К-теория Милнора

В математике , K-теория Милнора ^[1] является алгебраическим инвариантом (обозначаемым для поля ), определенным Джоном Милнором  (1970) как попытка изучения высшей алгебраической K-теории в частном случае полей . Была надежда, что это поможет прояснить структуру алгебраической K-теории и дать некоторое представление о ее связях с другими частями математики, такими как когомологии Галуа и кольцо Гротендика–Витта квадратичных форм . До того, как была определена K-теория Милнора, существовали специальные определения для и . К счастью, можно показать, что K-теория Милнора является частью алгебраической K-теории , которая в целом является самой простой для вычисления частью. ^[2]${\displaystyle К_{*}(Ф)}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle К_{1}}$${\displaystyle К_{2}}$

После определения группы Гротендика коммутативного кольца ожидалось, что должно существовать бесконечное множество инвариантов, называемых группами высшей K-теории , из того факта, что существует короткая точная последовательность${\displaystyle K(R)}$${\displaystyle K_{i}(R)}$

${\displaystyle K(R,I)\to K(R)\to K(R/I)\to 0}$

которая должна иметь продолжение длинной точной последовательностью . Обратите внимание, что группа слева является относительной K-теорией . Это привело к большому изучению, и в качестве первой догадки о том, как будет выглядеть эта теория, Милнор дал определение для полей. Его определение основано на двух вычислениях того, как «должна» выглядеть высшая K-теория в степенях и . Затем, если в более позднем обобщении алгебраической K-теории было дано, если бы генераторы жили в степени и отношения в степени , то конструкции в степенях и дали бы структуру для остальной части кольца K-теории . При этом предположении Милнор дал свое «ad-hoc» определение. Оказывается, алгебраическая K-теория в целом имеет более сложную структуру, но для полей группы K-теории Милнора содержатся в общих алгебраических группах K-теории после тензорирования с , то есть . ^[3] Оказывается, естественное отображение не может быть инъективным для глобального поля ^{[3] стр. 96} .${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle K_{*}(R)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle K_{*}(R)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\otimes \mathbb {Q} \subseteq K_{n}(F)\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle \lambda :K_{4}^{M}(F)\to K_{4}(F)}$${\displaystyle F}$

Обратите внимание, что для полей группа Гротендика может быть легко вычислена как, поскольку единственные конечно порожденные модули являются конечномерными векторными пространствами . Кроме того, определение Милнора высших K-групп зависит от канонического изоморфизма${\displaystyle K_{0}(F)=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle l\colon K_{1}(F)\to F^{*}}$

(группа единиц ) и наблюдение вычисления K ₂ поля Хидеей Мацумото , которое дало простое представление${\displaystyle F}$

${\displaystyle K_{2}(F)={\frac {F^{*}\otimes F^{*}}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

для двухстороннего идеала, порожденного элементами , называемыми отношениями Стейнберга . Милнор принял гипотезу, что это были единственные отношения, поэтому он дал следующее "ad-hoc" определение K-теории Милнора как${\displaystyle l(a)\otimes l(a-1)}$

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)={\frac {K_{1}(F)\otimes \cdots \otimes K_{1}(F)}{\{l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}):a_{i}+a_{i+1}=1\}}}.}$

Прямая сумма этих групп изоморфна тензорной алгебре над целыми числами мультипликативной группы, модулированной двусторонним идеалом , порожденным:${\displaystyle K_{1}(F)\cong F^{*}}$

${\displaystyle \left\{l(a)\otimes l(1-a):0,1\neq a\in F\right\}}$

так

${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }K_{n}^{M}(F)\cong {\frac {T^{*}(K_{1}^{M}(F))}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

показывая, что его определение является прямым продолжением соотношений Стейнберга.

