Простая группа Ли

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Simple Lie group" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Группы Ли и алгебры Ли
Классические группы Общий линейный GL( n ) Специальный линейный SL( n ) Ортогональный O( n ) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Simple Lie groups Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Other Lie groups Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Lie algebras Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

В математике простая группа Ли — это связная неабелева группа Ли G , не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп . Список простых групп Ли можно использовать для чтения списка простых алгебр Ли и римановых симметрических пространств .

Вместе с коммутативной группой Ли действительных чисел, , и группой комплексных чисел единичной величины, U(1) (единичная окружность), простые группы Ли дают атомарные «блоки», которые составляют все (конечномерные) связные группы Ли посредством операции расширения группы . Многие обычно встречающиеся группы Ли являются либо простыми, либо «близкими» к тому, чтобы быть простыми: например, так называемая « специальная линейная группа » SL( n , ) матриц размера n на n с определителем, равным 1, является простой для всех нечетных n  > 1, когда она изоморфна проективной специальной линейной группе .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Первая классификация простых групп Ли была сделана Вильгельмом Киллингом , и эта работа была позже усовершенствована Эли Картаном . Окончательная классификация часто называется классификацией Киллинга-Картана.

К сожалению, не существует общепринятого определения простой группы Ли. В частности, она не всегда определяется как группа Ли, которая проста как абстрактная группа. Авторы расходятся во мнениях о том, должна ли простая группа Ли быть связной, или о том, допускается ли у нее нетривиальный центр, или о том, является ли простая группа Ли.${\displaystyle \mathbb {R} }$

Наиболее распространенное определение состоит в том, что группа Ли является простой, если она связна, неабелева, и каждая замкнутая связная нормальная подгруппа является либо единицей, либо всей группой. В частности, простым группам разрешено иметь нетривиальный центр, но не является простой.${\displaystyle \mathbb {R} }$

В этой статье перечислены связные простые группы Ли с тривиальным центром. Как только они известны, группы с нетривиальным центром легко перечислить следующим образом. Любая простая группа Ли с тривиальным центром имеет универсальное покрытие , центр которого является фундаментальной группой простой группы Ли. Соответствующие простые группы Ли с нетривиальным центром могут быть получены как факторы этого универсального покрытия по подгруппе центра.

Эквивалентное определение простой группы Ли следует из соответствия Ли : Связная группа Ли проста, если ее алгебра Ли проста . Важным техническим моментом является то, что простая группа Ли может содержать дискретные нормальные подгруппы. По этой причине определение простой группы Ли не эквивалентно определению группы Ли, которая проста как абстрактная группа .

Простые группы Ли включают в себя множество классических групп Ли , которые обеспечивают теоретико-групповую основу для сферической геометрии , проективной геометрии и связанных с ней геометрий в смысле программы Эрлангена Феликса Клейна . В ходе классификации простых групп Ли выяснилось, что существует также несколько исключительных возможностей, не соответствующих ни одной знакомой геометрии. Эти исключительные группы объясняют множество специальных примеров и конфигураций в других разделах математики, а также современной теоретической физике .

В качестве контрпримера, общая линейная группа не является ни простой, ни полупростой . Это происходит потому, что кратные единицы образуют нетривиальную нормальную подгруппу, тем самым избегая определения. Эквивалентно, соответствующая алгебра Ли имеет вырожденную форму Киллинга , потому что кратные единицы отображаются в нулевой элемент алгебры. Таким образом, соответствующая алгебра Ли также не является ни простой, ни полупростой. Другим контрпримером являются специальные ортогональные группы в четной размерности. Они имеют матрицу в центре , и этот элемент связан путями с единичным элементом, и поэтому эти группы избегают определения. Обе они являются редуктивными группами .${\displaystyle -I}$

Алгебра Ли простой группы Ли — это простая алгебра Ли. Это взаимно-однозначное соответствие между связными простыми группами Ли с тривиальным центром и простыми алгебрами Ли размерности больше 1. (Авторы расходятся во мнениях о том, следует ли считать одномерную алгебру Ли простой.)

Над комплексными числами полупростые алгебры Ли классифицируются по их диаграммам Дынкина типов "ABCDEFG". Если L — действительная простая алгебра Ли, ее комплексификация — простая комплексная алгебра Ли, если только L уже не является комплексификацией алгебры Ли, в этом случае комплексификация L — это произведение двух копий L . Это сводит задачу классификации действительных простых алгебр Ли к задаче нахождения всех действительных форм каждой комплексной простой алгебры Ли (т. е. действительных алгебр Ли, комплексификация которых — заданная комплексная алгебра Ли). Всегда существует по крайней мере 2 таких формы: расщепляемая форма и компактная форма, и обычно есть несколько других. Различные действительные формы соответствуют классам автоморфизмов порядка не более 2 комплексной алгебры Ли.

