Космическая группа

Группа симметрии конфигурации в пространстве

В математике , физике и химии пространственная группа — это группа симметрии повторяющегося узора в пространстве, обычно в трех измерениях . ^[1] Элементы пространственной группы (ее операции симметрии ) — это жесткие преобразования узора, которые оставляют его неизменным. В трех измерениях пространственные группы классифицируются на 219 различных типов или 230 типов, если хиральные копии считаются различными. Пространственные группы — это дискретные кокомпактные группы изометрий ориентированного евклидова пространства в любом количестве измерений. В измерениях , отличных от 3, их иногда называют группами Бибербаха .

В кристаллографии пространственные группы также называются кристаллографическими или федоровскими группами и представляют собой описание симметрии кристалла . Окончательным источником относительно трехмерных пространственных групп являются Международные таблицы для кристаллографии Хана (2002).

История

Пространственные группы в 2 измерениях — это 17 групп обоев , которые известны уже несколько столетий, хотя доказательство того, что список был полным, было дано только в 1891 году, после того как гораздо более сложная классификация пространственных групп была в основном завершена. ^[2]

В 1879 году немецкий математик Леонард Зонке перечислил 65 пространственных групп (называемых группами Зонке), элементы которых сохраняют хиральность . ^[3] Точнее, он перечислил 66 групп, но и русский математик и кристаллограф Евграф Федоров , и немецкий математик Артур Мориц Шенфлис заметили, что две из них на самом деле одинаковы. Пространственные группы в трех измерениях были впервые перечислены в 1891 году Федоровым ^[4] (в списке которого было два пропуска (I 4 3d и Fdd2) и одно дублирование (Fmm2)), а вскоре после этого в 1891 году были независимо перечислены Шенфлисом ^[5] (в списке которого было четыре пропуска (I 4 3d, Pc, Cc, ?) и одно дублирование (P 4 2 ₁ m)). Правильный список из 230 пространственных групп был найден к 1892 году во время переписки между Федоровым и Шёнфлисом. ^[6] Уильям Барлоу (1894) позже перечислил группы другим методом, но пропустил четыре группы (Fdd2, I 4 2d, P 4 2 ₁ d и P 4 2 ₁ c), хотя у него уже был правильный список из 230 групп от Федорова и Шёнфлиса; распространенное утверждение, что Барлоу не знал об их работе, неверно. ^{[ необходима цитата ]} Буркхардт (1967) подробно описывает историю открытия пространственных групп.

Элементы

Пространственные группы в трех измерениях состоят из комбинаций 32 кристаллографических точечных групп с 14 решетками Браве , каждая из которых принадлежит одной из 7 систем решеток . Это означает, что действие любого элемента данной пространственной группы может быть выражено как действие элемента соответствующей точечной группы, за которым может следовать трансляция. Таким образом, пространственная группа представляет собой некоторую комбинацию трансляционной симметрии элементарной ячейки ( включая центрирование решетки ), операций симметрии точечной группы отражения , вращения и несобственного вращения (также называемого ротоинверсией), а также операций симметрии винтовой оси и плоскости скольжения . Сочетание всех этих операций симметрии приводит к получению в общей сложности 230 различных пространственных групп, описывающих все возможные симметрии кристаллов.

Число повторений асимметричной единицы в элементарной ячейке, таким образом, равно числу точек решетки в ячейке, умноженному на порядок точечной группы. Оно варьируется от 1 в случае пространственной группы P1 до 192 для пространственной группы типа Fm 3 m, структуры NaCl .

Элементы, фиксирующие точку

Элементами пространственной группы, фиксирующими точку пространства, являются элемент тождества, отражения, вращения и несобственные вращения , включая точки инверсии .

Переводы

Переводы образуют нормальную абелеву подгруппу ранга 3, называемую решеткой Браве (названной так в честь французского физика Огюста Браве ). Существует 14 возможных типов решетки Браве. Фактор пространственной группы по решетке Браве представляет собой конечную группу, которая является одной из 32 возможных точечных групп .

Планирующие самолеты

Плоскость скольжения — это отражение в плоскости, за которым следует перенос, параллельный этой плоскости. Это обозначается как , , или , в зависимости от того, по какой оси происходит скольжение. Существует также скольжение , которое является скольжением вдоль половины диагонали грани, и скольжение, которое является четвертью пути либо вдоль грани, либо по пространственной диагонали элементарной ячейки. Последнее называется плоскостью скольжения алмаза, поскольку оно присутствует в структуре алмаза . В 17 пространственных группах из-за центрирования ячейки скольжения происходят в двух перпендикулярных направлениях одновременно, т. е. одна и та же плоскость скольжения может называться b или c , a или b , a или c . Например, группа Abm2 может также называться Acm2, группа Ccca может называться Cccb. В 1992 году было предложено использовать символ e для таких плоскостей. Были изменены символы для пяти пространственных групп: $а$ $б$ $с$ $n$ $д$

Космическая группа №	39	41	64	67	68
Новый символ	Аем2	Аеа2	Cmce	Cmme	Кккэ
Старый Символ	Абм2	Аба2	Cmca	Кмма	Кккк

Винтовые оси

Винтовая ось — это вращение вокруг оси, за которым следует перемещение вдоль направления оси. Они обозначаются числом n , описывающим степень вращения, где число — это количество операций, которые необходимо применить для завершения полного вращения (например, 3 будет означать вращение на треть пути вокруг оси каждый раз). Затем степень перемещения добавляется в качестве нижнего индекса, показывающего, насколько далеко вдоль оси находится перемещение, как часть параллельного вектора решетки. Таким образом, 2 ₁ — это двукратное вращение, за которым следует перемещение на 1/2 вектора решетки.

Общая формула

Общая формула действия элемента пространственной группы:

у = М . х + Д

где M — ее матрица, D — ее вектор, и где элемент преобразует точку x в точку y . В общем случае, D = D ( решетка ) + D ( M ), где D ( M ) — уникальная функция M , которая равна нулю, поскольку M является тождеством. Матрицы M образуют точечную группу , которая является базисом пространственной группы; решетка должна быть симметрична относительно этой точечной группы, но сама кристаллическая структура может не быть симметричной относительно этой точечной группы применительно к любой конкретной точке (то есть без трансляции). Например, кубическая структура алмаза не имеет точек, к которым применима кубическая точечная группа .

