Смешанное распределение Пуассона
смешанное распределение Пуассона
Обозначение Пуа ⁡ ( λ ) ∧ λ π ( λ ) {\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )\,{\underset {\lambda }{\wedge }}\,\pi (\lambda )}
Параметры λ ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \lambda \in (0,\infty)}
Поддерживать к ∈ Н 0 {\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
ПМФ ∫ 0 ∞ λ к к ! е − λ π ( λ ) г λ {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }
Иметь в виду ∫ 0 ∞ λ π ( λ ) г λ {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda }
Дисперсия ∫ 0 ∞ ( λ + ( λ − μ π ) 2 ) π ( λ ) г λ {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }(\lambda +(\lambda -\mu _{\pi})^{2})\,\,\pi (\lambda)\,d \лямбда }
Асимметрия ( μ π + σ π 2 ) − 3 / 2 [ ∫ 0 ∞ [ ( λ − μ π ) 3 + 3 ( λ − μ π ) 2 ] π ( λ ) г λ + μ π ] {\displaystyle {\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr)}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }[(\lambda -\mu _{\pi })^{3}+3(\lambda -\mu _{\pi })^{2}]\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}}
МГФ М π ( е т − 1 ) {\displaystyle M_{\пи}(e^{t}-1)} , с MGF π М π {\displaystyle М_{\пи}}
CF М π ( е я т − 1 ) {\displaystyle M_{\pi }(e^{it}-1)}
ПГФ М π ( з − 1 ) {\displaystyle M_{\пи}(z-1)}

Смешанное распределение Пуассона — это одномерное дискретное распределение вероятностей в стохастике. Оно возникает из предположения, что условное распределение случайной величины, заданное значением параметра скорости, является распределением Пуассона , и что сам параметр скорости рассматривается как случайная величина. Следовательно, это особый случай составного распределения вероятностей . Смешанные распределения Пуассона можно найти в актуарной математике как общий подход к распределению числа претензий, а также их рассматривают как эпидемиологическую модель . [1] Его не следует путать с составным распределением Пуассона или составным пуассоновским процессом . [2]

Определение

Случайная величина X удовлетворяет смешанному распределению Пуассона с плотностью π ( λ ), если она имеет распределение вероятностей [3]

П ⁡ ( Х = к ) = ∫ 0 ∞ λ к к ! е − λ π ( λ ) г λ . {\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}

Если обозначить вероятности распределения Пуассона через q λ ( k ), то

P ⁡ ( X = k ) = ∫ 0 ∞ q λ ( k ) π ( λ ) d λ . {\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}

Характеристики

Далее пусть будет ожидаемым значением плотности , а будет дисперсией плотности. μ π = ∫ 0 ∞ λ π ( λ ) d λ {\displaystyle \mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,} π ( λ ) {\displaystyle \pi (\lambda )\,} σ π 2 = ∫ 0 ∞ ( λ − μ π ) 2 π ( λ ) d λ {\displaystyle \sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}

Ожидаемое значение

Ожидаемое значение смешанного распределения Пуассона равно

E ⁡ ( X ) = μ π . {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }.}

Дисперсия

Для дисперсии получаем [3]

Var ⁡ ( X ) = μ π + σ π 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.}

Асимметрия

Асимметрию можно представить как

v ⁡ ( X ) = ( μ π + σ π 2 ) − 3 / 2 [ ∫ 0 ∞ ( λ − μ π ) 3 π ( λ ) d λ + μ π ] . {\displaystyle \operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.}

Характерная функция

Характеристическая функция имеет вид

φ X ( s ) = M π ( e i s − 1 ) . {\displaystyle \varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1).\,}

Где — функция плотности, производящая моменты . M π {\displaystyle M_{\pi }}

Функция генерации вероятности

Для функции генерации вероятности получаем [3]

m X ( s ) = M π ( s − 1 ) . {\displaystyle m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1).\,}

Функция, генерирующая момент

Функция , генерирующая моменты смешанного распределения Пуассона, имеет вид

M X ( s ) = M π ( e s − 1 ) . {\displaystyle M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1).\,}

Примеры

Теорема  —  Объединение распределения Пуассона с параметром скорости, распределенным в соответствии с гамма-распределением, дает отрицательное биномиальное распределение . [3]

Доказательство

Пусть — плотность распределенной случайной величины. π ( λ ) = ( p 1 − p ) r Γ ( r ) λ r − 1 e − p 1 − p λ {\displaystyle \pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }} Γ ⁡ ( r , p 1 − p ) {\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left(r,{\frac {p}{1-p}}\right)}