Градуированный модуль — это градуированно-коммутативное кольцо ^{[1] стр. 1-3} . ^[4] Если мы запишем${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$

${\displaystyle (l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))}$

как

${\displaystyle l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n})\otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})}$

тогда для и мы имеем${\displaystyle \xi \in K_{i}^{M}(F)}$${\displaystyle \eta \in K_{j}^{M}(F)}$

${\displaystyle \xi \cdot \eta =(-1)^{i\cdot j}\eta \cdot \xi .}$

Из доказательства этого свойства вытекают некоторые дополнительные свойства, например, для , поскольку . Кроме того, если из ненулевых полей элементы равны , то Существует прямое арифметическое приложение: является суммой квадратов тогда и только тогда, когда каждое положительное размерное число нильпотентно, что является мощным утверждением о структуре K-групп Милнора . В частности, для полей , при , все его K-группы Милнора нильпотентны. В обратном случае поле может быть вложено в действительное замкнутое поле , что дает полный порядок на поле.$${\displaystyle l(a)^{2}=l(a)l(-1)}$$${\displaystyle l(a)\in K_{1}(F)}$${\displaystyle l(a)l(-a)=0}$${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}}$${\displaystyle 0,1}$$${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})=0}$$${\displaystyle -1\in F}$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(i)}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\not \in \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle F}$

Одним из основных свойств, связывающих K-теорию Милнора с высшей алгебраической K-теорией, является тот факт, что существуют естественные изоморфизмы к высшим группам Чоу Блоха , которые индуцируют морфизм градуированных колец Это можно проверить с помощью явного морфизма ^{[2] стр. 181} , где Это отображение задается как для класса точки с . Основное свойство для проверки состоит в том, что для и . Обратите внимание, что это отличается от , поскольку это элемент в . Кроме того, второе свойство подразумевает первое для . Эту проверку можно выполнить с помощью рациональной кривой, определяющей цикл, в образе которого под граничным отображением есть сумма для , показывающая, что они отличаются границей. Аналогично, если граничное отображение отправляет этот цикл в , показывая, что они отличаются границей. Второе основное свойство для проверки — это соотношения Стейнберга. С этим, а также с тем фактом, что высшие группы Чжоу имеют кольцевую структуру, мы получаем явное отображение. Показать отображение в обратном направлении — это изоморфизм, это больше работы, но мы получаем изоморфизмы. Затем мы можем связать высшие группы Чжоу с высшей алгебраической K-теорией, используя тот факт, что существуют изоморфизмы, дающие связь с высшей алгебраической K-теорией Квиллена. Обратите внимание, что отображения$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$$${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$ $${\displaystyle \phi :F^{*}\to {\text{CH}}^{1}(F,1)}$$$${\displaystyle \phi (a)\phi (1-a)=0~{\text{in}}~{\text{CH}}^{2}(F,2)~{\text{for}}~a,1-a\in F^{*}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}}$$${\displaystyle [a]}$${\displaystyle [a:1]\in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}}$${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$${\displaystyle [a]+[1/a]=0}$${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$${\displaystyle [a]+[b]=[ab]}$${\displaystyle [a]\cdot [b]}$${\displaystyle {\text{CH}}^{2}(F,2)}$${\displaystyle b=1/a}$${\displaystyle C^{1}(F,2)}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle [a]+[b]-[ab]}$${\displaystyle ab\neq 1}$${\displaystyle ab=1}$${\displaystyle [a]-[1/a]}$$${\displaystyle {\text{CH}}^{p}(F,q)\otimes {\text{CH}}^{r}(F,s)\to {\text{CH}}^{p+r}(F,q+s)}$$$${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$$${\displaystyle K_{n}(X)\otimes \mathbb {Q} \cong \bigoplus _{p}{\text{CH}}^{p}(X,n)\otimes \mathbb {Q} }$$

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)}$

из K-групп Милнора поля в K-группы Квиллена , что является изоморфизмом для , но не для больших n , в общем случае. Для ненулевых элементов в F символ в означает образ в тензорной алгебре. Каждый элемент K-теории Милнора можно записать в виде конечной суммы символов. Тот факт, что в для иногда называют соотношением Стейнберга .${\displaystyle n\leq 2}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$${\displaystyle \{a,1-a\}=0}$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$${\displaystyle a\in F\setminus \{0,1\}}$