Размерность решетки может быть меньше общей размерности, что приводит к «субпериодической» пространственной группе. Для (общая размерность, размерность решетки):

(1,1): Одномерные линейные группы
(2,1): Двумерные линейные группы : фризовые группы
(2,2): Группы обоев
(3,1): Трехмерные линейные группы ; с трехмерными кристаллографическими точечными группами, стержневые группы
(3,2): Группы слоев
(3,3): Пространственные группы, обсуждаемые в этой статье

Хиральность

65 пространственных групп "Sohncke", не содержащих никаких зеркал, точек инверсии, несобственных вращений или плоскостей скольжения, дают хиральные кристаллы, не идентичные своему зеркальному отображению; тогда как пространственные группы, которые включают по крайней мере одну из них, дают ахиральные кристаллы. Ахиральные молекулы иногда образуют хиральные кристаллы, но хиральные молекулы всегда образуют хиральные кристаллы, в одной из пространственных групп, которые это допускают.

Среди 65 групп Зонке 22 входят в 11 энантиоморфных пар.

Комбинации

В пространственной группе возможны только определенные комбинации элементов симметрии. Трансляции всегда присутствуют, а в пространственной группе P1 есть только трансляции и элемент тождества. Наличие зеркал подразумевает также плоскости скольжения, а наличие осей вращения подразумевает также винтовые оси, но обратные утверждения неверны. Инверсия и зеркало подразумевают двукратные винтовые оси и т. д.

Обозначение

Существует не менее десяти методов наименования пространственных групп. Некоторые из этих методов могут присваивать одной и той же пространственной группе несколько различных имен, так что в общей сложности существует много тысяч различных имен.

Число: Международный союз кристаллографии публикует таблицы всех типов пространственных групп и присваивает каждой из них уникальный номер от 1 до 230. Нумерация произвольна, за исключением того, что группам с одинаковой кристаллической системой или точечной группой присваиваются последовательные номера.

Международная символьная нотация

Обозначение Германа–Могена

Обозначение Германа–Могена (или международное) описывает решетку и некоторые генераторы для группы. Оно имеет сокращенную форму, называемую международным коротким символом , которая является наиболее часто используемой в кристаллографии и обычно состоит из набора из четырех символов. Первый описывает центрирование решетки Браве ( P , A , C , I , R или F ). Следующие три описывают наиболее заметную операцию симметрии, видимую при проецировании вдоль одного из направлений высокой симметрии кристалла. Эти символы такие же, как используемые в точечных группах , с добавлением плоскостей скольжения и винтовой оси, описанных выше. В качестве примера, пространственная группа кварца — P3 ₁ 21, показывающая, что она демонстрирует примитивное центрирование мотива (т. е. один раз на элементарную ячейку) с тройной винтовой осью и двойной осью вращения. Обратите внимание, что она явно не содержит кристаллическую систему , хотя она уникальна для каждой пространственной группы (в случае P 3 ₁ 21 она тригональная).

В международном коротком символе первый символ (3 ₁ в этом примере) обозначает симметрию вдоль большой оси (оси c в тригональных случаях), второй (2 в этом случае) вдоль осей второстепенного значения (a и b), а третий символ - симметрию в другом направлении. В тригональном случае также существует пространственная группа P3 ₁ 12. В этой пространственной группе оси второго порядка не вдоль осей a и b, а в направлении, повернутом на 30°.

Международные символы и международные краткие символы для некоторых космических групп были немного изменены в период с 1935 по 2002 год, поэтому для некоторых космических групп используются 4 различных международных символа.

Направления обзора 7 кристаллических систем показаны ниже.

Положение в символе	Триклинный	Моноклинный	Орторомбический	Тетрагональный	Треугольный	Шестиугольный	Кубический
1	—	б	а	с	с	с	а
2	—		б	а	а	а	[111]
3	—		с	[110]	[210]	[210]	[110]

Обозначение Холла ^[7]: Обозначение пространственной группы с явным началом. Символы вращения, трансляции и направления осей четко разделены, а центры инверсии явно определены. Конструкция и формат обозначения делают его особенно подходящим для компьютерной генерации информации о симметрии. Например, группа номер 3 имеет три символа Холла: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).
Нотация Шёнфлиса: Пространственные группы с заданной точечной группой нумеруются числами 1, 2, 3, ... (в том же порядке, что и их международный номер), и этот номер добавляется как верхний индекс к символу Шёнфлиса для точечной группы. Например, группы с номерами от 3 до 5, точечная группа которых C _2, имеют символы Шёнфлиса C¹
₂, С²
₂, С³
₂.

нотация Федорова

символ Шубникова

Обозначение Strukturbericht

Связанное обозначение для кристаллических структур с указанием буквы и индекса: A Элементы (одноатомные), B для соединений AB, C для соединений AB ₂ , D для соединений A _m B _n , ( E , F , ..., K более сложные соединения), L Сплавы, O Органические соединения, S Силикаты. Некоторые структурные обозначения имеют одни и те же пространственные группы. Например, пространственная группа 225 — это A ₁ , B ₁ и C ₁ . Пространственная группа 221 — это A _h и B ₂ . ^[8] Однако кристаллографы не использовали бы обозначение Strukturbericht для описания пространственной группы, а использовали бы его для описания конкретной кристаллической структуры (например, пространственная группа + атомное расположение (мотив)).

Орбифолдная нотация (2D)

Фибрифолдная нотация (3D)

Как следует из названия, нотация орбифолда описывает орбифолд, заданный фактором евклидова пространства по пространственной группе, а не генераторы пространственной группы. Она была введена Конвеем и Терстоном и не используется за пределами математики. Некоторые из пространственных групп имеют несколько различных фибрифолдов, связанных с ними, поэтому имеют несколько различных символов фибрифолда.

нотация Коксетера: Группы пространственной и точечной симметрии, представленные как модификации чистых отражательных групп Кокстера .
Геометрическая нотация ^[9]: Обозначение геометрической алгебры .

