Формальный групповой закон Любина–Тейта

В математике формальный групповой закон Любина–Тейта — это формальный групповой закон, введенный Любиным и Тейтом  (1965) для выделения локальной полевой части классической теории комплексного умножения эллиптических функций . В частности, его можно использовать для построения полностью разветвленных абелевых расширений локального поля. Он делает это, рассматривая (формальные) эндоморфизмы формальной группы, имитируя способ, которым эллиптические кривые с дополнительными эндоморфизмами используются для получения абелевых расширений глобальных полей .

Пусть Z _p будет кольцом p -адических целых чисел. Формальный групповой закон Любина–Тейта — это единственный (1-мерный) формальный групповой закон F такой, что e ( x ) =  px  +  x ^p является эндоморфизмом F , другими словами

${\displaystyle e(F(x,y))=F(e(x),e(y)).\ }$

В более общем случае, выбор для e может быть любым степенным рядом, таким, что

e ( x ) = px  + члены более высокой степени и

е ( х ) = х ^р  mod  р .

Все такие групповые законы для различных выборов e, удовлетворяющих этим условиям, строго изоморфны. ^[1] Мы выбираем эти условия так, чтобы гарантировать, что они сводят по модулю максимальный идеал к Фробениусу, а производная в начале координат является простым элементом .

Для каждого элемента a в Z _p существует единственный эндоморфизм f формального группового закона Любина–Тейта такой, что f ( x ) = ax  + члены более высокой степени. Это дает действие кольца Z _p на формальный групповой закон Любина–Тейта.

Существует похожая конструкция с заменой Z _p на любое полное дискретное кольцо нормирования с конечным полем классов вычетов , где показатель p заменяется порядком поля вычетов, а коэффициент p заменяется выбором униформизатора . ^[2]

Мы здесь описываем формальный групповой эквивалент элемента Фробениуса , который имеет большое значение в теории полей классов ^[3], порождая максимальное неразветвленное расширение как образ отображения взаимности.

Для этого примера нам понадобится понятие эндоморфизма формальных групп, который является формальным групповым гомоморфизмом f , где областью является кодомен. Формальный групповой гомоморфизм из формальной группы F в формальную группу G является степенным рядом над тем же кольцом, что и формальные группы, который имеет нулевой постоянный член и такой, что:

${\displaystyle f(F(X,Y))=G(f(X),f(Y))}$

Рассмотрим формальную группу F(X,Y) с коэффициентами в кольце целых чисел в локальном поле (например, Z _p ). Взяв X и Y в единственный максимальный идеал, мы получим сходящийся степенной ряд, и в этом случае мы определяем F(X,Y) = X + _F Y , и у нас есть настоящий групповой закон. Например, если F(X,Y)=X+Y , то это обычное сложение. Это изоморфно случаю F(X,Y)=X+Y+XY , где у нас есть умножение на множестве элементов, которое можно записать как 1, добавленное к элементу простого идеала. В последнем случае f(S) = ( 1 + S ) ^p -1 является эндоморфизмом F, и изоморфизм отождествляет f с элементом Фробениуса.

Теория Любина–Тейта важна в явной локальной теории полей классов . Неразветвленная часть любого абелева расширения легко строится, Любин–Тейт находит свою ценность в создании разветвленной части. Это работает путем определения семейства модулей (индексированных натуральными числами) над кольцом целых чисел, состоящих из того, что можно рассматривать как корни степенного ряда, многократно составленного с самим собой. Композит всех полей, образованных присоединением таких модулей к исходному полю, дает разветвленную часть.

Расширение Любина –Тейта локального поля K — это абелево расширение K, полученное путем рассмотрения точек p -деления группы Любина–Тейта. Если g — многочлен Эйзенштейна , f ( t ) = t g ( t ) и F — формальная группа Любина–Тейта, пусть θ _n обозначает корень gf ^{n -1} ( t )= g ( f ( f (⋯( f ( t ))⋯))). Тогда K (θ _n ) — это абелево расширение K с группой Галуа, изоморфной U /1+ p ^{n ,} где U — единичная группа кольца целых чисел группы K , а p — максимальный идеал. ^[2]

Любин и Тейт изучали теорию деформации таких формальных групп. Более позднее применение теории было в области стабильной теории гомотопий , с построением особой необычной теории когомологий, связанной с конструкцией для заданного простого числа p . Как часть общего механизма для формальных групп, для формальной группы Любина–Тейта создана теория когомологий со спектром , которая также известна под названиями E-теории Моравы или завершенной теории Джонсона–Уилсона . ^[4]

• Лури, Дж. (2010), Теория Любина–Тейта (PDF)