Одномерная группа симметрии

This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "One-dimensional symmetry group" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2009) (Learn how and when to remove this message)

Одномерная группа симметрии — это математическая группа , описывающая симметрии в одном измерении (1D).

Шаблон в 1D можно представить как функцию f ( x ), например, для цвета в позиции x .

Единственная нетривиальная точечная группа в 1D — это простое отражение . Она может быть представлена ​​простейшей группой Коксетера , A ₁ , [ ], или диаграммой Коксетера-Дынкина .

Группы аффинной симметрии представляют собой трансляцию . Изометрии, которые оставляют функцию неизменной, — это трансляции x + a с a, такие что f ( x + a ) = f ( x ) и отражения a − x с a, такие что f ( a − x ) = f ( x ). Отражения могут быть представлены аффинной группой Коксетера [∞] или диаграммой Коксетера-Дынкина представляющая два отражения, и трансляционную симметрию как [∞] ⁺ , или диаграмму Кокстера-Дынкинакак совокупность двух отражений.

Для рисунка без трансляционной симметрии возможны следующие варианты (одномерные точечные группы ):

• группа симметрии — тривиальная группа (симметрии нет)
• группа симметрии — одна из групп, каждая из которых состоит из тождества и отражения в точке (изоморфна Z ₂ )

Группа	Коксетер		Описание
С 1	[ ] +		Тождество, Тривиальная группа Z 1
Д 1	[ ]		Отражение. Абстрактные группы Z 2 или Dih 1 .

Эти аффинные симметрии можно считать предельными случаями двумерных диэдральных и циклических групп :

Группа	Коксетер		Описание
С ∞	[∞] +		Циклический: ∞-кратные вращения становятся трансляциями. Абстрактная группа Z ∞ , бесконечная циклическая группа .
Д ∞	[∞]		Диэдр: ∞-кратные отражения. Абстрактная группа Dih ∞ , бесконечная диэдральная группа .

Рассмотрим все паттерны в 1D, которые имеют трансляционную симметрию , т. е. функции f ( x ) такие, что для некоторого a > 0, f ( x + a ) = f ( x ) для всех x . Для этих паттернов значения a , для которых выполняется это свойство, образуют группу .

Сначала рассмотрим паттерны, для которых группа дискретна , т.е. для которых положительные значения в группе имеют минимум. Масштабированием мы делаем это минимальное значение равным 1.

Такие узоры делятся на две категории: две одномерные пространственные группы или линейные группы .

В более простом случае единственными изометриями R , которые отображают шаблон на себя, являются переводы; это применимо, например, к шаблону

-- ---- -- --- -- ---- -- ---

Каждая изометрия может быть охарактеризована целым числом, а именно плюсом или минусом расстояния трансляции. Поэтому группа симметрии — Z.

В другом случае среди изометрий R , отображающих узор на себя, имеются также отражения; это применимо, например, к узору

− −−− − − −−− − − −−− −

Мы выбираем начало координат для x в одной из точек отражения. Теперь все отражения, которые отображают шаблон в себя, имеют вид a − x , где константа " a " является целым числом (приращение a снова равно 1, потому что мы можем объединить отражение и перенос, чтобы получить другое отражение, и мы можем объединить два отражения, чтобы получить перенос). Поэтому все изометрии можно охарактеризовать целым числом и кодом, скажем, 0 или 1, для переноса или отражения.

Таким образом:

• ${\displaystyle (a,0):x\mapsto x+a}$
• ${\displaystyle (a,1):x\mapsto a-x}$

Последнее является отражением относительно точки a /2 (целое число или целое число плюс 1/2).

Групповые операции ( функциональная композиция , первая справа) для целых чисел a и b :

• ${\displaystyle (a,0)\circ (b,0)=(a+b,0)}$
• ${\displaystyle (a,0)\circ (b,1)=(a+b,1)}$
• ${\displaystyle (a,1)\circ (b,0)=(a-b,1)}$
• ${\displaystyle (a,1)\circ (b,1)=(a-b,0)}$

Например, в третьем случае: перенос на величину b изменяет x в x + b , отражение относительно 0 дает − x − b , а перенос a дает a − b − x .

Эта группа называется обобщенной диэдральной группой Z , Dih( Z ), а также D _∞ . Она является полупрямым произведением Z и C ₂ . Она имеет нормальную подгруппу индекса 2 , изоморфную Z : переносы. Также она содержит элемент f порядка 2 такой, что для всех n из Z ,   n  f  =  f  n  ⁻¹ : отражение относительно опорной точки (0,1).

Две группы называются решетчатыми группами . Решетка — это Z. В качестве ячейки трансляции можно взять интервал 0 ≤ x < 1. В первом случае фундаментальную область можно взять ту же самую; топологически это окружность (1- тор ); во втором случае можно взять 0 ≤ x ≤ 0,5.

Фактическая дискретная группа симметрии трансляционно-симметричного узора может быть:

• типа группы 1, для любого положительного значения наименьшего расстояния трансляции
• типа группы 2, для любого положительного значения наименьшего расстояния трансляции и любого расположения решетки точек отражения (которая в два раза плотнее решетки трансляции)

Таким образом, набор трансляционно-симметричных узоров можно классифицировать по фактической группе симметрии, в то время как фактические группы симметрии, в свою очередь, можно классифицировать как тип 1 или тип 2.