Системы классификации

Существует (по крайней мере) 10 различных способов классификации пространственных групп в классы. Отношения между некоторыми из них описаны в следующей таблице. Каждая система классификации является уточнением тех, что находятся ниже. Чтобы понять объяснение, данное здесь, может потребоваться понять следующее ниже.

(Кристаллографические) типы пространственных групп (230 в трех измерениях)
Две пространственные группы, рассматриваемые как подгруппы группы аффинных преобразований пространства, имеют один и тот же тип пространственной группы, если они одинаковы с точностью до аффинного преобразования пространства, сохраняющего ориентацию . Таким образом, например, изменение угла между векторами трансляции не влияет на тип пространственной группы, если оно не добавляет и не удаляет никакой симметрии. Более формальное определение включает сопряженность (см. Группа симметрии ). В трех измерениях для 11 аффинных пространственных групп не существует сохраняющего хиральность (т. е. сохраняющего ориентацию) отображения группы в ее зеркальное отображение, поэтому, если различать группы и их зеркальные отображения, каждый из них разделяется на два случая (например, P4 ₁ и P4 ₃ ). Таким образом, вместо 54 аффинных пространственных групп, сохраняющих хиральность, существует 54 + 11 = 65 типов пространственных групп, сохраняющих хиральность ( группы Зонке ). Для большинства хиральных кристаллов два энантиоморфа принадлежат к одной и той же кристаллографической пространственной группе, например P2 ₁ 3 для FeSi ^[10] , но для других, например кварца , они принадлежат к двум энантиоморфным пространственным группам.
Типы аффинных пространственных групп (219 в трех измерениях)
Две пространственные группы, рассматриваемые как подгруппы группы аффинных преобразований пространства, имеют один и тот же тип аффинной пространственной группы, если они одинаковы с точностью до аффинного преобразования, даже если оно инвертирует ориентацию. Тип аффинной пространственной группы определяется базовой абстрактной группой пространственной группы. В трех измерениях Пятьдесят четыре типа аффинных пространственных групп сохраняют хиральность и дают хиральные кристаллы. Два энантиоморфа хирального кристалла имеют одну и ту же аффинную пространственную группу.
Классы арифметических кристаллов (73 в трех измерениях)
Иногда их называют Z-классами. Они определяются точечной группой вместе с действием точечной группы на подгруппу трансляций. Другими словами, арифметические классы кристалла соответствуют классам сопряженности конечной подгруппы общей линейной группы GL _n ( Z ) над целыми числами. Пространственная группа называется симморфной (или расщепленной ), если существует точка такая, что все симметрии являются произведением симметрии, фиксирующей эту точку, и трансляции. Эквивалентно, пространственная группа является симморфной, если она является полупрямым произведением своей точечной группы на свою подгруппу трансляций. Существует 73 симморфных пространственных группы, ровно по одной в каждом арифметическом классе кристалла. Существует также 157 несимморфных типов пространственных групп с различными числами в арифметических классах кристалла. Арифметические кристаллические классы можно интерпретировать как различные ориентации точечных групп в решетке, при этом матричные компоненты групповых элементов ограничены целыми коэффициентами в пространстве решетки. Это довольно легко изобразить в двумерном случае группы обоев . Некоторые точечные группы имеют отражения, и линии отражения могут проходить вдоль направлений решетки, посередине между ними или в обоих направлениях. Нет: C ₁ : p1; C ₂ : p2; C ₃ : p3; C ₄ : p4; C ₆ : p6 Вдоль: D ₁ : pm, pg; D ₂ : pmm, pmg, pgg; D ₃ : p31m Между: D ₁ : см; D ₂ : смм; D ₃ : p3m1 Оба: D ₄ : p4m, p4g; D ₆ : p6m
(геометрические) Классы кристаллов (32 в трех измерениях)	Стаи Браве (14 в трех измерениях)
Иногда называются Q-классами. Кристаллический класс пространственной группы определяется ее точечной группой: фактором по подгруппе трансляций, действующих на решетке. Две пространственные группы находятся в одном и том же кристаллическом классе тогда и только тогда, когда их точечные группы, являющиеся подгруппами GL _n ( Z ), сопряжены в большей группе GL _n ( Q ).	Они определяются базовым типом решетки Браве. Они соответствуют классам сопряженности точечных групп решетки в GL _n ( Z ), где точечная группа решетки является группой симметрий базовой решетки, которая фиксирует точку решетки и содержит точечную группу.
Кристаллические системы (7 в трех измерениях)	Решетчатые системы (7 в трех измерениях)
Кристаллические системы являются специальной модификацией решетчатых систем, чтобы сделать их совместимыми с классификацией по точечным группам. Они отличаются от семейств кристаллов тем, что гексагональное кристаллическое семейство разделено на два подмножества, называемые тригональными и гексагональными кристаллическими системами. Тригональная кристаллическая система больше ромбоэдрической решетчатой системы, гексагональная кристаллическая система меньше гексагональной решетчатой системы, а остальные кристаллические системы и решетчатые системы одинаковы.	Система решетки пространственной группы определяется классом сопряженности группы точек решетки (подгруппы GL _n ( Z )) в большей группе GL _n ( Q ). В трех измерениях группа точек решетки может иметь один из 7 различных порядков 2, 4, 8, 12, 16, 24 или 48. Семейство гексагональных кристаллов делится на два подмножества, называемые ромбоэдрической и гексагональной системами решеток.
Кристаллические семейства (6 в трех измерениях)
Точечная группа пространственной группы не совсем определяет ее систему решетки, потому что иногда две пространственные группы с одной и той же точечной группой могут находиться в разных системах решетки. Кристаллические семейства образуются из систем решетки путем слияния двух систем решетки всякий раз, когда это происходит, так что кристаллическое семейство пространственной группы определяется либо ее системой решетки, либо ее точечной группой. В 3 измерениях единственными двумя семействами решеток, которые объединяются таким образом, являются гексагональная и ромбоэдрическая системы решетки, которые объединяются в гексагональное кристаллическое семейство. 6 кристаллических семейств в 3 измерениях называются триклинными, моноклинными, орторомбическими, тетрагональными, гексагональными и кубическими. Кристаллические семейства обычно используются в популярных книгах о кристаллах, где их иногда называют кристаллическими системами.

