Группы классов «Косы, связи и картографирование»
 | |
| Автор | Джоан Бирман |
|---|---|
| Предмет | Группы кос в топологии низкой размерности |
| Издатель | Издательство Принстонского университета |
Дата публикации | 1974 |
| ISBN | 978-0-691-08149-6 |
Braids, Links, and Mapping Class Groups — математическая монография о группах кос и их приложениях в топологии малых размерностей . Она была написана Джоан Бирман на основе лекционных заметок Джеймса У. Кэннона [ 1] и опубликована в 1974 году издательствами Princeton University Press и University of Tokyo Press в качестве 82-го тома серии книг Annals of Mathematics Studies.
Хотя группы кос были введены в 1891 году Адольфом Гурвицем и формализованы в 1925 году Эмилем Артином , [1] это была первая книга, посвященная им. [2] Ее описывают как «основополагающую работу», [3] которая «заложила основы для нескольких новых подобластей топологии». [4]
Темы
Braids, Links, and Mapping Class Groups организована в пять глав и приложение. Первая вводная глава определяет группы кос, конфигурационные пространства и использование конфигурационных пространств для определения групп кос на произвольных двумерных многообразиях . Она предоставляет решение проблемы слов для кос, вопроса определения того, действительно ли два различных представления кос описывают один и тот же элемент группы. Она также описывает группы кос как группы автоморфизмов свободных групп и многократно проколотых дисков. [5]
В следующих трех главах представлены связи групп кос с тремя различными областями математики. Глава 2 касается приложений к теории узлов , через теорему Александера о том, что каждый узел или зацепление может быть образовано замыканием косы, и дает первое полное доказательство теоремы Маркова об эквивалентности зацеплений, образованных таким образом. Она также включает материал по проблеме сопряженности , [5] важной в этой области, поскольку сопряженные косы замыкаются, образуя одно и то же зацепление, [1] и по «проблеме алгебраического зацепления» (не путать с алгебраическими зацеплениями ), в которой необходимо определить, могут ли два зацепления быть связаны друг с другом конечным числом ходов определенного типа, эквивалентных гомеоморфизму дополнений зацеплений . [2] Глава 3 касается теории представлений и включает производные Фокса и свободное дифференциальное исчисление Фокса, [ 1] представление Магнуса свободных групп и представления Гасснера и Бурау групп кос. [5] Глава 4 посвящена группам классов отображений 2-многообразий, скручиваниям Дена и теореме Ликориша о скручивании , а также косам, замкнутым иным способом, чем в теореме Александера. [5]
Глава 5 называется «платы и связи». [1] Она переходит от 2-мерной топологии к 3-мерной и является более спекулятивной, касаясь связей между группами кос, 3-многообразиями и классификацией связей. Она также включает аналог теоремы Александера для плат, где число нитей результирующей платы оказывается определяемым номером моста данной связи. [5] В приложении представлен список из 34 открытых проблем. [1] [5] К тому времени, когда Уилбур Уиттен написал свой обзор в июне 1975 года, несколько из них уже были решены. [2]
Аудитория и прием
Это книга для студентов и профессионалов, изучающих математику на продвинутом уровне, которые, как ожидается, уже знакомы с алгебраической топологией и представлениями групп с помощью генераторов и реляторов . Хотя это не учебник, его можно использовать для семинаров для выпускников. [1]
Рецензент Ли Нойвирт называет книгу «самой читабельной», «прекрасным сочетанием известных результатов по теме и нового материала». [5] Уиттен описывает ее как «тщательную, искусно написанную» и «приятную для чтения». [2] Вильгельм Магнус находит «замечательным» то, что, освещая тему с полной математической строгостью, Бирман сохранил интуитивную привлекательность некоторых из своих ранних работ. [1]
Ссылки
- ^ abcdefgh Магнус, В. (январь 1976 г.), «Обзор кос, связей и групп классов отображения », Бюллетень Американского математического общества , 82 (1): 42–46, doi : 10.1090/s0002-9904-1976-13937-7
- ^ abcd Уиттен, Уилбур, «Обзор кос, связей и групп классов отображения », MathSciNet , MR 0375281
- ^ Gilman, Jane ; Menasco, William W. ; Lin, Xiao-Song, ред. (2001), Knots, Braids, and Mapping Class Groups — Papers Dedicated to Joan S. Birman: Proceedings of a Conference on Low Dimensional Topology in Honor of Joan S. Birman's 70th Birthday, 14-15 марта 1998 г., Колумбийский университет, Нью-Йорк, Нью-Йорк, исследования AMS/IP в области высшей математики, Американское математическое общество, стр. ix, ISBN 9780821829660
- ^ Serenevy, Amanda Katharine (август 2006 г.), Джоан Бирман и топология (PDF) , Математическая ассоциация Америки , получено 2021-01-02
- ^ abcdefg Нойвирт, Л.П., "Обзор кос, связей и групп классов отображения ", zbMATH , Zbl 0305.57013
