Кристаллическая система

Классификация кристаллических материалов по их трехмерной структурной геометрии

В кристаллографии кристаллическая система — это набор точечных групп (группа геометрических симметрий с по крайней мере одной неподвижной точкой). Решетчатая система — это набор решеток Бравэ (бесконечный бесконечный массив дискретных точек). Пространственные группы (группы симметрии конфигурации в пространстве) классифицируются на кристаллические системы в соответствии с их точечными группами и на решетчатые системы в соответствии с их решетками Бравэ. Кристаллические системы, имеющие пространственные группы, назначенные общей решетчатой системе, объединяются в кристаллическое семейство .

Семь кристаллических систем — триклинная , моноклинная , орторомбическая , тетрагональная , тригональная , гексагональная и кубическая . Неформально, два кристалла находятся в одной и той же кристаллической системе, если они имеют схожие симметрии (хотя есть много исключений).

Классификации

Кристаллы можно классифицировать тремя способами: решеточные системы, кристаллические системы и кристаллические семейства. Различные классификации часто путают: в частности, тригональную кристаллическую систему часто путают с ромбоэдрической решеточной системой , а термин «кристаллическая система» иногда используется для обозначения «решеточной системы» или «кристаллического семейства».

Решетчатая система

Решетчатая система — это группа решеток с одинаковым набором групп точек решетки . 14 решеток Браве сгруппированы в семь решеточных систем: триклинную, моноклинную, орторомбическую, тетрагональную, ромбоэдрическую, гексагональную и кубическую.

Кристаллическая система

Кристаллическая система — это набор точечных групп, в котором сами точечные группы и соответствующие им пространственные группы приписываются решеточной системе. Из 32 кристаллографических точечных групп , существующих в трех измерениях, большинство приписывается только одной решеточной системе, в этом случае и кристалл, и решеточная система имеют одинаковое название. Однако пять точечных групп приписываются двум решеточным системам, ромбоэдрической и гексагональной, поскольку обе демонстрируют тройную вращательную симметрию. Эти точечные группы приписываются тригональной кристаллической системе.

Семья Кристалл

Семейство кристаллов определяется решетками и точечными группами. Оно формируется путем объединения кристаллических систем, имеющих пространственные группы, назначенные общей системе решеток. В трех измерениях гексагональные и тригональные кристаллические системы объединяются в одно гексагональное кристаллическое семейство.

Гексагональный кристалл ханксита с тройной симметрией оси c

Сравнение

Пять кристаллических систем по сути совпадают с пятью системами решеток. Гексагональные и тригональные кристаллические системы отличаются от гексагональных и ромбоэдрических систем решеток. Они объединены в семейство гексагональных кристаллов.

Связь между трехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и решеточными системами показана в следующей таблице:

Семья Кристалл	Кристаллическая система	Требуемые симметрии точечной группы	Точечные группы	Космические группы	Решетки Браве	Решетчатая система
Триклинный	Триклинный	Никто	2	2	1	Триклинный
Моноклинный	Моноклинный	1 двойная ось вращения или 1 зеркальная плоскость	3	13	2	Моноклинный
Орторомбический	Орторомбический	3 двойные оси вращения или 1 двойная ось вращения и 2 зеркальные плоскости	3	59	4	Орторомбический
Тетрагональный	Тетрагональный	1 четверная ось вращения	7	68	2	Тетрагональный
Шестиугольный	Треугольный	1 тройная ось вращения	5	7	1	Ромбоэдрический
	Треугольный	1 тройная ось вращения	5	18	1	Шестиугольный
	Шестиугольный	1 шестеричная ось вращения	7	27	1	Шестиугольный
Кубический	Кубический	4 тройные оси вращения	5	36	3	Кубический
6	7	Общий	32	230	14	7

Примечание: не существует "треугольной" решетчатой системы. Во избежание путаницы в терминологии термин "треугольная решетка" не используется.