Conway , Delgado Friedrichs и Huson et al. (2001) дали другую классификацию пространственных групп, называемую фибрифолдной нотацией , согласно фибрифолдным структурам на соответствующем орбифолде . Они разделили 219 аффинных пространственных групп на приводимые и неприводимые группы. Приводимые группы делятся на 17 классов, соответствующих 17 группам обоев , а оставшиеся 35 неприводимых групп совпадают с кубическими группами и классифицируются отдельно.

В других измерениях

Теоремы Бибербаха

В n измерениях аффинная пространственная группа, или группа Бибербаха , является дискретной подгруппой изометрий n -мерного евклидова пространства с компактной фундаментальной областью. Бибербах (1911, 1912) доказал, что подгруппа трансляций любой такой группы содержит n линейно независимых трансляций и является свободной абелевой подгруппой конечного индекса, а также является единственной максимальной нормальной абелевой подгруппой. Он также показал, что в любой размерности n существует только конечное число возможностей для класса изоморфизма базовой группы пространственной группы, и, более того, действие группы на евклидовом пространстве является единственным с точностью до сопряжения аффинными преобразованиями. Это отвечает на часть восемнадцатой проблемы Гильберта . Цассенхаус (1948) показал, что, наоборот, любая группа, которая является расширением ^{[ когда определена как? ]} Z ⁿ конечной группой, действующей точно, является аффинной пространственной группой. Объединение этих результатов показывает, что классификация пространственных групп в n измерениях с точностью до сопряжения аффинными преобразованиями по сути совпадает с классификацией классов изоморфизма для групп, являющихся расширениями Z ⁿ конечной группой, действующей точно.

В теоремах Бибербаха существенно предположить, что группа действует как изометрии; теоремы не обобщаются на дискретные кокомпактные группы аффинных преобразований евклидова пространства. Контрпримером служит 3-мерная группа Гейзенберга целых чисел, действующих посредством переносов на группу Гейзенберга действительных чисел, отождествленную с 3-мерным евклидовым пространством. Это дискретная кокомпактная группа аффинных преобразований пространства, но она не содержит подгруппы Z ³ .

Классификация по малым размерам

В этой таблице указано число типов пространственных групп в малых размерностях, включая число различных классов пространственных групп. Число энантиоморфных пар указано в скобках.

Размеры	Кристаллические семейства, последовательность OEIS A004032	Кристаллические системы, последовательность OEIS A004031	Решетки Браве, последовательность OEIS A256413	Абстрактные кристаллографические точечные группы, последовательность OEIS A006226	Геометрические классы кристаллов, Q-классы, кристаллографические точечные группы, последовательность OEIS A004028	Арифметические кристаллические классы, Z-классы, последовательность OEIS A004027	Типы аффинных пространственных групп, последовательность OEIS A004029	Типы кристаллографических пространственных групп, последовательность OEIS A006227
0 ^[а]	1	1	1	1	1	1	1	1
1 ^[б]	1	1	1	2	2	2	2	2
2 ^[с]	4	4	5	9	10	13	17	17
3 ^[д]	6	7	14	18	32	73	219 (+11)	230
4 ^[э]	23 (+6)	33 (+7)	64 (+10)	118	227 (+44)	710 (+70)	4783 (+111)	4894
5 ^[ж]	32	59	189	239	955	6079	222018 (+79)	222097
6 ^[г]	91	251	841	1594	7103	85308 (+?)	28927915 (+?)	?

^ Тривиальная группа
^ Одна из них — группа целых чисел, а другая — бесконечная диэдральная группа ; см. группы симметрии в одном измерении .
^ Эти двухмерные пространственные группы также называются группами обоев или группами плоскостей .
^ В 3D существует 230 кристаллографических типов пространственных групп, что сводится к 219 типам аффинных пространственных групп, поскольку некоторые типы отличаются от своего зеркального отображения; говорят, что они отличаются энантиоморфным характером (например, P3 ₁ 12 и P3 ₂ 12). Обычно пространственная группа относится к 3D. Они были независимо перечислены Барлоу (1894), Федоровым (1891a) и Шёнфлисом (1891).
^ 4895 4-мерных групп были перечислены Гарольдом Брауном, Рольфом Бюловым и Иоахимом Нойбюзером и др. (1978) Нойбюзер, Сувинье и Вондратчек (2002) исправили число энантиоморфных групп со 112 до 111, так что общее число групп составляет 4783 + 111 = 4894. Существует 44 энантиоморфных точечных группы в 4-мерном пространстве. Если мы рассматриваем энантиоморфные группы как различные, общее число точечных групп составляет 227 + 44 = 271 .
^ Плескен и Шульц (2000) перечислили энантиоморфы размерности 5. Сувинье (2003) подсчитал энантиоморфы.
^ Plesken & Schulz (2000) перечислили энантиоморфы размерности 6, позже были найдены исправленные цифры. ^[11] Первоначально опубликованное число 826 типов решеток в Plesken & Hanrath (1984) было исправлено до 841 в Opgenorth, Plesken & Schulz (1998). См. также Janssen et al. (2002). Souvignier (2003) подсчитал энантиоморфы, но эта статья опиралась на старые ошибочные данные CARAT для размерности 6.