Симметричные пространства классифицируются следующим образом.

Во-первых, универсальная оболочка симметричного пространства по-прежнему симметрична, поэтому мы можем свести ее к случаю односвязных симметричных пространств. (Например, универсальная оболочка вещественной проективной плоскости — это сфера.)

Во-вторых, произведение симметричных пространств симметрично, поэтому мы можем просто классифицировать неприводимые односвязные пространства (где «неприводимые» означает, что их нельзя записать в виде произведения меньших симметричных пространств).

Неприводимые односвязные симметрические пространства — это вещественная прямая и ровно два симметрических пространства, соответствующих каждой некомпактной простой группе Ли G , одно компактное и одно некомпактное. Некомпактное — это покрытие фактора G по максимальной компактной подгруппе H , а компактное — это покрытие фактора компактной формы G по той же подгруппе H. Эта двойственность между компактными и некомпактными симметрическими пространствами является обобщением хорошо известной двойственности между сферической и гиперболической геометрией.

Симметричное пространство с совместимой комплексной структурой называется эрмитовым. Компактные односвязные неприводимые эрмитовы симметричные пространства распадаются на 4 бесконечных семейства с двумя исключительными оставшимися, и каждое имеет некомпактное сопряженное. Кроме того, комплексная плоскость также является эрмитовым симметричным пространством; это дает полный список неприводимых эрмитовых симметричных пространств.

Четыре семейства — это типы A III, B I и D I для p = 2 , D III и C I, а два исключительных — это типы E III и E VII комплексных размерностей 16 и 27.

${\displaystyle \mathbb {R,C,H,O} }$  обозначают действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы .

В символах типа E ₆ ⁻²⁶ для исключительных групп показатель −26 является сигнатурой инвариантной симметричной билинейной формы, которая отрицательно определена на максимальной компактной подгруппе. Она равна размерности группы минус удвоенная размерность максимальной компактной подгруппы.

Фундаментальная группа, указанная в таблице ниже, является фундаментальной группой простой группы с тривиальным центром. Другие простые группы с той же алгеброй Ли соответствуют подгруппам этой фундаментальной группы (по модулю действия группы внешних автоморфизмов).

Простые группы Ли полностью классифицированы. Классификация обычно излагается в несколько этапов, а именно:

• Классификация простых комплексных алгебр Ли. Классификация простых алгебр Ли над комплексными числами по диаграммам Дынкина .
• Классификация простых действительных алгебр Ли Каждая простая комплексная алгебра Ли имеет несколько действительных форм , классифицируемых дополнительными украшениями ее диаграммы Дынкина, называемыми диаграммами Сатаке , в честь Итиро Сатаке .
• Классификация простых групп Ли без центра Для каждой (действительной или комплексной) простой алгебры Ли существует единственная простая группа Ли «без центра» , алгебра Ли которой имеет вид и которая имеет тривиальный центр .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Классификация простых групп Ли

Можно показать, что фундаментальная группа любой группы Ли является дискретной коммутативной группой . Если задана (нетривиальная) подгруппа фундаментальной группы некоторой группы Ли , можно использовать теорию покрывающих пространств для построения новой группы с в ее центре. Теперь любая (действительная или комплексная) группа Ли может быть получена путем применения этой конструкции к группам Ли без центра. Обратите внимание, что действительные группы Ли, полученные таким образом, могут не быть действительными формами какой-либо комплексной группы. Очень важным примером такой действительной группы является метаплектическая группа , которая появляется в теории бесконечномерных представлений и физике. Если взять для полной фундаментальной группы, то полученная группа Ли является универсальным покрытием группы Ли без центра и является односвязной. В частности, каждая (действительная или комплексная) алгебра Ли также соответствует уникальной связной и односвязной группе Ли с этой алгеброй Ли, называемой «односвязной группой Ли», связанной с${\displaystyle K\subset \pi _{1}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}^{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subset \pi _{1}(G)}$${\displaystyle {\tilde {G}}^{K=\pi _{1}(G)}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

Каждая простая комплексная алгебра Ли имеет уникальную вещественную форму, соответствующая бесцентровая группа Ли которой компактна . Оказывается, что односвязная группа Ли в этих случаях также компактна. Компактные группы Ли имеют особенно послушную теорию представлений благодаря теореме Петера–Вейля . Так же, как и простые комплексные алгебры Ли, бесцентровые компактные группы Ли классифицируются диаграммами Дынкина (впервые классифицированными Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном ).