Эти типы пространственных групп являются группами симметрии «с точностью до сопряженности относительно аффинных преобразований»: аффинное преобразование изменяет расстояние трансляции на стандартное (выше: 1), а положение одной из точек отражения, если применимо, на начало координат. Таким образом, фактическая группа симметрии содержит элементы вида gag ⁻¹ = b , которые являются сопряженными к a .

Для однородного «паттерна» группа симметрии содержит все трансляции и отражения во всех точках. Группа симметрии изоморфна Dih( R ).

Существуют также менее тривиальные шаблоны/функции с трансляционной симметрией для произвольно малых трансляций, например, группа трансляций на рациональные расстояния. Даже помимо масштабирования и сдвига, существует бесконечно много случаев, например, при рассмотрении рациональных чисел, знаменатели которых являются степенями заданного простого числа.

Трансляции образуют группу изометрий. Однако не существует закономерности с этой группой как группой симметрии.

Симметрии функции (в смысле этой статьи) подразумевают соответствующие симметрии ее графика. Однако 2-кратная вращательная симметрия графика не подразумевает никакой симметрии (в смысле этой статьи) функции: значения функции (в шаблоне, представляющем цвета, оттенки серого и т. д.) являются номинальными данными , т. е. серый не находится между черным и белым, все три цвета просто различны.

Даже при использовании номинальных цветов может существовать особый вид симметрии, например:

-------- -- -- --- -- -- --

(отражение дает негативное изображение). Это также не включено в классификацию.

Групповые действия группы симметрии, которые можно рассмотреть в этой связи, следующие:

• на Р
• на множестве действительных функций действительной переменной (каждая из которых представляет собой шаблон)

В этом разделе иллюстрируются концепции групповых действий для таких случаев.

Действие G на X называется

• транзитивным , если для любых двух x , y в X существует g в G, такой что g · x = y ; ни для одного из двух действий группы это не так для любой дискретной группы симметрии
• верным (или эффективным ), если для любых двух различных g , h в G существует x в X, такой что g · x ≠ h · x ; для обоих действий группы это имеет место для любой дискретной группы симметрии (потому что, за исключением тождества, группы симметрии не содержат элементов, которые «ничего не делают»)
• свободным , если для любых двух различных g , h в G и всех x в X имеем g · x ≠ h · x ; это имеет место, если нет отражений
• регулярным (или просто транзитивным ), если он является одновременно транзитивным и свободным; это эквивалентно утверждению, что для любых двух x , y из X существует ровно один g из G, такой что g · x = y .

Рассмотрим группу G, действующую на множестве X. Орбита точки x в X — это множество элементов X , в которое x может быть перемещен элементами G. Орбита x обозначается Gx :

${\displaystyle Gx=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}.}$

Случай, когда групповое действие выполняется на R :

• Для тривиальной группы все орбиты содержат только один элемент; для группы трансляций орбита, например, {..,−9,1,11,21,..}, для отражения, например, {2,4}, а для группы симметрии с трансляциями и отражениями, например, {−8,−6,2,4,12,14,22,24,..} (расстояние трансляции равно 10, точки отражения равны ..,−7,−2,3,8,13,18,23,..). Точки внутри орбиты «эквивалентны». Если группа симметрии применяется к узору, то внутри каждой орбиты цвет одинаков.

Случай, когда групповое действие происходит по шаблонам:

• Орбиты представляют собой наборы шаблонов, содержащих переведенные и/или отраженные версии, «эквивалентные шаблоны». Трансляция шаблона эквивалентна только в том случае, если расстояние трансляции является одним из тех, которые включены в рассматриваемую группу симметрии, и аналогично для зеркального отображения.

Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G.

Если Y является подмножеством X , мы записываем GY для множества { g · y  : y Y и g G }. Мы называем подмножество Y инвариантным относительно G, если GY = Y ( что эквивалентно GY ⊆ Y ). В этом случае G также действует на Y . Подмножество Y называется фиксированным относительно G, если g · y = y для всех g из G и всех y из Y . В примере орбиты {−8,−6,2,4,12,14,22,24,..}, {−9,−8,−6,−5,1,2,4,5,11,12,14,15,21,22,24,25,..} инвариантно относительно G , но не фиксировано. ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \in }$

Для каждого x из X мы определяем стабилизирующую подгруппу x ( также называемую группой изотропии или малой группой ) как множество всех элементов в G , которые фиксируют x :

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.}$

Если x — точка отражения, то ее стабилизатор — это группа второго порядка, содержащая единицу и отражение относительно x . В других случаях стабилизатор — это тривиальная группа.

Для фиксированного x в X рассмотрим отображение из G в X, заданное как . Образ этого отображения — орбита x , а кообраз — множество всех левых смежных классов G _x . Тогда стандартная теорема о факторе теории множеств дает естественную биекцию между и . В частности, биекция задается как . Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты . Если в примере мы возьмем , орбита будет {−7,3,13,23,..}, и две группы изоморфны Z .${\displaystyle g\mid \rightarrow g\cdot x}$${\displaystyle G/G_{x}}$${\displaystyle Gx}$${\displaystyle hG_{x}\mid \rightarrow h\cdot x}$${\displaystyle x=3}$

Если два элемента и принадлежат одной и той же орбите, то их подгруппы стабилизаторов и изоморфны . Точнее: если , то . В примере это применимо, например, для 3 и 23, обеих точек отражения. Отражение относительно 23 соответствует переносу на −20, отражение относительно 3 и переносу на 20.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle G_{y}}$${\displaystyle y=g\cdot x}$${\displaystyle G_{y}=gG_{x}g^{-1}}$

• Линейная группа
• Группа фриза
• Космическая группа
• Группа обоев