В мотивных когомологиях , в частности в мотивной гомотопической теории , существует пучок, представляющий собой обобщение K-теории Милнора с коэффициентами в абелевой группе . Если мы обозначим то мы определим пучок как свёртывание следующего предпучка ^{[5] стр. 4} Заметим, что секции этого предпучка являются эквивалентными классами циклов на с коэффициентами в , которые равноразмерны и конечны над (что следует непосредственно из определения ). Можно показать, что существует -слабая эквивалентность с мотивными пучками Эйленберга-Маклейна (в зависимости от соглашения о градуировке).${\displaystyle K_{n,A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{tr}(X)=\mathbb {Z} _{tr}(X)\otimes A}$${\displaystyle K_{n,A}}$ $${\displaystyle K_{n,A}^{pre}:U\mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)}$$${\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle K(A,2n,n)}$

Для конечного поля , является циклической группой порядка (поскольку она изоморфна ), поэтому градуированная коммутативность дает отсюда Поскольку является конечной группой, это подразумевает, что она должна иметь порядок . Глядя дальше, всегда может быть выражена как сумма квадратичных невычетов, т.е. элементов, таких, что не равны , следовательно, показывая . Поскольку соотношения Стейнберга порождают все соотношения в кольце K-теории Милнора, мы имеем для .${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K_{1}^{M}(F)}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$$${\displaystyle l(a)\cdot l(b)=-l(b)\cdot l(a)}$$$${\displaystyle l(a)^{2}=-l(a)^{2}}$$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$${\displaystyle \leq 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a,b\in F}$${\displaystyle [a],[b]\in F/F^{\times 2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle a+b=1}$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)=0}$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=0}$${\displaystyle n>2}$

Для поля действительных чисел группы теории Милнора K могут быть легко вычислены. В степени группа порождается , где дает группу порядка , а подгруппа, порожденная , делима. Подгруппа, порожденная , не делима, поскольку в противном случае ее можно было бы выразить как сумму квадратов. Кольцо теории Милнора K важно для изучения теории мотивной гомотопии, поскольку оно дает генераторы для части алгебры мотивного Стинрода . ^[6] Остальные являются подъемами от классических операций Стинрода к когомологиям мотива.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {R} )=\{(-1)^{n},l(a_{1})\cdots l(a_{n}):a_{1},\ldots ,a_{n}>0\}}$$${\displaystyle (-1)^{n}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})}$${\displaystyle (-1)^{n}}$

${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )}$является несчетной однозначно делимой группой. ^[7] Кроме того, является прямой суммой циклической группы порядка 2 и несчетной однозначно делимой группы; является прямой суммой мультипликативной группы и несчетной однозначно делимой группы; является прямой суммой циклической группы порядка 2 и циклических групп порядка для всех нечетных простых . Для , . Полное доказательство находится в приложении к оригинальной статье Милнора. ^[1] Часть вычислений можно увидеть, посмотрев на отображение на , индуцированное включением глобального поля в его пополнения , поэтому существует морфизм, ядро ​​которого конечно порождено. Кроме того, коядро изоморфно корням из единицы в .${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )}$${\displaystyle p-1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{v}}$$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)\to \bigoplus _{v}K_{2}^{M}(F_{v})/({\text{max. divis. subgr.}})}$$${\displaystyle F}$

Кроме того, для общего локального поля (такого как конечное расширение ) K-группы Милнора являются делимыми.${\displaystyle F}$${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$

Существует общая структурная теорема, вычисляющая поле относительно K-теории Милнора и расширений для ненулевых простых идеалов . Это задается точной последовательностью , где — морфизм, построенный из редукции к для дискретной оценки . Это следует из теоремы, что существует только один гомоморфизм , который для группы единиц , являющихся элементами, имеет оценку , имеющий естественный морфизм , где мы имеем , где простой элемент, то есть , и Поскольку каждый ненулевой простой идеал дает оценку , мы получаем отображение на K-группах Милнора.${\displaystyle K_{n}^{M}(F(t))}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F[t]/(\pi )}$${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$$${\displaystyle 0\to K_{n}^{M}(F)\to K_{n}^{M}(F(t))\xrightarrow {\partial _{\pi }} \bigoplus _{(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}K_{n-1}F[t]/(\pi )\to 0}$$${\displaystyle \partial _{\pi }:K_{n}^{M}(F(t))\to K_{n-1}F[t]/(\pi )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\overline {F}}_{v}}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle \partial :K_{n}^{M}(F)\to K_{n-1}^{M}({\overline {F}})}$$${\displaystyle U\subset F}$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle U\to {\overline {F}}_{v}^{*}}$$${\displaystyle u\mapsto {\overline {u}}}$$${\displaystyle \partial (l(\pi )l(u_{2})\cdots l(u_{n}))=l({\overline {u}}_{2})\cdots l({\overline {u}}_{n})}$$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\text{Ord}}_{v}(\pi )=1}$$${\displaystyle \partial (l(u_{1})\cdots l(u_{n}))=0}$$${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$${\displaystyle v_{\pi }:F(t)\to F[t]/(\pi )}$${\displaystyle \partial _{\pi }}$