Кристаллические классы

Семь кристаллических систем состоят из 32 кристаллических классов (соответствующих 32 кристаллографическим точечным группам), как показано в следующей таблице ниже:

Семья Кристалл	Кристаллическая система	Группа точек / Класс кристаллов	Шёнфлис	Германн–Моген	Орбифолд	Коксетер	Точечная симметрия	Заказ	Абстрактная группа
триклинный		педаль	С ₁	1	11	[ ] ⁺	энантиоморфный полярный	1	тривиальный $\mathbb {Z} _{1}$
триклинный		пинакоидальный	С _i (S ₂ )	1	1x	[2,1 ⁺ ]	центросимметричный	2	циклический $\mathbb {Z} _{2}$
моноклинный		клиновидный	С ₂	2	22	[2,2] ⁺	энантиоморфный полярный	2	циклический $\mathbb {Z} _{2}$
		доматик	С _s (С _1h )	м	*11	[ ]	полярный	2	циклический $\mathbb {Z} _{2}$
		призматический	С _2ч	2/м	2*	[2,2 ⁺ ]	центросимметричный	4	Кляйн четыре $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2} \times \mathbb {Z} _{2}$
орторомбический		ромбически-двуклиновидный	Д ₂ (В)	222	222	[2,2] ⁺	энантиоморфный	4	Кляйн четыре $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2} \times \mathbb {Z} _{2}$
		ромбическо- пирамидальный	С _2в	мм2	*22	[2]	полярный	4	Кляйн четыре $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2} \times \mathbb {Z} _{2}$
		ромбическо- дипирамидальный	Д _2ч ( _Вч )	М-м-м	*222	[2,2]	центросимметричный	8	$\mathbb {V} \times \mathbb {Z} _{2}$
четырехугольный		тетрагонально-пирамидальный	С ₄	4	44	[4] ⁺	энантиоморфный полярный	4	циклический $\mathbb {Z} _{4}$
		тетрагонально-дисфеноидальный	С ₄	4	2x	[2 ⁺ ,2]	нецентросимметричный	4	циклический $\mathbb {Z} _{4}$
		тетрагонально-дипирамидальный	С _4ч	4/м	4*	[2,4 ⁺ ]	центросимметричный	8	$\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$
		тетрагонально-трапециевидный	Д ₄	422	422	[2,4] ⁺	энантиоморфный	8	двугранный $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дитетрагонально-пирамидальный	С _4в	4мм	*44	[4]	полярный	8	двугранный $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		тетрагонально-скаленоэдрический	Д _2д (В _д )	4 2м или 4 м2	2*2	[2 ⁺ ,4]	нецентросимметричный	8	двугранный $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дитетрагонально-дипирамидальный	Д _4ч	4/ммм	*422	[2,4]	центросимметричный	16	$\mathbb {D} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}$
шестиугольный	треугольный	тригонально-пирамидальный	С ₃	3	33	[3] ⁺	энантиоморфный полярный	3	циклический $\mathbb {Z} _{3}$
		ромбоэдрический	С _3и (С ₆ )	3	3x	[2 ⁺ ,3 ⁺ ]	центросимметричный	6	циклический $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		треугольно-трапециевидный	Д ₃	32 или 321 или 312	322	[3,2] ⁺	энантиоморфный	6	двугранный $\mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дитригонально-пирамидальный	С _3в	3м или 3м1 или 31м	*33	[3]	полярный	6	двугранный $\mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дитригонально-скаленоэдрический	Д _3д	3 м или 3 м1 или 3 1м	2*3	[2 ⁺ ,6]	центросимметричный	12	двугранный $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
	шестиугольный	гексагонально-пирамидальный	С ₆	6	66	[6] ⁺	энантиоморфный полярный	6	циклический $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		тригонально-дипирамидальный	С _3ч	6	3*	[2,3 ⁺ ]	нецентросимметричный	6	циклический $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		гексагонально-дипирамидальный	С _6ч	6/м	6*	[2,6 ⁺ ]	центросимметричный	12	$\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}$
		шестиугольно-трапециевидный	Д ₆	622	622	[2,6] ⁺	энантиоморфный	12	двугранный $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дигексагонально-пирамидальный	С _6в	6мм	*66	[6]	полярный	12	двугранный $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дитригонально-дипирамидальный	Д _3ч	6 м2 или 6 2м	*322	[2,3]	нецентросимметричный	12	двугранный $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дигексагонально-дипирамидальный	Д _6ч	6/ммм	*622	[2,6]	центросимметричный	24	$\mathbb {D} _{12}\times \mathbb {Z} _{2}$
кубический		тетартоидный	Т	23	332	[3,3] ⁺	энантиоморфный	12	чередование $\mathbb {A} _{4}$
		диплоидный	Т _ч	м 3	3*2	[3 ⁺ ,4]	центросимметричный	24	$\mathbb {A} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$
		гироидальный	О	432	432	[4,3] ⁺	энантиоморфный	24	симметричный $\mathbb {S} _{4}$
		гекстетраэдрический	Т _д	4 3м	*332	[3,3]	нецентросимметричный	24	симметричный $\mathbb {S} _{4}$
		гексоктаэдрический	Ой	м 3 м	*432	[4,3]	центросимметричный	48	$\mathbb {S} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$