Магнитные группы и обращение времени

В дополнение к кристаллографическим пространственным группам существуют также магнитные пространственные группы (также называемые двухцветными (черно-белыми) кристаллографическими группами или группами Шубникова ). Эти симметрии содержат элемент, известный как обращение времени. Они рассматривают время как дополнительное измерение, и элементы группы могут включать обращение времени как отражение в нем. Они важны в магнитных структурах , которые содержат упорядоченные неспаренные спины, т. е. ферро- , ферри- или антиферромагнитные структуры, изучаемые с помощью нейтронной дифракции . Элемент обращения времени переворачивает магнитный спин, оставляя всю остальную структуру прежней, и его можно комбинировать с рядом других элементов симметрии. Включая обращение времени, существует 1651 магнитная пространственная группа в 3D (Kim 1999, p.428). Также удалось построить магнитные версии для других общих и решеточных измерений (статьи Даниила Литвина, (Litvin 2008), (Litvin 2005)). Фризовые группы — это магнитные 1D линейные группы, а слои — это магнитные группы обоев, а аксиальные 3D точечные группы — это магнитные 2D точечные группы. Количество исходных и магнитных групп по (общему, решетчатому) измерению: (Palistrant 2012) (Souvignier 2006)

Габаритные размеры	Размерность решетки	Обычные группы			Магнитные группы
Габаритные размеры	Размерность решетки	Имя	Символ	Считать	Символ	Считать
0	0	Группа нульмерной симметрии	$G_{0}$	1	$G_{0}^{1}$	2
1	0	Одномерные точечные группы	$G_{10}$	2	$G_{10}^{1}$	5
1	1	Одномерные дискретные группы симметрии	$G_{1}$	2	$G_{1}^{1}$	7
2	0	Двумерные точечные группы	$G_{20}$	10	$G_{20}^{1}$	31
	1	Фризовые группы	$G_{21}$	7	$G_{21}^{1}$	31
	2	Группы обоев	$G_{2}$	17	$G_{2}^{1}$	80
3	0	Трёхмерные точечные группы	$G_{30}$	32	$G_{30}^{1}$	122
	1	Группы стержней	$G_{31}$	75	$G_{31}^{1}$	394
	2	Группы слоев	$G_{32}$	80	$G_{32}^{1}$	528
	3	Трехмерные пространственные группы	$G_{3}$	230	$G_{3}^{1}$	1651
4	0	Четырехмерные точечные группы	$G_{40}$	271	$G_{40}^{1}$	1202
	1		$G_{41}$	343
	2		$G_{42}$	1091
	3		$G_{43}$	1594
	4	Четырехмерные дискретные группы симметрии	$G_{4}$	4894	$G_{4}^{1}$	62227

Таблица пространственных групп в 2 измерениях (группы обоев)

Таблица групп обоев с использованием классификации групп двумерного пространства:

Кристаллическая система , решетка Браве	Геометрический класс, точечная группа					Класс арифметики	Группы обоев (схема ячеек)
Кристаллическая система , решетка Браве	Международный	Шён.	Орбифолд	Кокс.	Орд.	Класс арифметики	Группы обоев (схема ячеек)
Наклонный	1	С ₁	(1)	[ ] ⁺	1	Никто	стр1 (1)
Наклонный	2	С ₂	(22)	[2] ⁺	2	Никто	стр2 (2222)
Прямоугольный	м	Д ₁	(*)	[ ]	2	Вдоль	вечера (**)	стр. (××)
Прямоугольный	2мм	Д ₂	(*22)	[2]	4	Вдоль	пмм (*2222)	пмг (22*)
Прямоугольный по центру	м	Д ₁	(*)	[ ]	2	Между	см (*×)
Прямоугольный по центру	2мм	Д ₂	(*22)	[2]	4	Между	смм (2*22)	пгг (22×)
Квадрат	4	С ₄	(44)	[4] ⁺	4	Никто	стр.4 (442)
Квадрат	4мм	Д ₄	(*44)	[4]	8	Оба	п4м (*442)	п4г (4*2)
Шестиугольный	3	С ₃	(33)	[3] ⁺	3	Никто	стр.3 (333)
	3м	Д ₃	(*33)	[3]	6	Между	п3м1 (*333)	стр31м (3*3)
	6	С ₆	(66)	[6] ⁺	6	Никто	стр.6 (632)
	6мм	Д ₆	(*66)	[6]	12	Оба	стр.6м (*632)

Для каждого геометрического класса возможны арифметические классы

Нет: нет линий отражения
Вдоль: линии отражения вдоль направлений решетки
Между: линии отражения посередине между направлениями решетки
Оба: линии отражения как вдоль, так и между направлениями решетки

