Деформация (механика)

Напряжение
Другие имена	Тензор деформации
единица СИ	1
Другие единицы	%
В основных единицах СИ	м/м
Поведение при координационной трансформации	тензор
Измерение	${\displaystyle 1}$

Часть серии статей о
Механика сплошной среды
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi {dx}}}$ Законы диффузии Фика
Законы Консервации Масса Импульс Энергия Неравенства Клаузиус–Дюгем (энтропия)
Механика твёрдого тела Деформация Эластичность линейный Пластичность закон Гука Стресс Напряжение Конечная деформация Бесконечно малая деформация Совместимость Изгиб Контактная механика фрикционный Теория разрушения материалов Механика разрушения
Механика жидкости Жидкости Статика  · Динамика Принцип Архимеда  · Принцип Бернулли Уравнения Навье–Стокса Уравнение Пуазейля  · Закон Паскаля Вязкость ( Ньютоновский  · неньютоновский ) Плавучесть  · Смешивание  · Давление Жидкости Адгезия Капиллярное действие Хроматография Когезия (химия) Поверхностное натяжение Газы Атмосфера Закон Бойля Закон Шарля Комбинированный газовый закон Закон Фика Закон Гей-Люссака Закон Грэма плазма
Реология Вязкоупругость Реометрия Реометр Умные жидкости Электрореологический Магнитореологический Ферромагнитные жидкости
Ученые Бернулли Бойл Коши Чарльз Эйлер Фик Гей-Люссак Грэм Гук Ньютон Навье Нолл Паскаль Стокса Трусделл
в т е

В механике деформация определяется как относительная деформация по сравнению с конфигурацией исходного положения . Для выражения поля деформации могут быть сделаны различные эквивалентные выборы в зависимости от того , определено ли оно относительно начальной или конечной конфигурации тела, и рассматривается ли метрический тензор или его дуальный тензор.

Деформация имеет размерность отношения длины , с основными единицами СИ метр на метр (м/м). Следовательно, деформации безразмерны и обычно выражаются в виде десятичной дроби или процента . Также используется обозначение частей на миллион или частей на миллиард (иногда называемых «микродеформациями» и «нанодеформациями» соответственно), что соответствует мкм /м и нм /м.

Деформация может быть сформулирована как пространственная производная смещения : где I — тензор тождественности . Смещение тела может быть выражено в виде x = F ( X ) , где X — исходное положение материальных точек тела; смещение имеет единицы длины и не различает движения твердого тела (перемещения и вращения) и деформации (изменения формы и размера) тела. Пространственная производная равномерного перемещения равна нулю, таким образом, деформации измеряют, насколько данное смещение локально отличается от движения твердого тела. ^[1]$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},}$$

В общем случае деформация является тензорной величиной. Физическое понимание деформаций может быть получено путем наблюдения того, что данная деформация может быть разложена на нормальные и сдвиговые компоненты. Величина растяжения или сжатия вдоль материальных линейных элементов или волокон является нормальной деформацией , а величина искажения, связанного со скольжением плоских слоев друг по другу, является сдвиговой деформацией внутри деформируемого тела. ^[2] Это может быть применено путем удлинения, укорочения или изменения объема, или углового искажения. ^[3]

Состояние деформации в материальной точке сплошного тела определяется как совокупность всех изменений длины материальных линий или волокон, нормальная деформация , проходящих через эту точку, а также совокупность всех изменений угла между парами линий, изначально перпендикулярных друг другу, сдвиговая деформация , исходящих из этой точки. Однако достаточно знать нормальную и сдвиговую составляющие деформации на наборе из трех взаимно перпендикулярных направлений.

Если длина материальной линии увеличивается, нормальная деформация называется деформацией растяжения ; в противном случае, если длина материальной линии уменьшается или сжимается, она называется деформацией сжатия .

В зависимости от величины деформации или локальной деформации анализ деформации подразделяется на три теории деформации:

• Теория конечных деформаций , также называемая теорией больших деформаций , теорией больших деформаций , имеет дело с деформациями, в которых как вращения, так и деформации являются произвольно большими. В этом случае недеформированные и деформированные конфигурации континуума существенно различаются, и между ними необходимо провести четкое различие. Это обычно имеет место в случае эластомеров , пластически деформирующихся материалов и других жидкостей и биологических мягких тканей .
• Теория бесконечно малых деформаций , также называемая теорией малых деформаций , теорией малых деформаций , теорией малых смещений или теорией малых градиентов смещений , где деформации и вращения малы. В этом случае недеформированные и деформированные конфигурации тела можно считать идентичными. Теория бесконечно малых деформаций используется при анализе деформаций материалов, проявляющих упругое поведение, таких как материалы, используемые в машиностроении и гражданском строительстве, например, бетон и сталь.
• Теория больших смещений или больших вращений , которая предполагает малые деформации, но большие вращения и смещения.

В каждой из этих теорий деформация определяется по-разному. Инженерная деформация является наиболее распространенным определением, применяемым к материалам, используемым в машиностроении и строительстве, которые подвергаются очень малым деформациям. С другой стороны, для некоторых материалов, например, эластомеров и полимеров, подвергающихся большим деформациям, инженерное определение деформации неприменимо, например, типичные инженерные деформации больше 1%; ^[4] поэтому требуются другие, более сложные определения деформации, такие как растяжение , логарифмическая деформация , деформация Грина и деформация Альманси .