Точечную симметрию структуры можно далее описать следующим образом. Рассмотрим точки, составляющие структуру, и отразим их все через одну точку, так что ( x , y , z ) станет (− x ,− y ,− z ). Это «перевернутая структура». Если исходная структура и перевернутая структура идентичны, то структура является центросимметричной . В противном случае она нецентросимметрична . Тем не менее, даже в нецентросимметричном случае перевернутую структуру в некоторых случаях можно повернуть, чтобы выровнять с исходной структурой. Это нецентросимметричная ахиральная структура. Если перевернутую структуру нельзя повернуть, чтобы выровнять с исходной структурой, то структура является хиральной или энантиоморфной , а ее группа симметрии является энантиоморфной . ^[1]

Направление (имеется в виду линия без стрелки) называется полярным , если его двунаправленные смыслы геометрически или физически различны. Направление симметрии кристалла, которое является полярным, называется полярной осью . ^[2] Группы, содержащие полярную ось, называются полярными . Полярный кристалл обладает уникальной полярной осью (точнее, все полярные оси параллельны). Некоторые геометрические или физические свойства различаются на двух концах этой оси: например, может возникнуть диэлектрическая поляризация, как в пироэлектрических кристаллах . Полярная ось может встречаться только в нецентросимметричных структурах. Не может быть зеркальной плоскости или двойной оси, перпендикулярной полярной оси, потому что они сделали бы два направления оси эквивалентными.

Кристаллические структуры хиральных биологических молекул (например, белковые структуры) могут встречаться только в 65 энантиоморфных пространственных группах (биологические молекулы обычно хиральны ).

Решетки Браве

Существует семь различных видов решетчатых систем, и каждый вид решетчатой системы имеет четыре различных вида центрирования (примитивное, базоцентрированное, объемноцентрированное, гранецентрированное). Однако не все комбинации уникальны; некоторые из комбинаций эквивалентны, а другие невозможны из-за симметрии. Это сокращает количество уникальных решеток до 14 решеток Браве.

Распределение 14 решеток Браве по 7 решеточным системам приведено в следующей таблице.

Семья Кристалл	Решетчатая система	Группа точек ( обозначение Шенфлиса )	14 решеток Браве
Семья Кристалл	Решетчатая система	Группа точек ( обозначение Шенфлиса )	Примитивный (П)	Центрированный по основанию (S)	Центрированный на теле (I)	Лицо-центрированный (F)
Триклинный (а)		С _я	аП
Моноклинный (м)		С _2ч	МП	РС
Орторомбическая (о)		Д _2ч	оП	ОС	оИ	из
Тетрагональный (т)		Д _4ч	тП		тИ
Шестиугольный (h)	Ромбоэдрический	Д _3д	чР
Шестиугольный (h)	Шестиугольный	Д _6ч	лс
Кубический (c)		Ой	сП		CI	сФ

В геометрии и кристаллографии решетка Браве — это категория групп трансляционной симметрии (также известных как решетки ) в трех направлениях.

Такие группы симметрии состоят из трансляций векторами вида

R = n ₁a ₁ + n ₂a ₂ + n ₃a ₃ ,

где n ₁ , n ₂ и n ₃ — целые числа , а a ₁ , a ₂ и a ₃ — три некомпланарных вектора, называемых примитивными векторами .

Эти решетки классифицируются по пространственной группе самой решетки, рассматриваемой как набор точек; существует 14 решеток Браве в трех измерениях; каждая принадлежит только одной системе решеток. Они ^{[ необходимо разъяснение ]} представляют максимальную симметрию, которую может иметь структура с данной трансляционной симметрией.

Все кристаллические материалы (за исключением квазикристаллов ) должны, по определению, соответствовать одной из этих конфигураций.

Для удобства решетка Браве изображается элементарной ячейкой, которая в 1, 2, 3 или 4 раза больше примитивной ячейки . В зависимости от симметрии кристалла или другой модели фундаментальный домен снова меньше, вплоть до 48 раз.