Таблица пространственных групп в 3 измерениях

№	Кристаллическая система , (кол-во), решетка Браве	Группа точек					Космические группы (международный короткий символ)
№	Кристаллическая система , (кол-во), решетка Браве	Международный	Шён.	Орбифолд	Кокс.	Орд.	Космические группы (международный короткий символ)
1	Триклинический (2)	1	С ₁	11	[ ] ⁺	1	П1
2	Триклинический (2)	1	С _я	1×	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2	П 1
3–5	Моноклинный (13)	2	С ₂	22	[2] ⁺	2	П2, П2 ₁ С2
6–9		м	С _с	*11	[ ]	2	Пм, Пк См, Кк
10–15		2/м	С _2ч	2*	[2,2 ⁺ ]	4	П2/м, П2 ₁ /м С2/м, П2/ц, П2 ₁ /ц С2/ц
16–24	Орторомбическая (59)	222	Д ₂	222	[2,2] ⁺	4	P222, P222 ₁ , P2 ₁ 2 ₁ 2, P2 ₁ 2 ₁ 2 ₁ , C222 ₁ , C222, F222, I222, I2 ₁ 2 ₁ 2 ₁
25–46		мм2	С _2в	*22	[2]	4	Pmm2, Pmc2 ₁ , Pcc2, Pma2, Pca2 1, Pnc2, Pmn2 ₁_, Pba2, Pna2 ₁ , Pnn2 Cmm2, Cmc2 ₁ , Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2
47–74		М-м-м	Д _2ч	*222	[2,2]	8	Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd Immm, Ibam, Ibca , Имма
75–80	Тетрагональный (68)	4	С ₄	44	[4] ⁺	4	П4, П4 ₁ , П4 ₂ , П4 ₃ , И4, И4 ₁
81–82		4	С ₄	2×	[2 ⁺ ,4 ⁺ ]	4	П 4 , И 4
83–88		4/м	С _4ч	4*	[2,4 ⁺ ]	8	П4/м, П4 ₂ /м, П4/н, П4 ₂ /н I4/м, I4 ₁ /а
89–98		422	Д ₄	224	[2,4] ⁺	8	П422, П42 ₁ 2, П4 ₁ 22, П4 ₁ 2 ₁ 2, П4 ₂ 22, П4 ₂ 2 ₁ 2, П4 ₃ 22, П4 ₃ 2 ₁ 2 I422, I4 ₁ 22
99–110		4мм	С _4в	*44	[4]	8	P4mm, P4bm, P4 ₂ см, P4 ₂ нм, P4cc, P4nc, P4 ₂ мц, P4 ₂ бц I4mm, I4cm, I4 ₁ мд, I4 ₁ кд
111–122		4 2м	Д _2д	2*2	[2 ⁺ ,4]	8	П 4 2м, П 4 2с, П 4 2 ₁ м, П 4 2 ₁ с, П 4 м2, П 4 с2, П 4 б2, П 4 н2 И 4 м2, И 4 с2, И 4 2м, И 4 2г
123–142		4/ммм	Д _4ч	*224	[2,4]	16	P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P4 ₂ /mmc, P4 ₂ /mcm, P4 ₂ /nbc, P4 ₂ /nnm, P4 ₂ /mbc, P4 ₂ /mnm, P4 ₂ /nmc, P4 ₂ /ncm I4/mmm, I4/mcm, I4 ₁ /amd, I4 ₁ /acd
143–146	Треугольный (25)	3	С ₃	33	[3] ⁺	3	П3, П3 ₁ , П3 ₂ Р3
147–148		3	С ₆	3×	[2 ⁺ ,6 ⁺ ]	6	П 3 , Р 3
149–155		32	Д ₃	223	[2,3] ⁺	6	P312, P321, P3 ₁ 12, P3 ₁ 21, P3 ₂ 12, P3 ₂ 21 R32
156–161		3м	С _3в	*33	[3]	6	P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c
162–167		3 м	Д _3д	2*3	[2 ⁺ ,6]	12	П 3 1м, П 3 1ц, П 3 м1, П 3 ц1 Р 3 м, Р 3 ц
168–173	Шестиугольный (27)	6	С ₆	66	[6] ⁺	6	П6, П6 ₁ , П6 ₅ , П6 ₂ , П6 ₄ , П6 ₃
174		6	С _3ч	3*	[2,3 ⁺ ]	6	П 6
175–176		6/м	С _6ч	6*	[2,6 ⁺ ]	12	П6/м, П6 ₃ /м
177–182		622	Д ₆	226	[2,6] ⁺	12	П622, П6 ₁ 22, П6 ₅ 22, П6 ₂ 22, П6 ₄ 22, П6 ₃ 22
183–186		6мм	С _6в	*66	[6]	12	P6mm, P6cc, P6 ₃ см, P6 ₃ мс
187–190		6 м2	Д _3ч	*223	[2,3]	12	П 6 м2, П 6 с2, П 6 2м, П 6 2с
191–194		6/ммм	Д _6ч	*226	[2,6]	24	P6/mmm, P6/mcc, P6 ₃ /mcm, P6 ₃ /mmc
195–199	Кубический (36)	23	Т	332	[3,3] ⁺	12	П23, Ф23, И23 П2 ₁ 3, И2 ₁ 3
200–206		м 3	Т _ч	3*2	[3 ⁺ ,4]	24	Пм 3 , Пн 3 , Фм 3 , Фд 3 , Им 3 , Па 3 , Иа 3
207–214		432	О	432	[3,4] ⁺	24	Р432, Р4 ₂ 32 Ф432, Р4 ₁ 32 И432 Р4 ₃ 32, Р4 ₁ 32, И4 ₁ 32
215–220		4 3м	Т _д	*332	[3,3]	24	П 4 3м, Ж 4 3м, И 4 3м П 4 3н, Ж 4 3в, И 4 3д
221–230		м 3 м	Ой	*432	[3,4]	48	Пм 3 м, Пн 3 н, Пм 3 н, Пн 3 м Фм 3 м, Фм 3 к, Фд 3 м, Фд 3 к Им 3 м, Иа 3 д

Примечание: Плоскость e — это двойная плоскость скольжения, имеющая скольжения в двух разных направлениях. Они встречаются в семи орторомбических, пяти тетрагональных и пяти кубических пространственных группах, все с центрированной решеткой. Использование символа e стало официальным с Hahn (2002).

Система решетки может быть найдена следующим образом. Если кристаллическая система не тригональная, то система решетки того же типа. Если кристаллическая система тригональная, то система решетки гексагональная, если только пространственная группа не является одной из семи в системе ромбоэдрической решетки, состоящей из 7 тригональных пространственных групп в таблице выше, название которых начинается с R. (Термин ромбоэдрическая система также иногда используется как альтернативное название для всей тригональной системы.) Система гексагональной решетки больше, чем гексагональная кристаллическая система, и состоит из гексагональной кристаллической системы вместе с 18 группами тригональной кристаллической системы, кроме семи, названия которых начинаются с R.

Решетка Бравэ пространственной группы определяется системой решетки вместе с начальной буквой ее названия, которая для неромбоэдрических групп равна P, I, F, A или C, обозначая главную, объемно-центрированную, гранецентрированную, A-гранецентрированную или C-гранецентрированную решетку. Существует семь ромбоэдрических пространственных групп с начальной буквой R.

Вывод класса кристаллов из пространственной группы

Исключить тип Браве
Преобразовать все элементы симметрии с трансляционными компонентами в соответствующие им элементы симметрии без трансляционной симметрии (плоскости скольжения преобразуются в простые зеркальные плоскости; оси винтов преобразуются в простые оси вращения)
Оси вращения, оси ротоинверсии и плоскости зеркального отражения остаются неизменными.