P ⁡ ( X = k ) = 1 k ! ∫ 0 ∞ λ k e − λ ( p 1 − p ) r Γ ( r ) λ r − 1 e − p 1 − p λ d λ = p r ( 1 − p ) − r Γ ( r ) k ! ∫ 0 ∞ λ k + r − 1 e − λ 1 1 − p d λ = p r ( 1 − p ) − r Γ ( r ) k ! ( 1 − p ) k + r ∫ 0 ∞ λ k + r − 1 e − λ d λ ⏟ = Γ ( r + k ) = Γ ( r + k ) Γ ( r ) k ! ( 1 − p ) k p r {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda {\frac {1}{1-p}}}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k+r}\underbrace {\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda }\,\mathrm {d} \lambda } _{=\Gamma (r+k)}\\&={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k}p^{r}\end{aligned}}}

Поэтому мы получаем X ∼ NegB ⁡ ( r , p ) . {\displaystyle X\sim \operatorname {NegB} (r,p).}

Теорема  —  Объединение распределения Пуассона с параметром скорости, распределенным в соответствии с экспоненциальным распределением, дает геометрическое распределение .

Доказательство

Пусть — плотность распределенной случайной величины. Интегрирование по частям n раз дает: Поэтому получаем π ( λ ) = 1 β e − λ β {\displaystyle \pi (\lambda )={\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}} E x p ( 1 β ) {\displaystyle \mathrm {Exp} \left({\frac {1}{\beta }}\right)} P ⁡ ( X = k ) = 1 k ! ∫ 0 ∞ λ k e − λ 1 β e − λ β d λ = 1 k ! β ∫ 0 ∞ λ k e − λ ( 1 + β β ) d λ = 1 k ! β ⋅ k ! ( β 1 + β ) k ∫ 0 ∞ e − λ ( 1 + β β ) d λ = ( β 1 + β ) k ( 1 1 + β ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int \limits _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\int \limits _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\cdot k!\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,\mathrm {d} \lambda \\&=\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)\end{aligned}}} X ∼ G e o ( 1 1 + β ) . {\displaystyle X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)} .}

Таблица смешанных распределений Пуассона

распределение смешиваниясмешанное распределение Пуассона [4]
ДиракПуассон
гамма , Эрланготрицательный бином
экспоненциальныйгеометрический
обратный гауссовСихель
ПуассонНейман
обобщенный обратный гауссовОбобщенный обратный гауссов
обобщенная гаммаПуассоново-обобщенная гамма
обобщенный ПаретоПуассоново-обобщенное Парето
обратная гаммаПуассоновская обратная гамма
логнормальныйПуассоново-логарифмически-нормальное
ЛомаксПуассон–Ломакс
ПаретоПуассон–Парето
Семейство распределений ПирсонаСемейство Пуассона–Пирсона
усеченный нормальныйНормальное усеченное распределение Пуассона
униформаПуассоново-равномерный
смещенная гаммаДелапорте
бета с определенными значениями параметровЙоль

Литература

  • Ян Гранделл: Смешанные пуассоновские процессы. Chapman & Hall, Лондон, 1997, ISBN 0-412-78700-8.
  • Том Бриттон: Стохастические эпидемические модели с выводом. Springer, 2019, doi :10.1007/978-3-030-30900-8

Ссылки

  1. ^ Уиллмот, Гордон Э.; Лин, X. Шелдон (2001), «Смешанные распределения Пуассона», Аппроксимации Лундберга для сложных распределений со страховыми приложениями , Lecture Notes in Statistics, т. 156, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр.  37–49 , doi :10.1007/978-1-4613-0111-0_3, ISBN 978-0-387-95135-5, получено 2022-07-08
  2. ^ Уиллмот, Горд (1986). «Смешанные составные распределения Пуассона». Бюллетень ASTIN . 16 (S1): S59 – S79 . doi : 10.1017/S051503610001165X . ISSN  0515-0361.
  3. ^ abcd Уиллмот, Горд (29.08.2014). «Смешанные составные распределения Пуассона». Бюллетень Астина . 16 : 5–7 . doi : 10.1017/S051503610001165X . S2CID  17737506.
  4. ^ Карлис, Димитрис; Ксекалаки, Евдокия (2005). «Смешанные распределения Пуассона». International Statistical Review . 73 (1): 35–58 . doi :10.1111/j.1751-5823.2005.tb00250.x. ISSN  0306-7734. JSTOR  25472639. S2CID  53637483.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mixed_Poisson_distribution&oldid=1268549553"