К-теория Милнора играет фундаментальную роль в теории полей высших классов , заменяя в ней одномерную теорию полей классов .${\displaystyle K_{1}^{M}(F)=F^{\times }\!}$

К-теория Милнора вписывается в более широкий контекст мотивных когомологий посредством изоморфизма

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\cong H^{n}(F,\mathbb {Z} (n))}$

K-теории Милнора поля с определенной группой мотивных когомологий. ^[8] В этом смысле, по-видимому, специальное определение K-теории Милнора становится теоремой: определенные группы мотивных когомологий поля могут быть явно вычислены с помощью генераторов и соотношений .

Гораздо более глубокий результат, гипотеза Блоха-Като (также называемая теоремой об изоморфизме норменного вычета), связывает K-теорию Милнора с когомологиями Галуа или этальными когомологиями :

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/r\cong H_{\mathrm {et} }^{n}(F,\mathbb {Z} /r(n)),}$

для любого положительного целого числа r, обратимого в поле F. Эта гипотеза была доказана Владимиром Воеводским при участии Маркуса Роста и других. ^[9] Сюда входят теоремы Александра Меркурьева и Андрея Суслина , а также гипотеза Милнора как частные случаи (случаи, когда и , соответственно).${\displaystyle n=2}$${\displaystyle r=2}$

Наконец, существует связь между K-теорией Милнора и квадратичными формами . Для поля F характеристики, отличной от 2, определим фундаментальный идеал I в кольце Витта квадратичных форм над F как ядро ​​гомоморфизма, заданного размерностью квадратичной формы по модулю 2. Милнор определил гомоморфизм:${\displaystyle W(F)\to \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle {\begin{cases}K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}\\\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle \end{cases}}}$

где обозначает класс n -кратной формы Пфистера . ^[10]${\displaystyle \langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }$

Дмитрий Орлов, Александр Вишик и Воеводский доказали еще одно утверждение, называемое гипотезой Милнора, а именно, что этот гомоморфизм является изоморфизмом. ^[11]${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}}$

• Алгебра Адзумая
• Теория мотивной гомотопии

• Элман, Ричард ; Карпенко, Никита; Меркурьев, Александр (2008), Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4329-1, МР  2427530
• Жилль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. MR  2266528. Zbl  1137.12001.
• Мацца, Карло; Воеводский, Владимир ; Вайбель, Чарльз (2006), Лекции по мотивным когомологиям, Clay Mathematical Monographs, т. 2, Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3847-1, г-н  2242284
• Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая K -теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae , 9 (4), с приложением Джона Тейта : 318–344 , Bibcode : 1970InMat...9..318M, doi : 10.1007/BF01425486, ISSN  0020-9910, MR  0260844, S2CID  13549621, Zbl  0199.55501
• Орлов, Дмитрий; Вишик, Александр; Воеводский, Владимир (2007), "Точная последовательность для с приложениями к квадратичным формам", Annals of Mathematics , 165 : 1– 13, arXiv : math/0101023 , doi : 10.4007/annals.2007.165.1, MR  2276765, S2CID  9504456${\displaystyle K_{*}^{M}/2}$
• Воеводский, Владимир (2011), "О мотивных когомологиях с Z / ℓ {\displaystyle \mathbb {Z} /\ell } -коэффициентами", Annals of Mathematics , 174 (1): 401– 438, arXiv : 0805.4430 , doi : 10.4007/annals.2011.174.1.11, MR  2811603, S2CID  15583705

• Некоторые аспекты функтора K 2 {\displaystyle K_{2}} полей
• О вычислении Тейтом K 2 ( Q ) {\displaystyle K_{2}(\mathbb {Q} )}