Ссылки

^ Хиллер, Говард (1986). «Кристаллография и когомологии групп». The American Mathematical Monthly . 93 (10): 765–779. doi :10.2307/2322930. JSTOR 2322930. Архивировано из оригинала 29-09-2022 . Получено 31-01-2015 .
↑ Федоров (1891б).
^ Зонке, Леонхард (1879). Die Entwicklung einer Theorie der Krystallstruktur [ Развитие теории кристаллической структуры ] (на немецком языке). Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер .
^ Федоров (1891а).
^ Шёнфлис, Артур М. (1891). Krystallsysteme und Krystallstruktur [ Кристаллические системы и кристаллическая структура ] (на немецком языке). Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер.
^ фон Федоров, Э. (1892). «Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen» [Сборник кристаллографических результатов г-на Шенфлиса и моих]. Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (на немецком языке). 20 :25–75.
^ Сидней Р. Холл; Ральф В. Гроссе-Кунстлев. «Краткие символы пространственных групп».
^ "Strukturbericht - Wikimedia Commons" . commons.wikimedia.org .
^ Дэвид Хестенес; Джереми Холт (январь 2007 г.). «Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре» (PDF) . Журнал математической физики . 48 (2): 023514. Bibcode :2007JMP....48b3514H. doi :10.1063/1.2426416.
^ JCH Spence и JM Zuo (1994). «О минимальном количестве лучей, необходимых для различения энантиоморфов в рентгеновской и электронной дифракции». Acta Crystallographica Section A. 50 ( 5): 647–650. Bibcode : 1994AcCrA..50..647S. doi : 10.1107/S0108767394002850.
^ "The CARAT Homepage" . Получено 11 мая 2015 г. .

Барлоу, В. (1894), «Über die geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle» [О геометрических свойствах жестких структур и их применении к кристаллам], Zeitschrift für Kristallographie , 23 : 1–63, doi : 10.1524/zkri .1894.23.1.1, S2CID 102301331
Бибербах, Людвиг (1911), «Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume» [О группах жестких преобразований в евклидовых пространствах], Mathematische Annalen , 70 (3): 297–336, doi : 10.1007/BF01564500, ISSN 0025-5831, S2CID 124429194
Бибербах, Людвиг (1912), «Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich» [О группах жестких преобразований в евклидовых пространствах (Второе эссе.) Группы с конечной фундаментальной областью], Mathematische Аннален , 72 (3): 400–412, номер документа : 10.1007/BF01456724, ISSN 0025-5831, S2CID 119472023 .
Браун, Гарольд; Бюлов, Рольф; Нойбюзер, Иоахим; Вондратчек, Ганс; Цассенхаус, Ганс (1978), Кристаллографические группы четырехмерного пространства , Нью-Йорк: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, МР 0484179
Буркхардт, Иоганн Якоб (1947), Die Bewegungsgruppen der Kristallographie [ Группы жестких преобразований в кристаллографии ], Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften (Учебники и монографии из областей точных наук), том. 13, Верлаг Биркхойзер, Базель, MR 0020553
Буркхардт, Иоганн Якоб (1967), «Zur Geschichte der Entdeckung der 230 Raumgruppen» [К истории открытия 230 космических групп], Архив истории точных наук , 4 (3): 235–246, doi : 10.1007. /BF00412962, ISSN 0003-9519, МР 0220837, S2CID 121994079
Конвей, Джон Хортон ; Дельгадо Фридрихс, Олаф; Хьюсон, Дэниел Х.; Терстон, Уильям П. (2001), «О трехмерных пространственных группах», Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 475–507, ISSN 0138-4821, MR 1865535
Федоров Е.С. (1891а), "Симметрия правильных системъ фигуръ" [ Симметрия правильных систем фигур , Симметрия правильных систем фигур ], Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического общества (Zapiski Imperatorskova Sankt Петербургского Минералогического Общества, Труды Императорского Санкт-Петербургского минералогического общества) , 2-я серия (в Русский), 28 (2): 1–146
- Перевод на английский язык: Федоров, Е.С. (1971). Симметрия кристаллов . Монография Американской кристаллографической ассоциации № 7. Перевод Дэвида и Кэтрин Харкер. Буффало, Нью-Йорк: Американская кристаллографическая ассоциация. С. 50–131.
Федоров Е.С. (1891б). « Симметрия на плоскости». Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического общества (Записки Императорского Санкт-Петербургского Минералогического Общества, Известия Императорского Санкт-Петербургского Минералогического Общества) . 2-я серия (на русском языке). 28 : 345–390.
Hahn, Th. (2002), Hahn, Theo (ред.), Международные таблицы по кристаллографии, том A: Симметрия пространственных групп, т. A (5-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1107/97809553602060000100, ISBN 978-0-7923-6590-7
Холл, SR (1981), «Обозначение пространственной группы с явным происхождением», Acta Crystallographica Section A , 37 (4): 517–525, Bibcode : 1981AcCrA..37..517H, doi : 10.1107/s0567739481001228
Janssen, T .; Birman, JL; Dénoyer, F.; Koptsik, VA; Verger-Gaugry, JL; Weigel, D.; Yamamoto, A.; Abrahams, SC; Kopsky, V. (2002), "Отчет подкомитета по номенклатуре n -мерной кристаллографии. II. Символы для арифметических классов кристаллов, классов Браве и пространственных групп", Acta Crystallographica Section A , 58 (Pt 6): 605–621, doi : 10.1107/S010876730201379X , PMID 12388880
Ким, Шун К. (1999), Групповые теоретические методы и приложения к молекулам и кристаллам , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511534867, ISBN 978-0-521-64062-6, MR 1713786, S2CID 117849701
Литвин, ДБ (май 2008), «Таблицы кристаллографических свойств магнитных пространственных групп», Acta Crystallographica Section A , 64 (Pt 3): 419–24, Bibcode :2008AcCrA..64..419L, doi :10.1107/S010876730800768X, PMID 18421131
Литвин, ДБ (май 2005), "Таблицы свойств магнитных субпериодических групп" (PDF) , Acta Crystallographica Section A , 61 (Pt 3): 382–5, Bibcode : 2005AcCrA..61..382L, doi : 10.1107/S010876730500406X, PMID 15846043
Нойбюзер, Дж.; Сувинье, Б.; Вондратчек, Х. (2002), «Исправления к кристаллографическим группам четырехмерного пространства Брауна и др. (1978) [Нью-Йорк: Wiley and Sons]», Acta Crystallographica Section A , 58 (Pt 3): 301, doi : 10.1107/S0108767302001368 , PMID 11961294
Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), «Кристаллографические алгоритмы и таблицы», Acta Crystallographica Section A , 54 (Pt 5): 517–531, Bibcode : 1998AcCrA..54..517O, doi : 10.1107/S010876739701547X
Палистрант, А.Ф. (2012), «Полная схема четырехмерных кристаллографических групп симметрии», Crystallography Reports , 57 (4): 471–477, Bibcode : 2012CryRp..57..471P, doi : 10.1134/S1063774512040104, S2CID 95680790
Плескен, Вильгельм; Ханрат, В (1984), «Решетки шестимерного пространства», Math. Comp. , 43 (168): 573–587, doi : 10.1090/s0025-5718-1984-0758205-5
Плескен, Вильгельм; Шульц, Тильман (2000), «Подсчет кристаллографических групп в низких размерностях», Experimental Mathematics , 9 (3): 407–411, doi :10.1080/10586458.2000.10504417, ISSN 1058-6458, MR 1795312, S2CID 40588234
Шенфлис, Артур Мориц (1923), «Теория кристаллической структуры» [Теория кристаллической структуры], Gebrüder Bornträger, Берлин.
Сувинье, Бернд (2003), «Энанциоморфизм кристаллографических групп в высших размерностях с результатами в размерностях до 6» (PDF) , Acta Crystallographica Section A , 59 (3): 210–220, doi :10.1107/S0108767303004161, PMID 12714771
Сувинье, Бернд (2006), «Четырехмерная магнитная точка и пространственные группы», Zeitschrift für Kristallographie , 221 : 77–82, Bibcode : 2006ZK....221...77S, doi :10.1524/zkri.2006.221. 1,77, HDL : 2066/35218 , S2CID 99946564
Винберг, Э. (2001) [1994], «Кристаллографическая группа», Энциклопедия математики , EMS Press
Зассенхаус, Ганс (1948), «Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen» [Об алгоритме определения пространственных групп], Commentarii Mathematici Helvetici , 21 : 117–141, doi : 10.1007/BF02568029, ISSN 0010-2571, MR 0024424, S2CID 120651709

