Обобщенное распределение Парето

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Обобщенное распределение Парето" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Обобщенное распределение Парето

Функция плотности вероятности Функции распределения GPD для и различных значений и${\displaystyle \мю =0}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \xi}$
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \mu \in (-\infty,\infty)\,}$ местоположение ( реальное ) масштаб (реальный) ${\displaystyle \сигма \in (0,\infty)\,}$ ${\displaystyle \xi \in (-\infty,\infty)\,}$ форма (реальная)
Поддерживать	${\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)}$ ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{- (1/\xi +1)}}$ где${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$
СДФ	${\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma}{1-\xi}}\,\;(\xi <1)}$
Медиана	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}}$
Режим	${\displaystyle \мю}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi)^{2}(1-2\xi)}}\,\;(\xi <1/2)}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {2(1+\xi){\sqrt {1-2\xi }}}{(1-3\xi)}}\,\;(\xi <1/3)}$
Избыточный эксцесс	${\displaystyle {\frac {3(1-2\xi)(2\xi ^{2}+\xi +3)}{(1-3\xi )(1-4\xi)}}-3\ ,\;(\xi <1/4)}$
Энтропия	${\displaystyle \log(\сигма)+\xi +1}$
МГФ	${\displaystyle e^{\theta \mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(\theta \sigma)^{j}}{\prod _{k =0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)}$
CF	${\displaystyle e^{it\mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(it\sigma)^{j}}{\prod _{k=0 }^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)}$
Метод моментов	${\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {(E[X]-\mu )^{2}}{V[X]}}\right)}$ ${\displaystyle \сигма =(E[X]-\мю)(1-\кси)}$
Ожидаемый дефицит	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma \left[{\frac {(1-p)^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-p) ^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&,\xi \neq 0\\\mu +\sigma [1-\ln(1-p)]&,\xi =0\end{случаи}}}$[1]

В статистике обобщенное распределение Парето (GPD) представляет собой семейство непрерывных распределений вероятностей . Оно часто используется для моделирования хвостов другого распределения. Оно задается тремя параметрами: местоположением , масштабом и формой . ^{[2] [3]} Иногда оно задается только масштабом и формой ^[4] , а иногда только параметром формы. В некоторых источниках параметр формы указывается как . ^[5]${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \ каппа =-\xi \,}$

Стандартная кумулятивная функция распределения (cdf) ВВП определяется как ^[6]

${\displaystyle F_{\xi }(z)={\begin{cases}1-\left(1+\xi z\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

где поддержка для и для . Соответствующая функция плотности вероятности (pdf) равна${\displaystyle z\geq 0}$${\displaystyle \xi \geq 0}$${\displaystyle 0\leq z\leq -1/\xi }$${\displaystyle \xi <0}$

${\displaystyle f_{\xi }(z)={\begin{cases}(1+\xi z)^{-{\frac {\xi +1}{\xi }}}&{\text{for }}\xi \neq 0,\\e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

Соответствующее семейство распределений по масштабу местоположения получается путем замены аргумента z на и соответствующей корректировки поддержки.${\displaystyle {\frac {x-\mu }{\sigma }}}$

Кумулятивная функция распределения ( , , и ) равна${\displaystyle X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )}$${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{for }}\xi =0,\end{cases}}}$

где поддержка — когда , и когда .${\displaystyle X}$${\displaystyle x\geqslant \mu }$${\displaystyle \xi \geqslant 0\,}$${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$${\displaystyle \xi <0}$

Функция плотности вероятности (pdf) равна${\displaystyle X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )}$

${\displaystyle f_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$,

снова, когда и когда .${\displaystyle x\geqslant \mu }$${\displaystyle \xi \geqslant 0}$${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$${\displaystyle \xi <0}$

PDF-файл представляет собой решение следующего дифференциального уравнения : ^{[ требуется ссылка ]}

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\f(0)={\frac {\left(1-{\frac {\mu \xi }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}}{\sigma }}\end{array}}\right\}}$

• Если и форма , и местоположение равны нулю, то GPD эквивалентен экспоненциальному распределению .${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \mu }$
• При наличии формы GPD эквивалентен непрерывному равномерному распределению . ^[7]${\displaystyle \xi =-1}$ ${\displaystyle U(0,\sigma )}$
• По форме и местоположению распределение GPD эквивалентно распределению Парето по масштабу и форме .${\displaystyle \xi >0}$${\displaystyle \mu =\sigma /\xi }$${\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi }$${\displaystyle \alpha =1/\xi }$
• Если , , , то [1]. (exGPD обозначает экспоненциальное обобщенное распределение Парето.)${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle GPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle Y=\log(X)\sim exGPD(\sigma ,\xi )}$
• GPD похож на распределение Бёрра .

