Обобщенное гамма-распределение
Распределение вероятностей
Обобщенная гамма
Функция плотности вероятности
PDF-график Gen Gamma
Параметры а > 0 {\displaystyle а>0} (шкала), г , п > 0 {\displaystyle д,р>0}
Поддерживать х ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle x\;\in ​​\;(0,\,\infty )}
PDF п / а г Г ( г / п ) х г − 1 е − ( х / а ) п {\displaystyle {\frac {p/a^{d}}{\Gamma (d/p)}}x^{d-1}e^{- (x/a)^{p}}}
СДФ γ ( г / п , ( х / а ) п ) Г ( г / п ) {\displaystyle {\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}}
Иметь в виду а Г ( ( г + 1 ) / п ) Г ( г / п ) {\displaystyle a{\frac {\Гамма ((d+1)/p)}{\Гамма (d/p)}}}
Режим а ( г − 1 п ) 1 п ф о г г > 1 , о т час е г ж я с е 0 {\displaystyle a\left({\frac {d-1}{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\mathrm {для} \;d>1,\mathrm {иначе} \;0}
Дисперсия а 2 ( Г ( ( г + 2 ) / п ) Г ( г / п ) − ( Г ( ( г + 1 ) / п ) Г ( г / п ) ) 2 ) {\displaystyle a^{2}\left({\frac {\Gamma ((d+2)/p)}{\Gamma (d/p)}}-\left({\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}\right)^{2}\right)}
Энтропия вн ⁡ а Г ( г / п ) п + г п + а ( 1 п − г п ) ψ ( г п ) {\displaystyle \ln {\frac {a\Gamma (d/p)}{p}}+{\frac {d}{p}}+a\left({\frac {1}{p}}-{\frac {d}{p}}\right)\psi \left({\frac {d}{p}}\right)}

Обобщенное гамма-распределение — это непрерывное распределение вероятностей с двумя параметрами формы (и параметром масштаба ). Это обобщение гамма-распределения , которое имеет один параметр формы (и параметр масштаба). Поскольку многие распределения, обычно используемые для параметрических моделей в анализе выживаемости (такие как экспоненциальное распределение , распределение Вейбулла и гамма-распределение ), являются частными случаями обобщенного гамма-распределения, его иногда используют для определения того, какая параметрическая модель подходит для заданного набора данных. [1] Другим примером является полунормальное распределение .

Характеристики

Обобщенное гамма-распределение имеет два параметра формы , и , и параметр масштаба , . Для неотрицательных x из обобщенного гамма-распределения функция плотности вероятности равна [2] г > 0 {\displaystyle д>0} п > 0 {\displaystyle p>0} а > 0 {\displaystyle а>0}

ф ( х ; а , г , п ) = ( п / а г ) х г − 1 е − ( х / а ) п Г ( г / п ) , {\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},}

где обозначает гамма-функцию . Г ( ⋅ ) {\displaystyle \Гамма (\cdot)}

Кумулятивная функция распределения имеет вид

Ф ( х ; а , г , п ) = γ ( г / п , ( х / а ) п ) Г ( г / п ) , или П ( г п , ( х а ) п ) ; {\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}},{\text{или}}\,P\left({\frac {d}{p}},\left({\frac {x}{a}}\right)^{p}\right);}

где обозначает нижнюю неполную гамма-функцию , а обозначает регуляризованную нижнюю неполную гамма-функцию . γ ( ⋅ ) {\displaystyle \гамма (\cdot)} П ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle P(\cdot ,\cdot )}

Функцию квантиля можно найти, заметив, что где — кумулятивная функция распределения гамма-распределения с параметрами и . Затем функция квантиля задается путем инвертирования с использованием известных соотношений об обратных функциях составных функций , что дает: Ф ( х ; а , г , п ) = Г ( ( х / а ) п ) {\displaystyle F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})} Г {\displaystyle G} α = г / п {\displaystyle \альфа =d/p} β = 1 {\displaystyle \бета =1} Ф {\displaystyle F}

Ф − 1 ( д ; а , г , п ) = а ⋅ [ Г − 1 ( д ) ] 1 / п , {\displaystyle F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot {\big [}G^{-1}(q){\big ]}^{1/p},}

причем является функцией квантиля для гамма-распределения с . Г − 1 ( д ) {\displaystyle G^{-1}(q)} α = г / п , β = 1 {\displaystyle \альфа =d/p,\,\бета =1}

