Теория гравитации Лавлока

В теоретической физике теория гравитации Лавлока (часто называемая гравитацией Лавлока ) является обобщением общей теории относительности Эйнштейна, введенной Дэвидом Лавлоком в 1971 году. ^[1] Это наиболее общая метрическая теория гравитации, дающая сохраняющиеся уравнения движения второго порядка в произвольном числе пространственно-временных измерений D. В этом смысле теория Лавлока является естественным обобщением общей теории относительности Эйнштейна на более высокие измерения. В трех и четырех измерениях ( D = 3, 4) теория Лавлока совпадает с теорией Эйнштейна, но в более высоких измерениях теории различаются. Фактически, при D > 4 гравитацию Эйнштейна можно рассматривать как частный случай гравитации Лавлока, поскольку действие Эйнштейна–Гильберта является одним из нескольких членов, которые составляют действие Лавлока.

Плотность Лагранжа

Лагранжиан теории задается суммой размерно расширенных плотностей Эйлера и может быть записан следующим образом :

{\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ \sum \limits _{n=0}^{t}\alpha _{n}\ {\mathcal {R}}^{n},\qquad {\mathcal {R}}^{n}={\frac {1}{2^{n}}}\delta _{\alpha _{1}\beta _{1}...\alpha _{n}\beta _{n}}^{\mu _{1}\nu _{1}...\mu _{n}\nu _{n}}\prod \limits _{r=1}^{n}R_{\quad \mu _{r}\nu _{r}}^{\alpha _{r}\beta _{r}}

где R _μν^αβ представляет собой тензор Римана , а обобщенный символ Кронекера δ определяется как антисимметричное произведение

\delta _{\alpha _{1}\beta _{1}\cdots \alpha _{n}\beta _{n}}^{\mu _{1}\nu _{1}...\mu _{n}\nu _{n}}=(2n)!\delta _{\lbrack \alpha _{1}}^{\mu _{1}}\delta _{\beta _{1}}^{\nu _{1}}\cdots \delta _{\alpha _{n}}^{\mu _{n}}\delta _{\beta _{n}]}^{\nu _{n}}.

Каждый член в соответствует размерному расширению плотности Эйлера в 2 n измерениях, так что они вносят вклад в уравнения движения только для n < D /2. Следовательно, без недостатка общности, t в приведенном выше уравнении можно принять равным D = 2 t + 2 для четных измерений и D = 2 t + 1 для нечетных измерений. ${\mathcal {R}}^{n}$ ${\mathcal {L}}$

Константы связи

Константы связи α _n в лагранжиане имеют размерность [длина] ²ⁿ⁻^D , хотя обычно нормализуют плотность лагранжиана в единицах планковской шкалы ${\mathcal {L}}$

\alpha _{1}=(16\pi G)^{-1}=l_{P}^{2-D}\,.

Разлагая произведение в , лагранжиан Лавлока принимает вид ${\mathcal {L}}$

{\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),

где видно, что связь α ₀ соответствует космологической постоянной Λ, тогда как α _n с n ≥ 2 являются константами связи дополнительных членов, которые представляют собой ультрафиолетовые поправки к теории Эйнштейна, включающие более высокие порядки контракции тензора Римана R _μν^αβ . В частности, член второго порядка

{\mathcal {R}}^{2}=R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }

— это в точности квадратичный член Гаусса–Бонне , который является размерно расширенной версией четырехмерной плотности Эйлера.

Уравнения движения

Отметив, что

T={\sqrt {-g}}{\mathcal {R}}^{2}={\sqrt {-g}}\left(R^{2}+R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)

является топологической константой, мы можем исключить член тензора Римана и, таким образом, привести лагранжиан Лавлока к виду

S=-\int d^{D}x{\sqrt {-g}}\left(\alpha R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-\beta R^{2}+\gamma \kappa ^{-2}R\right)

который имеет уравнения движения

\alpha \left(-{\frac {1}{2}}R_{\rho \sigma }R^{\rho \sigma }g_{\mu \nu }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }R-2R_{\rho \nu \mu \sigma }R^{\sigma \rho }+{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\Box R+\Box R_{\mu \nu }\right)+

\beta \left({\frac {1}{2}}R^{2}g_{\mu \nu }-2RR_{\mu \nu }+2\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }R-2g_{\mu \nu }\Box R\right)+

\gamma \left(-{\frac {1}{2}}\kappa ^{-2}Rg_{\mu \nu }+\kappa ^{-2}R_{\mu \nu }\right)=0.