Если U равномерно распределено на (0, 1], то

${\displaystyle X=\mu +{\frac {\sigma (U^{-\xi }-1)}{\xi }}\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi \neq 0)}$

и

${\displaystyle X=\mu -\sigma \ln(U)\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi =0).}$

Обе формулы получены путем обращения функции распределения.

В Matlab Statistics Toolbox вы можете легко использовать команду «gprnd» для генерации обобщенных случайных чисел Парето.

Случайную величину GPD также можно выразить как экспоненциальную случайную величину с гамма-распределенным параметром скорости.

${\displaystyle X|\Lambda \sim \operatorname {Exp} (\Lambda )}$

и

${\displaystyle \Lambda \sim \operatorname {Gamma} (\alpha ,\beta )}$

затем

${\displaystyle X\sim \operatorname {GPD} (\xi =1/\alpha ,\ \sigma =\beta /\alpha )}$

Однако следует отметить, что поскольку параметры гамма-распределения должны быть больше нуля, мы получаем дополнительные ограничения: должны быть положительными.${\displaystyle \xi }$

В дополнение к этому смешанному (или составному) выражению обобщенное распределение Парето также может быть выражено в виде простого отношения. Конкретно, для и , мы имеем . Это следствие смеси после установки и учета того, что параметры скорости экспоненциального и гамма-распределения являются просто обратными мультипликативными константами.${\displaystyle Y\sim {\text{Exponential}}(1)}$${\displaystyle Z\sim {\text{Gamma}}(1/\xi ,1)}$${\displaystyle \mu +\sigma {\frac {Y}{\xi Z}}\sim {\text{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi )}$${\displaystyle \beta =\alpha }$

Если , , , то распределено в соответствии с экспоненциальным обобщенным распределением Парето, обозначаемым , .${\displaystyle X\sim GPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle Y=\log(X)}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$

Функция плотности вероятности (pdf ) равна${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )\,\,(\sigma >0)}$

${\displaystyle g_{(\sigma ,\xi )}(y)={\begin{cases}{\frac {e^{y}}{\sigma }}{\bigg (}1+{\frac {\xi e^{y}}{\sigma }}{\bigg )}^{-1/\xi -1}\,\,\,\,{\text{for }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{y-e^{y}/\sigma }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi =0,\end{cases}}}$

где поддержка для , и для .${\displaystyle -\infty <y<\infty }$${\displaystyle \xi \geq 0}$${\displaystyle -\infty <y\leq \log(-\sigma /\xi )}$${\displaystyle \xi <0}$

Для всех , становится параметром местоположения. Смотрите правую панель для pdf, когда форма положительна.${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \log \sigma }$${\displaystyle \xi }$

exGPD имеет конечные моменты всех порядков для всех и .${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle -\infty <\xi <\infty }$

Функция , генерирующая момент, имеет вид ${\displaystyle Y\sim exGPD(\sigma ,\xi )}$

${\displaystyle M_{Y}(s)=E[e^{sY}]={\begin{cases}-{\frac {1}{\xi }}{\bigg (}-{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}^{s}B(s+1,-1/\xi )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}s\in (-1,\infty ),\xi <0,\\{\frac {1}{\xi }}{\bigg (}{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}^{s}B(s+1,1/\xi -s)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}s\in (-1,1/\xi ),\xi >0,\\\sigma ^{s}\Gamma (1+s)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}s\in (-1,\infty ),\xi =0,\end{cases}}}$

где и обозначают бета-функцию и гамма-функцию соответственно.${\displaystyle B(a,b)}$${\displaystyle \Gamma (a)}$

Ожидаемое значение зависит от параметров масштаба и формы , а участвует через дигамма-функцию :${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle E[Y]={\begin{cases}\log \ {\bigg (}-{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}+\psi (1)-\psi (-1/\xi +1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi <0,\\\log \ {\bigg (}{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}+\psi (1)-\psi (1/\xi )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi >0,\\\log \sigma +\psi (1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

Обратите внимание, что при фиксированном значении играет роль параметра местоположения при экспоненциальном обобщенном распределении Парето.${\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle \log \ \sigma }$

Дисперсия зависит от параметра формы только через полигамма-функцию порядка 1 (также называемую тригамма - функцией ):${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle Var[Y]={\begin{cases}\psi '(1)-\psi '(-1/\xi +1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi <0,\\\psi '(1)+\psi '(1/\xi )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi >0,\\\psi '(1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

На правой панели показана дисперсия как функция . Обратите внимание, что .${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \psi '(1)=\pi ^{2}/6\approx 1.644934}$