Инженерная деформация , также известная как деформация Коши , выражается как отношение полной деформации к исходному размеру материального тела, к которому прилагаются силы. В случае линейного элемента материала или волокна, нагруженного в осевом направлении, его удлинение приводит к инженерной нормальной деформации или инженерной деформации растяжения e , которая равна относительному удлинению или изменению длины Δ L на единицу исходной длины L линейного элемента или волокон (в метрах на метр). Нормальная деформация положительна, если волокна материала растянуты, и отрицательна, если они сжаты. Таким образом, мы имеем , где e — инженерная нормальная деформация , L — исходная длина волокна, а l — конечная длина волокна.$${\displaystyle e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}$$

Истинная деформация сдвига определяется как изменение угла (в радианах) между двумя линейными элементами материала, изначально перпендикулярными друг другу в недеформированной или исходной конфигурации. Инженерная деформация сдвига определяется как тангенс этого угла и равна длине деформации в ее максимуме, деленной на перпендикулярную длину в плоскости приложения силы, что иногда упрощает расчет.

Коэффициент растяжения или коэффициент удлинения (символ λ) является альтернативной мерой, относящейся к растяжению или нормальной деформации элемента дифференциальной линии, нагруженного в осевом направлении. Он определяется как отношение конечной длины l к начальной длине L материальной линии.$${\displaystyle \lambda ={\frac {l}{L}}}$$

Коэффициент удлинения λ связан с инженерной деформацией e следующим образом: Это уравнение подразумевает, что когда нормальная деформация равна нулю, т.е. деформация отсутствует, коэффициент удлинения равен единице.$${\displaystyle e=\lambda -1}$$

Коэффициент растяжения используется при анализе материалов, которые демонстрируют большие деформации, таких как эластомеры , которые могут выдерживать коэффициенты растяжения 3 или 4, прежде чем они разрушаются. С другой стороны, традиционные конструкционные материалы, такие как бетон или сталь, разрушаются при гораздо меньших коэффициентах растяжения.

Логарифмическая деформация ε , также называемая истинной деформацией или деформацией Генки . ^[5] При рассмотрении инкрементной деформации (Людвик) логарифмическая деформация получается путем интегрирования этой инкрементной деформации: где e — инженерная деформация. Логарифмическая деформация обеспечивает правильную меру конечной деформации, когда деформация происходит в серии инкрементов, принимая во внимание влияние пути деформации. ^[2]$${\displaystyle \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}}$$

Зеленый штамм определяется как:$${\displaystyle \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}$$

Деформация Эйлера-Альманси определяется как$${\displaystyle \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$$

(Бесконечно малый) тензор деформации (символ ) определяется в Международной системе величин (ISQ), более конкретно в ISO 80000-4 (Механика), как «тензорная величина, представляющая деформацию вещества, вызванную напряжением. Тензор деформации симметричен и имеет три линейных компонента деформации и три компонента деформации сдвига (декартовых)». ^[6] ISO 80000-4 далее определяет линейную деформацию как «частное изменения длины объекта и его длины», а деформацию сдвига как «частное параллельного смещения двух поверхностей слоя и толщины слоя». ^[6] Таким образом, деформации классифицируются как нормальные или сдвиговые . Нормальная деформация перпендикулярна грани элемента, а деформация сдвига параллельна ей. Эти определения согласуются с определениями нормального напряжения и напряжения сдвига .${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

Тогда тензор деформации можно выразить через нормальную и сдвиговую составляющие следующим образом:$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

Рассмотрим двумерный, бесконечно малый, прямоугольный материальный элемент с размерами dx × dy , который после деформации принимает форму ромба . Деформация описывается полем смещения u . Из геометрии смежной фигуры имеем и Для очень малых градиентов смещения квадраты производной и пренебрежимо малы и мы имеем$${\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle u_{y}}$${\displaystyle u_{x}}$$${\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

Для изотропного материала, подчиняющегося закону Гука , нормальное напряжение вызовет нормальную деформацию. Нормальные деформации вызывают расширения .

Нормальная деформация в направлении x прямоугольного элемента определяется как Аналогично нормальная деформация в направлениях y и z становится$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

Инженерная деформация сдвига ( γ _xy ) определяется как изменение угла между линиями AC и AB . Следовательно,$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

Из геометрии рисунка имеем Для малых градиентов смещения имеем Для малых вращений, т. е. α и β ≪ 1, имеем tan α ≈ α , tan β ≈ β . Следовательно, таким образом Поменяв местами x и y и u _x и u _y , можно показать, что γ _xy = γ _yx .$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}$$$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

Аналогично для плоскостей yz и xz имеем$${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

Поле деформации, связанное со смещением, определяется в любой точке изменением длины касательных векторов , представляющих скорости произвольно параметризованных кривых, проходящих через эту точку. Основной геометрический результат, полученный Фреше , фон Нейманом и Жорданом , гласит, что если длины касательных векторов удовлетворяют аксиомам нормы и закону параллелограмма , то длина вектора является квадратным корнем значения квадратичной формы , связанной с формулой поляризации с положительно определенным билинейным отображением , называемым метрическим тензором .

• Меры по снятию стресса
• Скорость деформации
• Тензор деформации