Решетки Браве были изучены Морицем Людвигом Франкенгеймом в 1842 году, который обнаружил, что существует 15 решеток Браве. Это число было исправлено до 14 А. Браве в 1848 году.

В других измерениях

Двумерное пространство

В двумерном пространстве существует четыре кристаллические системы (наклонная, прямоугольная, квадратная, шестиугольная), четыре кристаллических семейства (наклонная, прямоугольная, квадратная, шестиугольная) и четыре системы решеток ( наклонная , прямоугольная , квадратная и шестиугольная ). ^[3]^[4]

Семья Кристалл	Кристаллическая система	Кристаллографические точечные группы	Количество групп самолетов	Решетки Браве
Наклонная (моноклинная)	Наклонный	1, 2	2	мп
Прямоугольный (орторомбический)	Прямоугольный	м , 2 мм	7	оп , ос
Квадрат (четырехугольный)	Квадрат	4, 4 мм	3	тп
Шестиугольный	Шестиугольный	3, 6, 3 м , 6 мм	5	л.с.
Общий	4	10	17	5

Четырехмерное пространство

‌Четырехмерная элементарная ячейка определяется четырьмя длинами ребер ( a , b , c , d ) и шестью межосевыми углами ( α , β , γ , δ , ε , ζ ). Следующие условия для параметров решетки определяют 23 семейства кристаллов

Кристаллические семейства в 4D пространстве
Нет.	Семья	Длина кромки	Межосевые углы
1	Гексаклинический	а ≠ б ≠ в ≠ г	α ≠ β ≠ γ ≠ δ ≠ ε ≠ ζ ≠ 90°
2	Триклинный	а ≠ б ≠ в ≠ г	α ≠ β ≠ γ ≠ 90° δ = ε = ζ = 90°
3	Диклинический	а ≠ б ≠ в ≠ г	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ ≠ 90°
4	Моноклинный	а ≠ б ≠ в ≠ г	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
5	Ортогональный	а ≠ б ≠ в ≠ г	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
6	Тетрагональная моноклинная	а ≠ б = с ≠ г	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
7	Гексагональная моноклинная	а ≠ б = с ≠ г	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
8	Дитетрагональный диклинный	а = г ≠ б = с	α = ζ = 90° β = ε ≠ 90° γ ≠ 90° δ = 180° − γ
9	Дитригональный (дигексагональный) диклинный	а = г ≠ б = с	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ ≠ δ ≠ 90° cos δ = cos β − cos γ
10	Тетрагональный ортогональный	а ≠ б = с ≠ г	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
11	Шестиугольный ортогональный	а ≠ б = с ≠ г	α = β = γ = δ = ε = 90°, ζ = 120°
12	Дитетрагональная моноклинная	а = г ≠ б = с	α = γ = δ = ζ = 90° β = ε ≠ 90°
13	Дитригональная (дигексагональная) моноклинная	а = г ≠ б = с	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ = δ ≠ 90°, потому что γ = - ⁠1/2⁠ cos β
14	Дитетрагональный ортогональный	а = г ≠ б = с	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
15	Шестиугольный, четырехугольный	а = г ≠ б = с	α = β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
16	Дигексагональный ортогональный	а = г ≠ б = с	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
17	Кубический ортогональный	а = б = в ≠ г	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
18	Восьмиугольный	а = б = в = г	α = γ = ζ ≠ 90° β = ε = 90° δ = 180° − α
19	Десятиугольный	а = б = в = г	α знак равно γ знак равно ζ ≠ β знак равно δ = ε потому что β = - ⁠ 1/2⁠ − cos α
20	Двенадцатиугольный	а = б = в = г	α = ζ = 90° β = ε = 120° γ = δ ≠ 90°
21	Диизогексагональный ортогональный	а = б = в = г	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
22	Икосагональный (икосаэдрический)	а = б = в = г	α = β = γ = δ = ε = ζ потому что α = - ⁠1/4⁠
23	Гиперкубический	а = б = в = г	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

Названия здесь даны в соответствии с Уиттекером. ^[5] Они почти такие же, как у Брауна и др. , ^[6], за исключением названий кристаллических семейств 9, 13 и 22. Названия для этих трех семейств в соответствии с Брауном и др. даны в скобках.

