгебры

Гаметическая алгебра — это конечномерная действительная алгебра, все структурные константы которой лежат в диапазоне от 0 до 1. [5]

Генетические алгебры

Генетические алгебры были введены Шефером (1949), который показал, что специальные алгебры поездов являются генетическими алгебрами, а генетические алгебры являются алгебрами поездов.

Специальные поездные алгебры

Специальные алгебры поездов были введены Этерингтоном (1939, раздел 4) как частные случаи барических алгебр.

Специальная алгебра поездов — это барическая алгебра, в которой ядро ​​N весовой функции нильпотентно, а главные степени N являются идеалами. [1]

Этерингтон (1941) показал, что специальные алгебры поездов являются алгебрами поездов.

Обучаем алгебрам

Поездные алгебры были введены Этерингтоном (1939, раздел 4) как частные случаи барических алгебр.

Пусть — элементы поля K с . Формальный многочлен с 1 , … , с н {\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}} 1 + с 1 + ⋯ + с н = 0 {\displaystyle 1+c_{1}+\cdots +c_{n}=0}

х н + с 1 ж ( х ) х н − 1 + ⋯ + с н ж ( х ) н {\displaystyle x^{n}+c_{1}w(x)x^{n-1}+\cdots +c_{n}w(x)^{n}}

является поездным полиномом . Барическая алгебра B с весом w является поездной алгеброй, если

а н + с 1 ж ( а ) а н − 1 + ⋯ + с н ж ( а ) н = 0 {\displaystyle a^{n}+c_{1}w(a)a^{n-1}+\cdots +c_{n}w(a)^{n}=0}

для всех элементов , с определенными в качестве главных мощностей, . [1] [6] а ∈ Б {\displaystyle а\в Б} а к {\displaystyle а^{к}} ( а к − 1 ) а {\displaystyle (a^{k-1})a}

Зиготические алгебры

Зиготические алгебры были введены Этерингтоном (1939, раздел 7)

Ссылки

  1. ^ abc González, S.; Martínez, C. (2001), "About Bernstein algebras", в Granja, Ángel (ред.), Ring theory and algebraic geometry. Труды 5-й международной конференции по алгебре и алгебраической геометрии, SAGA V, Леон, Испания , Lect. Notes Pure Appl. Math., т. 221, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Marcel Dekker, стр.  223– 239, Zbl  1005.17021
  2. ^ Каталан, А. (2000). «E-идеалы в алгебрах Бернштейна». В Коста, Роберто (ред.). Неассоциативная алгебра и ее приложения. Труды четвертой международной конференции, Сан-Паулу, Бразилия . Lect. Notes Pure Appl. Math. Vol. 211. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер. стр.  35–42 . Zbl  0968.17013.
  3. ^ Тянь (2008) стр.18
  4. ^ Тянь (2008) стр.20
  5. ^ Кон, Пол М. (2000). Введение в теорию колец . Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag . стр. 56. ISBN 1852332069. ISSN  1615-2085.
  6. ^ Каталан С., Абдон (1994). « Е -идеалы в барических алгебрах». Мат. Созерцание . 6 : 7– 12. Збл  0868.17023.
  • Бернштейн, С.Н. (1923), «Принцип стационарности и обобщения законов Менделя», CR Acad. наук. Париж , 177 : 581–584 ..
  • Бертран, Моник (1966), Неассоциативные и генетические алгебры , Мемориал математических наук, Fasc. 162, Готье-Виллар Эдитёр, Париж, MR  0215885
  • Этерингтон, IMH (1939), "Генетические алгебры" (PDF) , Proc. R. Soc. Эдинбург , 59 : 242– 258, MR  0000597, Zbl  0027.29402, архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-06
  • Этерингтон, IMH (1941), «Специальные поездные алгебры», The Quarterly Journal of Mathematics , вторая серия, 12 : 1– 8, doi : 10.1093/qmath/os-12.1.1, ISSN  0033-5606, JFM  67.0093.04, MR  0005111, Zbl  0027.29401
  • Любич, Ю.И. (2001) [1994], "Проблема Бернштейна в математической генетике", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
  • Микали, А. (2001) [1994], «Барическая алгебра», Энциклопедия математики , EMS Press
  • Микали, А. (2001) [1994], «Алгебра Бернштейна», Энциклопедия математики , EMS Press
  • Рид, Мэри Линн (1997), «Алгебраическая структура генетического наследования», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 34 (2): 107– 130, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00712-X , ISSN  0002-9904, MR  1414973, Zbl  0876.17040
  • Шефер, Ричард Д. (1949), «Структура генетических алгебр», American Journal of Mathematics , 71 : 121– 135, doi : 10.2307/2372100, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372100, MR  0027751
  • Tian, ​​Jianjun Paul (2008), Эволюционные алгебры и их приложения , Lecture Notes in Mathematics, т. 1921, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-74283-8, ЗБЛ  1136.17001
  • Вёрц-Бусекрос, Ангелика (1980), Алгебры в генетике , Lecture Notes in Biomathematics, т. 36, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-09978-1, МР  0599179
  • Вёрц-Бусекрос, А. (2001) [1994], "Генетическая алгебра", Энциклопедия математики , EMS Press

Дальнейшее чтение

  • Любич, Ю.И. (1983), Математические структуры в популяционной генетике. (Математические структуры в популяционной генетике) , Киев: Наукова думка, Збл  0593.92011
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Генетическая_алгебра&oldid=1224497770#Алгебры_Бернштейна"