Иногда используются альтернативные параметризации этого распределения; например, с заменой α = d/p . [3] Кроме того, можно добавить параметр сдвига, так что область x начинается с некоторого значения, отличного от нуля. [3] Если ограничения на знаки a , d и p также снимаются (но α = d / p остается положительным), это дает распределение, называемое распределением Аморозо , в честь итальянского математика и экономиста Луиджи Аморозо , который описал его в 1925 году. [4]

Моменты

Если X имеет обобщенное гамма-распределение, как указано выше, то [3]

Э ⁡ ( Х г ) = а г Г ( г + г п ) Г ( г п ) . {\displaystyle \operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.}

Характеристики

Обозначим GG(a,d,p) как обобщенное гамма-распределение параметров a , d , p . Тогда, если даны и два положительных действительных числа, если , то и . с {\displaystyle с} α {\displaystyle \альфа} ф ∼ Г Г ( а , г , п ) {\displaystyle f\sim GG(a,d,p)} с ф ∼ Г Г ( с а , г , п ) {\ displaystyle cf \ sim GG (ca, d, p)} ф α ∼ Г Г ( а α , г α , п α ) {\displaystyle f^{\alpha }\sim GG\left(a^{\alpha },{\frac {d}{\alpha }},{\frac {p}{\alpha }}\right)}

Расхождение Кульбака-Лейблера

Если и являются функциями плотности вероятности двух обобщенных гамма-распределений, то их расхождение Кульбака-Лейблера определяется выражением ф 1 {\displaystyle f_{1}} ф 2 {\displaystyle f_{2}}

Д К Л ( ф 1 ∥ ф 2 ) = ∫ 0 ∞ ф 1 ( х ; а 1 , г 1 , п 1 ) вн ⁡ ф 1 ( х ; а 1 , г 1 , п 1 ) ф 2 ( х ; а 2 , г 2 , п 2 ) г х = вн ⁡ п 1 а 2 г 2 Г ( г 2 / п 2 ) п 2 а 1 г 1 Г ( г 1 / п 1 ) + [ ψ ( г 1 / п 1 ) п 1 + вн ⁡ а 1 ] ( г 1 − г 2 ) + Г ( ( г 1 + п 2 ) / п 1 ) Г ( г 1 / п 1 ) ( а 1 а 2 ) п 2 − г 1 п 1 {\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}

где - дигамма-функция . [5] ψ ( ⋅ ) {\displaystyle \psi (\cdot )}

Реализация программного обеспечения

В языке программирования R есть несколько пакетов, которые включают функции для подгонки и генерации обобщенных гамма-распределений. Пакет gamlss в R позволяет подгонять и генерировать множество различных семейств распределений, включая обобщенную гамму (семейство=GG). Другие опции в R, реализованные в пакете flexsurv , включают функцию dgengamma с параметризацией: , , , и в пакете ggamma с параметризацией: , , . μ = ln ⁡ a + ln ⁡ d − ln ⁡ p p {\displaystyle \mu =\ln a+{\frac {\ln d-\ln p}{p}}} σ = 1 p d {\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}} Q = p d {\displaystyle Q={\sqrt {\frac {p}{d}}}} a = a {\displaystyle a=a} b = p {\displaystyle b=p} k = d / p {\displaystyle k=d/p}

На языке программирования Python он реализован в пакете SciPy с параметризацией: , , и масштабом 1. c = p {\displaystyle c=p} a = d / p {\displaystyle a=d/p}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Бокс-Стеффенсмейер, Джанет М.; Джонс, Брэдфорд С. (2004) Моделирование истории событий: руководство для социологов . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-54673-7 (стр. 41-43)
  2. ^ Стейси, Э. У. (1962). "Обобщение гамма-распределения". Annals of Mathematical Statistics 33(3): 1187-1192. JSTOR  2237889
  3. ^ abc Джонсон, Н. Л.; Коц, С.; Балакришнан, Н. (1994) Непрерывные одномерные распределения, том 1 , 2-е издание. Wiley. ISBN 0-471-58495-9 (раздел 17.8.7) 
  4. ^ Гэвин Э. Крукс (2010), Распределение Аморозо, Техническое примечание, Национальная лаборатория Лоуренса в Беркли.
  5. ^ C. Bauckhage (2014), Вычисление расхождения Кульбака-Лейблера между двумя обобщенными гамма-распределениями, arXiv :1401.6853.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Generalized_gamma_distribution&oldid=1255985119"