Связь между четырехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и решеточными системами показана в следующей таблице. ^[5]^[6] Энантиоморфные системы отмечены звездочкой. Количество энантиоморфных пар указано в скобках. Здесь термин «энантиоморфный» имеет иное значение, чем в таблице для трехмерных кристаллических классов. Последнее означает, что энантиоморфные точечные группы описывают хиральные (энантиоморфные) структуры. В текущей таблице «энантиоморфный» означает, что сама группа (рассматриваемая как геометрический объект) является энантиоморфной, подобно энантиоморфным парам трехмерных пространственных групп P3 ₁ и P3 ₂ , P4 ₁ 22 и P4 ₃ 22. Начиная с четырехмерного пространства, точечные группы также могут быть энантиоморфными в этом смысле.

Кристаллические системы в 4D пространстве
Количество кристаллов семейства	Семья Кристалл	Кристаллическая система	Количество кристаллических систем	Точечные группы	Космические группы	Решетки Браве	Решетчатая система
я	Гексаклинический		1	2	2	1	Гексаклинический P
II	Триклинный		2	3	13	2	Триклинный P, S
III	Диклинический		3	2	12	3	Диклинический P, S, D
IV	Моноклинный		4	4	207	6	Моноклинная P, S, S, I, D, F
В	Ортогональный	Неаксиальный ортогональный	5	2	2	1	Ортогональный КУ
		Неаксиальный ортогональный	5	2	112	8	Ортогональные P, S, I, Z, D, F, G, U
		Аксиальный ортогональный	6	3	887	8	Ортогональные P, S, I, Z, D, F, G, U
VI	Тетрагональная моноклинная		7	7	88	2	Тетрагональная моноклинная P, I
VII	Гексагональная моноклинная	Тригональная моноклинная	8	5	9	1	Гексагональная моноклинная R
		Тригональная моноклинная	8	5	15	1	Гексагональная моноклинная P
		Гексагональная моноклинная	9	7	25	1	Гексагональная моноклинная P
8-й	Дитетрагональный диклинический*		10	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	Дитетрагональный диклинный P*
IX	Дитригональный диклинный*		11	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Дитригональный диклинный P*
Х	Тетрагональный ортогональный	Обратный тетрагональный ортогональный	12	5	7	1	Тетрагональный ортогональный КГ
		Обратный тетрагональный ортогональный	12	5	351	5	Тетрагональный ортогональный P, S, I, Z, G
		Правильный тетрагональный ортогональный	13	10	1312	5	Тетрагональный ортогональный P, S, I, Z, G
XI	Шестиугольный ортогональный	Тригональный ортогональный	14	10	81	2	Гексагональный ортогональный R, RS
		Тригональный ортогональный	14	10	150	2	Шестиугольный ортогональный P, S
		Шестиугольный ортогональный	15	12	240	2	Шестиугольный ортогональный P, S
XII	Дитетрагональная моноклинная*		16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	Дитетрагональная моноклинная P, S, D*
XIII	Дитригональная моноклинная*		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	Дитригональная моноклинная P, RR
XIV	Дитетрагональный ортогональный	Крипто-дитетрагональный ортогональный	18	5	10	1	Дитетрагональный ортогональный D
		Крипто-дитетрагональный ортогональный	18	5	165 (+2)	2	Дитетрагональный ортогональный P, Z
		Дитетрагональный ортогональный	19	6	127	2	Дитетрагональный ортогональный P, Z
XV	Шестиугольный, четырехугольный		20	22	108	1	Шестиугольный тетрагональный P
XVI	Дигексагональный ортогональный	Крипто-дитригональный ортогональный*	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	Дигексагональный ортогональный G*
		Крипто-дитригональный ортогональный*	21	4 (+4)	5 (+5)	1	Дигексагональный ортогональный P
		Дигексагональный ортогональный	23	11	20
		Дитригональный ортогональный	22	11	41
		Дитригональный ортогональный	22	11	16	1	Дигексагональный ортогональный RR
XVII	Кубический ортогональный	Простая кубическая ортогональная	24	5	9	1	Кубический ортогональный KU
		Простая кубическая ортогональная	24	5	96	5	Кубические ортогональные P, I, Z, F, U
		Комплексный кубический ортогональный	25	11	366	5	Кубические ортогональные P, I, Z, F, U
XVIII	Восьмиугольный*		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	Восьмиугольный P*
XIX	Десятиугольный		27	4	5	1	Десятиугольная буква P
ХХ	Двенадцатиугольный*		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Двенадцатиугольный P*
XXI	Диизогексагональный ортогональный	Простой диизогексагональный ортогональный	29	9 (+2)	19 (+5)	1	Диизогексагональный ортогональный RR
		Простой диизогексагональный ортогональный	29	9 (+2)	19 (+3)	1	Диизогексагональный ортогональный P
		Комплексный диизогексагональный ортогональный	30	13 (+8)	15 (+9)	1	Диизогексагональный ортогональный P
XXII	Икосагональный		31	7	20	2	Икосагональный P, SN
XXIII	Гиперкубический	Восьмиугольный гиперкубический	32	21 (+8)	73 (+15)	1	Гиперкубический P
		Восьмиугольный гиперкубический	32	21 (+8)	107 (+28)	1	Гиперкубический Z
		Двенадцатиугольный гиперкубический	33	16 (+12)	25 (+20)	1	Гиперкубический Z
Общий	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