Внешние ссылки

Международный союз кристаллографов
Точечные группы и решетки Браве Архивировано 2012-07-16 на Wayback Machine
[1] Кристаллографический сервер Бильбао
Информация о космической группе (старая)
Информация о космической группе (новая)
Структуры кристаллической решетки: индекс по пространственным группам
Полный список 230 кристаллографических пространственных групп
Интерактивная 3D-визуализация всех 230 кристаллографических пространственных групп Архивировано 18.04.2021 на Wayback Machine
Хасон, Дэниел Х. (1999), Фибрифолдная нотация и классификация для трехмерных пространственных групп (PDF)^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
Центр геометрии: 2.1 Формулы симметрии в декартовых координатах (два измерения)
Центр геометрии: 10.1 Формулы симметрии в декартовых координатах (три измерения)

[11] Тривиальная группа

[12] Одна из них — группа целых чисел, а другая — бесконечная диэдральная группа ; см. группы симметрии в одном измерении .

[13] Эти двухмерные пространственные группы также называются группами обоев или группами плоскостей .

[14] В 3D существует 230 кристаллографических типов пространственных групп, что сводится к 219 типам аффинных пространственных групп, поскольку некоторые типы отличаются от своего зеркального отображения; говорят, что они отличаются энантиоморфным характером (например, P3 ₁ 12 и P3 ₂ 12). Обычно пространственная группа относится к 3D. Они были независимо перечислены Барлоу (1894), Федоровым (1891a) и Шёнфлисом (1891).

[15] 4895 4-мерных групп были перечислены Гарольдом Брауном, Рольфом Бюловым и Иоахимом Нойбюзером и др. (1978) Нойбюзер, Сувинье и Вондратчек (2002) исправили число энантиоморфных групп со 112 до 111, так что общее число групп составляет 4783 + 111 = 4894. Существует 44 энантиоморфных точечных группы в 4-мерном пространстве. Если мы рассматриваем энантиоморфные группы как различные, общее число точечных групп составляет 227 + 44 = 271 .

[16] Плескен и Шульц (2000) перечислили энантиоморфы размерности 5. Сувинье (2003) подсчитал энантиоморфы.

[18] Plesken & Schulz (2000) перечислили энантиоморфы размерности 6, позже были найдены исправленные цифры. ^[11] Первоначально опубликованное число 826 типов решеток в Plesken & Hanrath (1984) было исправлено до 841 в Opgenorth, Plesken & Schulz (1998). См. также Janssen et al. (2002). Souvignier (2003) подсчитал энантиоморфы, но эта статья опиралась на старые ошибочные данные CARAT для размерности 6.

[1] Хиллер, Говард (1986). «Кристаллография и когомологии групп». The American Mathematical Monthly . 93 (10): 765–779. doi :10.2307/2322930. JSTOR 2322930. Архивировано из оригинала 29-09-2022 . Получено 31-01-2015 .

[FOOTNOTEFedorov1891b-2] Федоров (1891б).

[3] Зонке, Леонхард (1879). Die Entwicklung einer Theorie der Krystallstruktur [ Развитие теории кристаллической структуры ] (на немецком языке). Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер .

[FOOTNOTEFedorov1891a-4] Федоров (1891а).

[5] Шёнфлис, Артур М. (1891). Krystallsysteme und Krystallstruktur [ Кристаллические системы и кристаллическая структура ] (на немецком языке). Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер.

[6] фон Федоров, Э. (1892). «Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen» [Сборник кристаллографических результатов г-на Шенфлиса и моих]. Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (на немецком языке). 20 :25–75.

[7] Сидней Р. Холл; Ральф В. Гроссе-Кунстлев. «Краткие символы пространственных групп».

[8] "Strukturbericht - Wikimedia Commons" . commons.wikimedia.org .

[9] Дэвид Хестенес; Джереми Холт (январь 2007 г.). «Кристаллографические пространственные группы в геометрической алгебре» (PDF) . Журнал математической физики . 48 (2): 023514. Bibcode :2007JMP....48b3514H. doi :10.1063/1.2426416.

[10] JCH Spence и JM Zuo (1994). «О минимальном количестве лучей, необходимых для различения энантиоморфов в рентгеновской и электронной дифракции». Acta Crystallographica Section A. 50 ( 5): 647–650. Bibcode : 1994AcCrA..50..647S. doi : 10.1107/S0108767394002850.

[17] "The CARAT Homepage" . Получено 11 мая 2015 г. .