Модуль сдвига

В материаловедении модуль сдвига или модуль жесткости , обозначаемый как G , а иногда S или μ , является мерой упругой жесткости материала при сдвиге и определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига : ^[1]

${\displaystyle G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A} \Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}}$

где

${\displaystyle \tau _{xy}=F/A\,}$= напряжение сдвига

${\displaystyle F}$это сила, которая действует

${\displaystyle А}$это площадь, на которую действует сила

${\displaystyle \гамма _{ху}}$= деформация сдвига. В машиностроении , в других местах${\displaystyle :=\Delta x/l=\tan \theta }$${\displaystyle :=\тета }$

${\displaystyle \Дельта х}$поперечное смещение

${\displaystyle л}$— начальная длина области.

Производной единицей СИ модуля сдвига является паскаль (Па), хотя обычно он выражается в гигапаскалях (ГПа) или в тысячах фунтов на квадратный дюйм (ksi). Его размерная форма — M ¹ L ⁻¹ T ⁻² , заменяя силу на массу , умноженную на ускорение .

Модуль сдвига — одна из нескольких величин для измерения жесткости материалов. Все они возникают в обобщенном законе Гука :

• Модуль Юнга E описывает реакцию материала на деформацию в ответ на одноосное напряжение в направлении этого напряжения (подобно натяжению концов проволоки или размещению груза на вершине колонны, при этом проволока становится длиннее, а колонна теряет высоту),
• Коэффициент Пуассона ν описывает реакцию в направлениях, ортогональных этому одноосному напряжению (проволока становится тоньше, а стержень толще),
• модуль объемной упругости K описывает реакцию материала на (равномерное) гидростатическое давление (например, давление на дне океана или глубокого бассейна),
• Модуль сдвига G описывает реакцию материала на сдвиговое напряжение (подобно резке тупыми ножницами).

Эти модули не являются независимыми, и для изотропных материалов они связаны уравнениями ^[9]

${\displaystyle E=2G(1+\nu)=3K(1-2\nu)}$

Модуль сдвига связан с деформацией твердого тела, когда оно испытывает силу, параллельную одной из его поверхностей, в то время как его противоположная грань испытывает противодействующую силу (такую ​​как трение). В случае объекта, имеющего форму прямоугольной призмы, он деформируется в параллелепипед . Анизотропные материалы, такие как дерево , бумага , а также по существу все монокристаллы демонстрируют различную материальную реакцию на напряжение или деформацию при испытании в разных направлениях. В этом случае может потребоваться использовать полное тензорное выражение упругих констант, а не одно скалярное значение.

Одним из возможных определений жидкости было бы определение материала с нулевым модулем сдвига.

В однородных и изотропных твердых телах существуют два вида волн: волны давления и волны сдвига . Скорость волны сдвига контролируется модулем сдвига, ${\displaystyle (v_{s})}$

${\displaystyle v_{s}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}}$

где

G — модуль сдвига

${\displaystyle \ро}$плотность твердого тела .

Модуль сдвига металлов обычно уменьшается с ростом температуры. При высоких давлениях модуль сдвига также, по-видимому, увеличивается с приложенным давлением. Корреляции между температурой плавления, энергией образования вакансий и модулем сдвига наблюдались во многих металлах. ^[13]

Существует несколько моделей, которые пытаются предсказать модуль сдвига металлов (и, возможно, сплавов). Модели модуля сдвига, которые использовались в расчетах пластического течения, включают:

1. модель Варшни-Чена-Грея, разработанная ^[14] и используемая совместно с моделью пластического напряжения течения механического порогового напряжения (MTS). ^{[15] [16]}
2. модель модуля сдвига Стейнберга-Кохрана-Гинана (SCG), разработанная ^[17] и используемая совместно с моделью напряжения течения Стейнберга-Кохрана-Гинана-Лунда (SCGL).
3. модель модуля сдвига Надаля и Лепоака (NP) ^[12] , которая использует теорию Линдемана для определения температурной зависимости, и модель SCG для зависимости модуля сдвига от давления.