Смотрите также

Кристаллический кластер – группа кристаллов, образованная в открытом пространстве, форма которых определяется их внутренней кристаллической структурой.
Кристаллическая структура – упорядоченное расположение атомов, ионов или молекул в кристаллическом материале.
Список космических групп
Полярная точечная группа – симметрия в геометрии и кристаллографииPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Ссылки

^ Флэк, Ховард Д. (2003). «Хиральные и ахиральные кристаллические структуры». Helvetica Chimica Acta . 86 (4): 905–921 . CiteSeerX 10.1.1.537.266 . doi :10.1002/hlca.200390109.
^ Хан 2002, стр. 804.
^ Джаковаццо, Кармело (10 февраля 2011 г.). Основы кристаллографии (3-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-957366-0.
^ Хан, Тео (2005). Международные таблицы по кристаллографии, том A: симметрия пространственных групп (5-е изд.). Таблица 2.1.2.1: Springer.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
^ ab Whittaker, EJW (1985). Атлас гиперстереограмм четырехмерных кристаллических классов . Оксфорд : Clarendon Press . ISBN 978-0-19-854432-6. OCLC 638900498.
^ ab Brown, H.; Bülow, R.; Neubüser, J.; Wondratschek, H.; Zassenhaus, H. (1978). Кристаллографические группы четырехмерного пространства . Нью-Йорк : Wiley . ISBN 978-0-471-03095-9. OCLC 939898594.

Цитируемые работы

Hahn, Theo, ed. (2002). Международные таблицы по кристаллографии, том A: Симметрия пространственных групп. Том A (5-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1107/97809553602060000100. ISBN 978-0-7923-6590-7.

Внешние ссылки

Обзор 32 групп
Минеральные галереи – Симметрия
все кубические кристаллические классы, формы и стереографические проекции (интерактивный java-апплет)
Кристаллическая система в Онлайн-словаре кристаллографии
Семейство кристаллов в Онлайн-словаре кристаллографии
Система решетки в Онлайн-словаре по кристаллографии
Преобразование примитивного в стандартный конвенциональный для входных файлов VASP Архивировано 26.11.2021 на Wayback Machine
Изучение кристаллографии

[1] Флэк, Ховард Д. (2003). «Хиральные и ахиральные кристаллические структуры». Helvetica Chimica Acta . 86 (4): 905–921 . CiteSeerX 10.1.1.537.266 . doi :10.1002/hlca.200390109.

[FOOTNOTEHahn2002804-2] Хан 2002, стр. 804.

[Giacovazzo-3] Джаковаццо, Кармело (10 февраля 2011 г.). Основы кристаллографии (3-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-957366-0.

[ITA-4] Хан, Тео (2005). Международные таблицы по кристаллографии, том A: симметрия пространственных групп (5-е изд.). Таблица 2.1.2.1: Springer.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

[Whittaker-5] Whittaker, EJW (1985). Атлас гиперстереограмм четырехмерных кристаллических классов . Оксфорд : Clarendon Press . ISBN 978-0-19-854432-6. OCLC 638900498.

[Brown-6] Brown, H.; Bülow, R.; Neubüser, J.; Wondratschek, H.; Zassenhaus, H. (1978). Кристаллографические группы четырехмерного пространства . Нью-Йорк : Wiley . ISBN 978-0-471-03095-9. OCLC 939898594.