^[2]

Другие контексты

Поскольку действие Лавлока содержит, среди прочего, квадратичный член Гаусса–Бонне (т. е. четырехмерную характеристику Эйлера, распространенную на D- измерения), обычно говорят, что теория Лавлока напоминает модели гравитации, вдохновленные теорией струн . Это происходит потому, что квадратичный член присутствует в низкоэнергетическом эффективном действии гетеротической теории струн , а также появляется в шестимерных компактификациях Калаби–Яу М-теории . В середине 1980-х годов, спустя десятилетие после того, как Лавлок предложил свое обобщение тензора Эйнштейна, физики начали обсуждать квадратичный член Гаусса–Бонне в контексте теории струн, уделяя особое внимание его свойству быть свободным от призраков в пространстве Минковского . Известно, что теория свободна от призраков и относительно других точных фонов, например, относительно одной из ветвей сферически симметричного решения, найденного Бульваром и Дезером в 1985 году. В целом теория Лавлока представляет собой очень интересный сценарий для изучения того, как физика гравитации корректируется на малых расстояниях из-за присутствия в действии членов кривизны более высокого порядка, и в середине 2000-х годов теория рассматривалась как испытательный полигон для исследования эффектов введения членов более высокой кривизны в контексте соответствия AdS/CFT .

Смотрите также

Примечания

^ Лавлок, Дэвид (1971). «Тензор Эйнштейна и его обобщения». Журнал математической физики . 12 (3). AIP Publishing: 498–501. Bibcode :1971JMP....12..498L. doi : 10.1063/1.1665613 . ISSN 0022-2488.
^ «Высшие производные теории гравитации» (PDF) . стр. 10, 15.(Обратите внимание, что в терминах уравнения движения в этой статье есть опечатки . См. также в Vilhena, SG; Medeiros, LG (15 октября 2021 г.). «Гравитационные волны в гравитации высшего порядка». Physical Review D . 104 (8): 084061. arXiv : 2108.06874 . doi :10.1103/PhysRevD.104.084061. $\beta$ $R^{2}$ )

Ссылки

Лавлок, Д. (1971). «Тензор Эйнштейна и его обобщения». Журнал математической физики . 12 (3): 498–502. Bibcode :1971JMP....12..498L. doi : 10.1063/1.1665613 .
Лавлок, Д. (1969). "Уникальность уравнений поля Эйнштейна в четырехмерном пространстве". Архив для Rational Mechanics and Analysis . 33 (1): 54–70. Bibcode :1969ArRMA..33...54L. doi :10.1007/BF00248156. S2CID 119985583.
Лавлок, Д. (1972). «Четырехмерность пространства и тензор Эйнштейна». Журнал математической физики . 13 (6): 874–876. Bibcode : 1972JMP....13..874L. doi : 10.1063/1.1666069.
Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989), Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы, Дувр , ISBN 978-0-486-65840-7
Наварро, А.; Наварро, Дж. (2011). «Повторный взгляд на теорему Лавлока». Журнал математической физики . 61 (10): 1950–1956. arXiv : 1005.2386 . Bibcode :2011JGP....61.1950N. doi :10.1016/j.geomphys.2011.05.004. S2CID 119314288.
Цвибах, Б. (1985). «Квадратичные термины кривизны и теории струн». Phys. Lett. B. 156 ( 5–6): 315. Bibcode :1985PhLB..156..315Z. doi :10.1016/0370-2693(85)91616-8..
Boulware, D.; Deser, S. (1985). «Струнно-генерируемые гравитационные модели». Phys. Rev. Lett . 55 (24): 2656–2660. Bibcode : 1985PhRvL..55.2656B. doi : 10.1103/PhysRevLett.55.2656. PMID 10032204. S2CID 43449319.

[1] Лавлок, Дэвид (1971). «Тензор Эйнштейна и его обобщения». Журнал математической физики . 12 (3). AIP Publishing: 498–501. Bibcode :1971JMP....12..498L. doi : 10.1063/1.1665613 . ISSN 0022-2488.

[2] «Высшие производные теории гравитации» (PDF) . стр. 10, 15.(Обратите внимание, что в терминах уравнения движения в этой статье есть опечатки . См. также в Vilhena, SG; Medeiros, LG (15 октября 2021 г.). «Гравитационные волны в гравитации высшего порядка». Physical Review D . 104 (8): 084061. arXiv : 2108.06874 . doi :10.1103/PhysRevD.104.084061. $\beta$ $R^{2}$ )