Распределение Делапорте
Делапорте
Функция массы вероятности
График PMF для различных распределений Делапорте.
Когда и равны 0, распределение является распределением Пуассона. Когда равно 0, распределение является отрицательным биномиальным. α {\displaystyle \альфа} β {\displaystyle \бета}
λ {\displaystyle \лямбда}
Кумулятивная функция распределения
График PMF для различных распределений Делапорте.
Когда и равны 0, распределение является распределением Пуассона. Когда равно 0, распределение является отрицательным биномиальным. α {\displaystyle \альфа} β {\displaystyle \бета}
λ {\displaystyle \лямбда}
Параметры

λ > 0 {\displaystyle \лямбда >0} (фиксированное среднее)

α , β > 0 {\displaystyle \альфа,\бета >0} (параметры переменного среднего)
Поддерживать к ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}
ПМФ ∑ я = 0 к Г ( α + я ) β я λ к − я е − λ Г ( α ) я ! ( 1 + β ) α + я ( к − я ) ! {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\frac {\Gamma (\alpha +i)\beta ^{i}\lambda ^{ki}e^{-\lambda }}{\Gamma (\alpha )i!(1+\beta )^{\alpha +i}(ki)!}}}
СДФ ∑ дж = 0 к ∑ я = 0 дж Г ( α + я ) β я λ дж − я е − λ Г ( α ) я ! ( 1 + β ) α + я ( дж − я ) ! {\displaystyle \sum _{j=0}^{k}\sum _{i=0}^{j}{\frac {\Gamma (\alpha +i)\beta ^{i}\lambda ^{ji}e^{-\lambda }}{\Gamma (\alpha )i!(1+\beta )^{\alpha +i}(ji)!}}}
Иметь в виду λ + α β {\displaystyle \лямбда +\альфа \бета }
Режим { з , з + 1 { з ∈ З } : з = ( α − 1 ) β + λ ⌊ з ⌋ в противном случае {\displaystyle {\begin{cases}z,z+1&\{z\in \mathbb {Z} \}:\;z=(\alpha -1)\beta +\lambda \\\lfloor z\rfloor &{\textrm {иначе}}\end{cases}}}
Дисперсия λ + α β ( 1 + β ) {\displaystyle \лямбда +\альфа \бета (1+\бета )}
АсимметрияСм. #Свойства
Избыточный эксцессСм. #Свойства
МГФ е λ ( е т − 1 ) ( 1 − β ( е т − 1 ) ) α {\displaystyle {\frac {e^{\lambda (e^{t}-1)}}{(1-\beta (e^{t}-1))^{\alpha }}}}

Распределение Делапорта — это дискретное распределение вероятностей , которое привлекло внимание в актуарной науке . [1] [2] Его можно определить с помощью свертки отрицательного биномиального распределения с распределением Пуассона . [2] Так же, как отрицательное биномиальное распределение можно рассматривать как распределение Пуассона, где средний параметр сам по себе является случайной величиной с гамма-распределением , распределение Делапорта можно рассматривать как составное распределение, основанное на распределении Пуассона, где есть два компонента для среднего параметра: фиксированный компонент, который имеет параметр , и гамма-распределенный переменный компонент, который имеет параметры и . [3] Распределение названо в честь Пьера Делапорта, который проанализировал его в отношении количества претензий по автомобильным авариям в 1959 году, [4] хотя оно появилось в другой форме еще в 1934 году в статье Рольфа фон Людерса, [5] где оно было названо распределением Формеля II. [2] λ {\displaystyle \лямбда} α {\displaystyle \альфа} β {\displaystyle \бета}

Характеристики

Асимметрия распределения Делапорте составляет :

λ + α β ( 1 + 3 β + 2 β 2 ) ( λ + α β ( 1 + β ) ) 3 2 {\displaystyle {\frac {\lambda +\alpha \beta (1+3\beta +2\beta ^{2})}{\left(\lambda +\alpha \beta (1+\beta )\right)^{\frac {3}{2}}}}}

Избыточный эксцесс распределения равен:

λ + 3 λ 2 + α β ( 1 + 6 λ + 6 λ β + 7 β + 12 β 2 + 6 β 3 + 3 α β + 6 α β 2 + 3 α β 3 ) ( λ + α β ( 1 + β ) ) 2 {\displaystyle {\frac {\lambda +3\lambda ^2}+\alpha \beta (1+6\lambda +6\lambda \beta +7\beta +12\beta ^2}+6\beta ^3}+3\alpha \beta +6\alpha \beta ^2}+3\alpha \beta ^3})}{\left(\lambda +\alpha \beta (1+\beta )\right)^2}}}}

Ссылки

  1. ^ Panjer, Harry H. (2006). "Дискретные параметрические распределения". В Teugels, Jozef L.; Sundt, Bjørn (ред.). Энциклопедия актуарной науки . John Wiley & Sons . doi :10.1002/9780470012505.tad027. ISBN 978-0-470-01250-5.
  2. ^ abc Джонсон, Норман Ллойд ; Кемп, Адриенн В.; Коц, Сэмюэл (2005). Одномерные дискретные распределения (Третье изд.). John Wiley & Sons . стр. 241–242. ISBN 978-0-471-27246-5.
  3. ^ Восе, Дэвид (2008). Анализ риска: количественное руководство (Третье, иллюстрированное издание). John Wiley & Sons . С. 618–619. ISBN 978-0-470-51284-5. LCCN  2007041696.
  4. ^ Делапорт, Пьер Дж. (1960). «Quelques problèmes de statistiques Mathématiques Pos par l'Assurance Automobile et le Bonus pour Non Sinistre» [Некоторые проблемы математической статистики, связанные с автомобильным страхованием и бонусами без претензий]. Bulletin Trimstriel de l'Institut des Actuaires Français (на французском языке). 227 : 87–102.
  5. ^ фон Людерс, Рольф (1934). «Die Statistik der seltenen Ereignisse» [Статистика редких событий]. Биометрика (на немецком языке). 26 (1–2): 108–128. дои : 10.1093/biomet/26.1-2.108. JSTOR  2332055.

Дальнейшее чтение

  • Мурат, М.; Шинал, Д. (1998). «О моментах подсчета распределений, удовлетворяющих рекурсии k-го порядка, и их составных распределениях». Журнал математических наук . 92 (4): 4038–4043. doi : 10.1007/BF02432340 . S2CID  122625458.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Delaporte_distribution&oldid=1160981118"