Для бесконечной серии (A, B, C, D) диаграмм Дынкина связная компактная группа Ли, связанная с каждой диаграммой Дынкина, может быть явно описана как матричная группа, с соответствующей бесцентровой компактной группой Ли, описанной как фактор по подгруппе скалярных матриц. Для матриц типа A и C мы можем найти явные матричные представления соответствующей односвязной группы Ли как матричных групп.

Ar имеет в качестве ассоциированной односвязной компактной группы специальную унитарную группу SU ₍ r + 1) и в качестве ассоциированной бесцентровой компактной группы проективную унитарную группу PU( r + 1) .

B _r имеет в качестве своих связанных бесцентровых компактных групп нечетные специальные ортогональные группы , SO(2 r + 1) . Однако эта группа не является односвязной: ее универсальным (двойным) покрытием является спиновая группа .

C _r имеет в качестве ассоциированной односвязной группы группу унитарных симплектических матриц Sp ( r ) и в качестве ассоциированной бесцентровой группы группу Ли PSp( r ) = Sp( r )/{I, −I} проективных унитарных симплектических матриц. Симплектические группы имеют двойное покрытие метаплектической группой .

D _r имеет в качестве своей ассоциированной компактной группы четные специальные ортогональные группы SO(2 r ) и в качестве своей ассоциированной бесцентровой компактной группы проективную специальную ортогональную группу PSO(2 r ) = SO(2 r )/{I, −I}. Как и в случае с серией B, SO(2 r ) не является односвязной; ее универсальным покрытием снова является спиновая группа , но последняя снова имеет центр (ср. ее статью).

Диаграмма D ₂ представляет собой два изолированных узла, то же самое, что и A ₁ ∪ A ₁ , и это совпадение соответствует гомоморфизму накрывающего отображения из SU(2) × SU(2) в SO(4), заданному умножением кватернионов ; см. кватернионы и пространственное вращение . Таким образом, SO(4) не является простой группой. Кроме того, диаграмма D ₃ совпадает с A ₃ , что соответствует гомоморфизму накрывающего отображения из SU(4) в SO(6).

В дополнение к четырем семействам A _i , B _i , C _i и D _i выше, существует пять так называемых исключительных диаграмм Дынкина G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ и E ₈ ; эти исключительные диаграммы Дынкина также имеют связанные односвязные и бесцентровые компактные группы. Однако группы, связанные с исключительными семействами, сложнее описать, чем те, которые связаны с бесконечными семействами, в основном потому, что их описания используют исключительные объекты . Например, группа, связанная с G _{2 ,} является группой автоморфизмов октонионов , а группа, связанная с F _{4 ,} является группой автоморфизмов определенной алгебры Альберта .

См. также E _{7 + 1 ⁄ 2} .

	Измерение	Группа внешних автоморфизмов	Размерность симметричного пространства	Симметричное пространство	Замечания
${\displaystyle \mathbb {R} }$(Абелев)	1	${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$	1	${\displaystyle \mathbb {R} }$	†

^† Группане является «простой» как абстрактная группа, и согласно большинству (но не всем) определений это не простая группа Ли. Кроме того, большинство авторов не считают ее алгебру Ли простой алгеброй Ли. Она перечислена здесь, чтобы список «неприводимых односвязных симметрических пространств» был полным. Обратите внимание, чтоэто единственное такое некомпактное симметрическое пространство без компактного сопряженного (хотя у него есть компактный фактор S ¹ ).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

В следующей таблице перечислены некоторые группы Ли с простыми алгебрами Ли малой размерности. Группы на данной прямой имеют одну и ту же алгебру Ли. В случае размерности 1 группы абелевы и не простые.

