алгебра Риса

В коммутативной алгебре алгебра Риса или кольцо Риса идеала I в коммутативном кольце R определяется как

$R[It]=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t].$

Расширенная алгебра Риса I (которую некоторые авторы ^[1] называют алгеброй Риса I ) определяется как

$R[It,t^{-1}]=\bigoplus _{n=-\infty }^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t,t^{-1}].$

Эта конструкция представляет особый интерес в алгебраической геометрии, поскольку проективная схема, определяемая алгеброй Риса идеала в кольце, является раздутием спектра кольца вдоль подсхемы, определяемой идеалом (см. Идеальный пучок § Алгебраическая геометрия . ^[2]

Характеристики

Алгебра Риса является алгеброй над и определяется так, что, факторизуя по или t=λ для λ любой обратимый элемент в R , получаем $\mathbb {Z} [t^{-1}]$ $т^{-1}=0$

${\text{gr}}_{I}R\ \leftarrow \ R[It]\ \to \ R.$

Таким образом, он интерполирует между R и связанным с ним градуированным кольцом gr _I R .

Предположим, что R — нётерово ; тогда R[It] также нётерово. Размерность Крулля алгебры Риса равна , если I не содержится ни в каком простом идеале P с ; в противном случае . Размерность Крулля расширенной алгебры Риса равна . ^[3] $\dim R[It]=\dim R+1$ $\dim(R/P)=\dim R$ $\dim R[It]=\dim R$ $\dim R[It,t^{-1}]=\dim R+1$
Если — идеалы в нётеровом кольце R , то расширение кольца является целым тогда и только тогда, когда J — редукция I. ^[3 ] $J\subseteq I$ $R[Jt]\subseteq R[It]$
Если I — идеал в нётеровом кольце R , то алгебра Риса I является фактором симметрической алгебры I по ее подмодулю кручения .

Связь с другими алгебрами раздутия

Соответствующее градуированное кольцо I может быть определено как

$\operatorname {gr} _{I}(R)=R[It]/IR[It].$

Если R — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом , то специальное волокнистое кольцо I задаётся формулой ${\mathfrak {m}}$

${\mathcal {F}}_{I}(R)=R[It]/{\mathfrak {m}}R[It].$

Размерность Крулля специального волоконного кольца называется аналитическим распространением I.

Ссылки

^ Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-78122-6.
^ Эйзенбуд-Харрис, Геометрия схем . Springer-Verlag, 197, 2000
^ ab Swanson, Irena ; Huneke, Craig (2006). Целостное замыкание идеалов, колец и модулей . Cambridge University Press. ISBN 9780521688604.

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. "Rees Ring". MathWorld . Получено 2024-08-31 .
Что такое алгебра Риса модуля?
Геометрия, лежащая в основе алгебры Риса (деформация к нормальному конусу)

[1] Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-78122-6.

[2] Эйзенбуд-Харрис, Геометрия схем . Springer-Verlag, 197, 2000

[:0-3] Swanson, Irena ; Huneke, Craig (2006). Целостное замыкание идеалов, колец и модулей . Cambridge University Press. ISBN 9780521688604.