Модель Варшни-Чена-Грея (иногда называемая уравнением Варшни) имеет вид:

${\displaystyle \mu (T)=\mu _{0}-{\frac {D}{\exp(T_{0}/T)-1}}}$

где — модуль сдвига при , а и — материальные константы.${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle Т=0К}$${\displaystyle D}$${\displaystyle T_{0}}$

Модель модуля сдвига Стейнберга-Кохрана-Гинана (SCG) зависит от давления и имеет вид

${\displaystyle \mu (p,T)=\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}+{\frac {\partial \mu }{\partial T}}(T-300);\quad \eta :={\frac {\rho }{\rho _{0}}}}$

где μ ₀ — модуль сдвига в исходном состоянии ( T = 300 К, p = 0, η = 1), p — давление, T — температура.

Модель модуля сдвига Надаля-Ле Поака (NP) является модифицированной версией модели SCG. Эмпирическая температурная зависимость модуля сдвига в модели SCG заменена уравнением, основанным на теории плавления Линдемана . Модель модуля сдвига NP имеет вид:

${\displaystyle \mu (p,T)={\frac {1}{{\mathcal {J}}\left({\hat {T}}\right)}}\left[\left(\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}\right)\left(1-{\hat {T}}\right)+{\frac {\rho }{Cm}}~T\right];\quad C:={\frac {\left(6\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}{3}}f^{2}}$

где

${\displaystyle {\mathcal {J}}({\hat {T}}):=1+\exp \left[-{\frac {1+1/\zeta }{1+\zeta /\left(1-{\hat {T}}\right)}}\right]\quad {\text{for}}\quad {\hat {T}}:={\frac {T}{T_{m}}}\in [0,6+\zeta ],}$

и μ ₀ — модуль сдвига при абсолютном нуле и давлении окружающей среды, ζ — площадь, m — атомная масса , а f — постоянная Линдемана .

Модуль релаксации сдвига представляет собой зависящее от времени обобщение модуля сдвига ^[18] :${\displaystyle G(т)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\lim _{t\to \infty }G(t)}$.

• Тензор упругости
• Динамический модуль
• Методика импульсного возбуждения
• Прочность на сдвиг
• Сейсмический момент

Формулы преобразования
Упругие свойства однородных изотропных линейно-упругих материалов однозначно определяются любыми двумя модулями из них; таким образом, если заданы любые два модуля упругости, любой другой модуль упругости может быть рассчитан по этим формулам, как для трехмерных материалов (первая часть таблицы), так и для двумерных материалов (вторая часть).
3D формулы	${\displaystyle К=\,}$	${\displaystyle E=\,}$	${\displaystyle \лямбда =\,}$	${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle \nu =\,}$	${\displaystyle М=\,}$	Примечания
${\displaystyle (К,\,Е)}$			${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$
${\displaystyle (K,\,\lambda)}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda)}{3K-\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda)}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle 3K-2\лямбда \,}$
${\displaystyle (К,\,Г)}$		${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$
${\displaystyle (К,\,\ну )}$		${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu)}{1+\nu }}}$
${\displaystyle (К,\,М)}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(MK)}{3K+M}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3(M-K)}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}$
${\displaystyle (E,\,\lambda )}$	${\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}$			${\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}}$	${\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}$
${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$
${\displaystyle (E,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$
${\displaystyle (E,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3M+E-S}{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}}$		${\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ Есть два допустимых решения. Знак плюс приводит к .${\displaystyle \nu \geq 0}$ Знак минус приводит к .${\displaystyle \nu \leq 0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$
${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	Не может быть использовано, когда${\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}}$
${\displaystyle (G,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$
${\displaystyle (G,\,M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}$	${\displaystyle M-2G\,}$		${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\displaystyle (\nu ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}}$
2D формулы	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle E_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle G_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }=\,}$	Примечания
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })}$			${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}$		${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$
${\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,}$
${\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	Не может быть использовано, когда${\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0}$
${\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,}$		${\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}}$