Тусклый	Группы		Симметричное пространство	Компактный двойной	Классифицировать	Тусклый
1	ℝ, S 1 = U(1) = SO 2 (ℝ) = Спин(2)	Абелевский	Реальная линия		0	1
3	S 3 = Sp(1) = SU(2)=Спин(3), SO 3 (ℝ) = PSU(2)	Компактный
3	SL 2 (ℝ) = Sp 2 (ℝ), SO 2,1 (ℝ)	Разделение, эрмитово, гиперболическое	Гиперболическая плоскость${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$	Сфера S 2	1	2
6	SL2 (ℂ) = Sp2 ( ℂ), SO3,1 ( ℝ), SO3 ( ℂ )	Сложный	Гиперболическое пространство${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$	Сфера S 3	1	3
8	СЛ 3 (ℝ)	Расколоть	Евклидовы структуры на${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	Реальные структуры на${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	2	5
8	СУ(3)	Компактный
8	СУ(1,2)	Эрмитов, квазирасщепленный, кватернионный	Комплексная гиперболическая плоскость	Комплексная проективная плоскость	1	4
10	Sp(2) = Спин(5), SO 5 (ℝ)	Компактный
10	SO 4,1 (ℝ), Sp 2,2 (ℝ)	Гиперболический, кватернионный	Гиперболическое пространство${\displaystyle \mathbb {H} ^{4}}$	Сфера S 4	1	4
10	SO 3,2 (ℝ), Sp 4 (ℝ)	Сплит, эрмитовский	Верхнее полупространство Сигела	Сложные структуры на${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$	2	6
14	Г 2	Компактный
14	Г 2	Разделенный, кватернионный	Неделимые кватернионные подалгебры неделимых октонионов	Кватернионные подалгебры октонионов	2	8
15	SU(4) = Спин(6), SO 6 (ℝ)	Компактный
15	SL 4 (ℝ), SO 3,3 (ℝ)	Расколоть	ℝ 3 в ℝ 3,3	Грассманиан G (3,3)	3	9
15	СУ(3,1)	Эрмитов	Комплексное гиперболическое пространство	Комплексное проективное пространство	1	6
15	СУ(2,2), СО 4,2 (ℝ)	Эрмитов, квазирасщепленный, кватернионный	ℝ 2 в ℝ 2,4	Грассманиан G (2,4)	2	8
15	SL 2 (ℍ), SO 5,1 (ℝ)	Гиперболический	Гиперболическое пространство${\displaystyle \mathbb {H} ^{5}}$	Сфера S 5	1	5
16	СЛ 3 (ℂ)	Сложный		СУ(3)	2	8
20	SO 5 (ℂ), Sp 4 (ℂ)	Сложный		Вращение 5 (ℝ)	2	10
21	SO 7 (ℝ)	Компактный
21	SO 6,1 (ℝ)	Гиперболический	Гиперболическое пространство${\displaystyle \mathbb {H} ^{6}}$	Сфера S 6
21	SO 5,2 (ℝ)	Эрмитов
21	SO4,3 ( ℝ)	Разделенный, кватернионный
21	Сп(3)	Компактный
21	Sp 6 (ℝ)	Разделенный, отшельник
21	Sp 4,2 (ℝ)	Кватернионный
24	СУ(5)	Компактный
24	СЛ 5 (ℝ)	Расколоть
24	СУ 4,1	Эрмитов
24	СУ 3,2	Эрмитов, кватернионный
28	SO 8 (ℝ)	Компактный
28	SO 7,1 (ℝ)	Гиперболический	Гиперболическое пространство${\displaystyle \mathbb {H} ^{7}}$	Сфера S 7
28	SO 6,2 (ℝ)	Эрмитов
28	SO 5,3 (ℝ)	Квази-сплит
28	SO4,4 ( ℝ)	Разделенный, кватернионный
28	SO ∗ 8 (ℝ)	Эрмитов
28	Г 2 (ℂ)	Сложный
30	СЛ 4 (ℂ)	Сложный

Простая кружевная группа — это группа Ли, диаграмма Дынкина которой содержит только простые связи, и поэтому все ненулевые корни соответствующей алгебры Ли имеют одинаковую длину. Группы серий A, D и E все просто кружевные, но ни одна группа типа B, C, F или G не является просто кружевной.

• матрица Картана
• матрица Кокстера
• Группа Вейля
• Группа Коксетера
• Алгебра Каца–Муди
• Теория катастроф
• Таблица групп Ли
• Классификация маломерных вещественных алгебр Ли

• Якобсон, Натан (1971). Исключительные алгебры Ли . CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (2004). Теория представлений: Первый курс . Springer. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-1-4612-0979-9.

• Бесс, многообразия Эйнштейна ISBN 0-387-15279-2 
• Хельгасон, Дифференциальная геометрия, Группы Ли и симметричные пространства . ISBN 0-8218-2848-7 
• Фукс и Швайгерт, Симметрии, алгебры Ли и представления: аспирантский курс для физиков. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0