Обратите внимание, что роли параметра масштаба и параметра формы под раздельно интерпретируются, что может привести к надежной эффективной оценке для , чем с использованием [2]. Роли двух параметров связаны друг с другом под (по крайней мере, до второго центрального момента); см. формулу дисперсии , в которой участвуют оба параметра.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle Y\sim exGPD(\sigma ,\xi )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X\sim GPD(\sigma ,\xi )}$${\displaystyle X\sim GPD(\mu =0,\sigma ,\xi )}$${\displaystyle Var(X)}$

Предположим, что есть наблюдения (не обязательно iid) из неизвестного распределения с тяжелым хвостом, такого, что его хвостовое распределение регулярно меняется с индексом хвоста (следовательно, соответствующий параметр формы равен ). Для определенности хвостовое распределение описывается как ${\displaystyle X_{1:n}=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle 1/\xi }$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\bar {F}}(x)=1-F(x)=L(x)\cdot x^{-1/\xi },\,\,\,\,\,{\text{for some }}\xi >0,\,\,{\text{where }}L{\text{ is a slowly varying function.}}}$

В теории экстремальных значений особый интерес представляет оценка параметра формы , особенно когда он положителен (так называемое распределение с тяжелым хвостом).${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

Пусть будет их условной избыточной функцией распределения. Теорема Пикандса–Балкема–де Хаана (Пикандс, 1975; Балкема и де Хаан, 1974) утверждает, что для большого класса базовых функций распределения и больших хорошо аппроксимируется обобщенным распределением Парето (GPD), что побудило методы пика над порогом (POT) оценить : GPD играет ключевую роль в подходе POT.${\displaystyle F_{u}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle u}$${\displaystyle F_{u}}$${\displaystyle \xi }$

Известным оценщиком, использующим методологию POT, является оценщик Хилла . Техническая формулировка оценщика Хилла выглядит следующим образом. Для запишите для -го наибольшего значения . Тогда, с этой записью, оценщик Хилла (см. страницу 190 Справочного материала 5 Эмбрехтса и др. [3]), основанный на статистике верхнего порядка, определяется как${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle X_{(i)}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}={\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}(X_{1:n})={\frac {1}{k-1}}\sum _{j=1}^{k-1}\log {\bigg (}{\frac {X_{(j)}}{X_{(k)}}}{\bigg )},\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}2\leq k\leq n.}$

На практике оценка Хилла используется следующим образом. Сначала вычисляется оценка для каждого целого числа , а затем строятся упорядоченные пары . Затем выбирается из набора оценок Хилла , которые примерно постоянны относительно : эти стабильные значения считаются разумными оценками для параметра формы . Если являются iid, то оценка Хилла является состоятельной оценкой для параметра формы [4].${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}}$${\displaystyle k\in \{2,\cdots ,n\}}$${\displaystyle \{(k,{\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}})\}_{k=2}^{n}}$${\displaystyle \{{\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}\}_{k=2}^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$${\displaystyle \xi }$

Обратите внимание, что оценщик Хилла использует логарифмическое преобразование для наблюдений . ( Оценщик Пиканда также использовал логарифмическое преобразование, но несколько иным способом [5].)${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}}$${\displaystyle X_{1:n}=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$ ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Pickand}}}$

• Распределение заусенцев
• Распределение Парето
• Обобщенное распределение экстремальных значений
• Экспоненциальное обобщенное распределение Парето
• Теорема Пиканда – Балкемы – де Хаана

• Пикандс, Джеймс (1975). "Статистический вывод с использованием статистик экстремального порядка" (PDF) . Annals of Statistics . 3 с : 119– 131. doi : 10.1214/aos/1176343003 .
• Балкема, А.; Де Хаан, Лоренс (1974). «Остаточная продолжительность жизни в преклонном возрасте». Annals of Probability . 2 (5): 792– 804. doi : 10.1214/aop/1176996548 .
• Lee, Seyoon; Kim, JHK (2018). «Экспоненциальное обобщенное распределение Парето: свойства и приложения к теории экстремальных значений». Communications in Statistics - Theory and Methods . 48 (8): 1– 25. arXiv : 1708.01686 . doi : 10.1080/03610926.2018.1441418. S2CID  88514574.
• NL Johnson; S. Kotz; N. Balakrishnan (1994). Continuous Univariate Distributions Volume 1, second edition . New York: Wiley. ISBN 978-0-471-58495-7.Глава 20, Раздел 12: Обобщенные распределения Парето.
• Барри К. Арнольд (2011). "Глава 7: Парето и обобщенные распределения Парето". В Duangkamon Chotikapanich (ред.). Моделирование распределений и кривых Лоренца . Нью-Йорк: Springer. ISBN 9780387727967.
• Арнольд, BC; Лагуна, Л. (1977). Об обобщенных распределениях Парето с приложениями к данным о доходах . Эймс, Айова: Университет штата Айова, факультет экономики.

• Mathworks: Обобщенное распределение Парето