Моноидальное присоединение

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить ее, чтобы сделать ее понятной для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Февраль 2017 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Monoidal adjunction» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Моноидальное присоединение — это присоединение в математике между моноидальными категориями , которое соблюдает моноидальную структуру. ^{[1] [2] [3]}

Предположим, что и — две моноидальные категории . Моноидальное присоединение между двумя нестрогими моноидальными функторами${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$

${\displaystyle (F,m):({\mathcal {C}},\otimes ,I)\to ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$и${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,J)\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$

является присоединением между базовыми функторами, таким образом, что естественные преобразования${\displaystyle (F,G,\eta,\varepsilon)}$

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\Rightarrow G\circ F}$и${\displaystyle \varepsilon :F\circ G\Rightarrow 1_{\mathcal {D}}}$

являются моноидальными естественными преобразованиями .

Предположим, что

${\displaystyle (F,m):({\mathcal {C}},\otimes ,I)\to ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$

— нестрогий моноидальный функтор, такой что базовый функтор имеет правый сопряженный . Это сопряжение поднимается до моноидального сопряжения ⊣ тогда и только тогда, когда нестрогий моноидальный функтор является сильным.${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (Ж,м)}$${\displaystyle (G,n)}$${\displaystyle (Ж,м)}$

• Каждое моноидальное присоединение ⊣ определяет моноидальную монаду .${\displaystyle (Ж,м)}$${\displaystyle (G,n)}$ ${\displaystyle G\circ F}$