Плетеная моноидная категория

В математике ограничение коммутативности на моноидальную категорию — это выбор изоморфизма для каждой пары объектов A и B , которые образуют «естественное семейство». В частности, чтобы иметь ограничение коммутативности, нужно иметь для всех пар объектов .${\displaystyle \гамма}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A}$${\displaystyle A\otimes B\cong B\otimes A}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$

Сплетенная моноидальная категория — это моноидальная категория , снабженная сплетением , то есть ограничением коммутативности , которое удовлетворяет аксиомам, включая тождества шестиугольника, определенные ниже. Термин сплетенный ссылается на тот факт, что группа кос играет важную роль в теории сплетенных моноидальных категорий. Отчасти по этой причине сплетенные моноидальные категории и другие темы связаны в теории инвариантов узлов .${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \гамма}$

С другой стороны, сплетенную моноидальную категорию можно рассматривать как трикатегорию с одной 0-ячейкой и одной 1-ячейкой.

Плетеные моноидальные категории были введены Андре Джоялом и Россом Стритом в препринте 1986 года. ^[1] Измененная версия этой статьи была опубликована в 1993 году. ^[2]

Для того, чтобы вместе с ограничением коммутативности называться сплетенной моноидальной категорией, следующие гексагональные диаграммы должны коммутировать для всех объектов . Вот изоморфизм ассоциативности, вытекающий из моноидальной структуры на :${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

,

Можно показать, что естественный изоморфизм вместе с отображениями, происходящими из моноидальной структуры в категории , удовлетворяют различным условиям когерентности , которые утверждают, что различные композиции структурных отображений равны. В частности:${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \альфа,\лямбда,\ро}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Плетение коммутирует с единицами. То есть, следующая диаграмма коммутирует:

• Действие на -кратное тензорное произведение факторов через группу кос . В частности,${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle (\gamma _{B,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,C})\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,B})\circ (\gamma _{A,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

как карты . Здесь мы опустили карты-ассоциаторы.${\displaystyle A\otimes B\otimes C\rightarrow C\otimes B\otimes A}$

Существует несколько вариантов сплетенных моноидальных категорий, которые используются в различных контекстах. См., например, пояснительную статью Сэвиджа (2009) для объяснения симметричных и кограничных моноидальных категорий, а также книгу Чари и Прессли (1995) для ленточных категорий.

Сплетенная моноидальная категория называется симметричной, если также удовлетворяет для всех пар объектов и . В этом случае действие на -кратное тензорное произведение пропускается через симметрическую группу .${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle N}$

Сплетенная моноидальная категория является ленточной категорией, если она жесткая , и может сохранять квантовый след и коквантовый след. Ленточные категории особенно полезны при построении инвариантов узлов .

Кограничная или «кактусовая» моноидальная категория — это моноидальная категория вместе с семейством естественных изоморфизмов со следующими свойствами:${\displaystyle (C,\otimes,{\text{Id}})}$${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\to B\otimes A}$

• ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$для всех пар объектов и .${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$
• ${\displaystyle \gamma _{B\otimes A,C}\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=\gamma _{A,C\otimes B}\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

Первое свойство показывает нам, что , тем самым позволяя нам опустить аналог второй определяющей диаграммы сплетенной моноидальной категории и игнорировать ассоциативные отображения, как подразумевается.${\displaystyle \гамма _{A,B}^{-1}=\гамма _{B,A}}$

• Категория представлений группы (или алгебры Ли ) — это симметричная моноидальная категория, где .${\displaystyle \gamma (v\otimes w) = w\otimes v}$
• Категория представлений квантованной универсальной обертывающей алгебры является сплетенной моноидальной категорией, где строится с помощью универсальной R -матрицы . Фактически, этот пример также является ленточной категорией.${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \гамма}$

• Инварианты узлов .
• Симметричные замкнутые моноидальные категории используются в денотационных моделях линейной логики и линейных типов .
• Описание и классификация топологически упорядоченных квантовых систем.

• Чари, Виджаянти ; Пресли, Эндрю. «Руководство по квантовым группам». Cambridge University Press. 1995.
• Savage, Alistair. Braided and coboundary monoidal categories. Алгебры, представления и приложения, 229–251, Contemp. Math., 483, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009. Доступно на arXiv

• Плетеная моноидальная категория в n Lab
• Джон Баез (1999), Введение в сплетенные моноидальные категории, Находки этой недели в математической физике 137.