Список математических операторов

В математике оператор или преобразование — это функция из одного пространства функций в другое. Операторы часто встречаются в инженерии , физике и математике. Многие из них являются интегральными операторами и дифференциальными операторами .

В дальнейшем L — оператор

${\displaystyle L:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$

которая переводит функцию в другую функцию . Здесь и — некоторые неопределенные функциональные пространства , такие как пространство Харди , пространство L ^p , пространство Соболева или, более неопределенно, пространство голоморфных функций .${\displaystyle y\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle L[y]\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Выражение	Определение кривой	Переменные	Описание
Линейные преобразования
${\displaystyle L[y]=y^{(n)}}$			Производная n- го порядка
${\displaystyle L[y]=\int _{a}^{t}y\,dt}$	Декартов	${\displaystyle у=у(х)}$ ${\displaystyle x=t}$	Интеграл, площадь
${\displaystyle L[y]=y\circ f}$			Оператор композиции
${\displaystyle L[y]={\frac {y\circ t+y\circ -t}{2}}}$			Четный компонент
${\displaystyle L[y]={\frac {y\circ ty\circ -t}{2}}}$			Нечетный компонент
${\displaystyle L[y]=y\circ (t+1)-y\circ t=\Delta y}$			Оператор разности
${\displaystyle L[y]=y\circ (t)-y\circ (t-1)=\nabla y}$			Обратная разность (оператор Набла)
${\displaystyle L[y]=\sum y=\Delta ^{-1}y}$			Оператор неопределенной суммы (оператор обратный разности)
${\displaystyle L[y]=-(py')'+qy}$			Оператор Штурма–Лиувилля
Нелинейные преобразования
${\displaystyle F[y]=y^{[-1]}}$			Обратная функция
${\displaystyle F[y]=t\,y'^{[-1]}-y\circ y'^{[-1]}}$			преобразование Лежандра
${\displaystyle F[y]=f\circ y}$			Левая композиция
${\displaystyle F[y]=\prod y}$			Неопределенный продукт
${\displaystyle F[y]={\frac {y'}{y}}}$			Логарифмическая производная
${\displaystyle F[y]={\frac {ty'}{y}}}$			Эластичность
${\displaystyle F[y]={y''' \over y'}-{3 \over 2}\left({y'' \over y'}\right)^{2}}$			производная Шварца
${\displaystyle F[y]=\int _{a}^{t}|y'|\,dt}$			Общая вариация
${\displaystyle F[y]={\frac {1}{t-a}}\int _{a}^{t}y\,dt}$			Среднее арифметическое
${\displaystyle F[y]=\exp \left({\frac {1}{t-a}}\int _{a}^{t}\ln y\,dt\right)}$			Геометрическое среднее
${\displaystyle F[y]=-{\frac {y}{y'}}}$	Декартов	${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle x=t}$	Подкасательная
${\displaystyle F[x,y]=-{\frac {yx'}{y'}}}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$
${\displaystyle F[r]=-{\frac {r^{2}}{r'}}}$	Полярный	${\displaystyle r=r(\phi )}$ ${\displaystyle \phi =t}$
${\displaystyle F[r]={\frac {1}{2}}\int _{a}^{t}r^{2}dt}$	Полярный	${\displaystyle r=r(\phi )}$ ${\displaystyle \phi =t}$	Секторная площадь
${\displaystyle F[y]=\int _{a}^{t}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dt}$	Декартов	${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle x=t}$	Длина дуги
${\displaystyle F[x,y]=\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$
${\displaystyle F[r]=\int _{a}^{t}{\sqrt {r^{2}+r'^{2}}}\,dt}$	Полярный	${\displaystyle r=r(\phi )}$ ${\displaystyle \phi =t}$
${\displaystyle F[y]=\int _{a}^{t}{\sqrt[{3}]{y''}}\,dt}$	Декартов	${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle x=t}$	Длина аффинной дуги
${\displaystyle F[x,y]=\int _{a}^{t}{\sqrt[{3}]{x'y''-x''y'}}\,dt}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$
${\displaystyle F[x,y,z]=\int _{a}^{t}{\sqrt[{3}]{z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}}dt}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$ ${\displaystyle z=z(t)}$
${\displaystyle F[y]={\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}}$	Декартов	${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle x=t}$	Кривизна
${\displaystyle F[x,y]={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$
${\displaystyle F[r]={\frac {r^{2}+2r'^{2}-rr''}{(r^{2}+r'^{2})^{3/2}}}}$	Полярный	${\displaystyle r=r(\phi )}$ ${\displaystyle \phi =t}$
${\displaystyle F[x,y,z]={\frac {\sqrt {(z''y'-z'y'')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$ ${\displaystyle z=z(t)}$
${\displaystyle F[y]={\frac {1}{3}}{\frac {y''''}{(y'')^{5/3}}}-{\frac {5}{9}}{\frac {y'''^{2}}{(y'')^{8/3}}}}$	Декартов	${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle x=t}$	Аффинная кривизна
${\displaystyle F[x,y]={\frac {x''y'''-x'''y''}{(x'y''-x''y')^{5/3}}}-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{(x'y''-x''y')^{2/3}}}\right]''}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$
${\displaystyle F[x,y,z]={\frac {z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2})}}}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$ ${\displaystyle z=z(t)}$	Кручение кривых
${\displaystyle X[x,y]={\frac {y'}{yx'-xy'}}}$ ${\displaystyle Y[x,y]={\frac {x'}{xy'-yx'}}}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$	Двойная кривая (касательные координаты)
${\displaystyle X[x,y]=x+{\frac {ay'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$ ${\displaystyle Y[x,y]=y-{\frac {ax'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$	Параллельная кривая
${\displaystyle X[x,y]=x+y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x''y'-y''x'}}}$ ${\displaystyle Y[x,y]=y+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{y''x'-x''y'}}}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$	Эволюция
${\displaystyle F[r]=t(r'\circ r^{[-1]})}$	Внутренний	${\displaystyle r=r(s)}$ ${\displaystyle s=t}$
${\displaystyle X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$ ${\displaystyle Y[x,y]=y-{\frac {y'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$	Эвольвента
${\displaystyle X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$ ${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$	Кривая педали с точкой педали (0;0)
${\displaystyle X[x,y]={\frac {(x'^{2}-y'^{2})y'+2xyx'}{xy'-yx'}}}$ ${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(x'^{2}-y'^{2})x'+2xyy'}{xy'-yx'}}}$	Параметрический декартов	${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle y=y(t)}$	Отрицательная кривая педали с точкой педали (0;0)
${\displaystyle X[y]=\int _{a}^{t}\cos \left[\int _{a}^{t}{\frac {1}{y}}\,dt\right]dt}$ ${\displaystyle Y[y]=\int _{a}^{t}\sin \left[\int _{a}^{t}{\frac {1}{y}}\,dt\right]dt}$	Внутренний	${\displaystyle y=r(s)}$ ${\displaystyle s=t}$	Внутренне декартово преобразование
Метрические функционалы
${\displaystyle F[y]=\|y\|={\sqrt {\int _{E}y^{2}\,dt}}}$			Норма
${\displaystyle F[x,y]=\int _{E}xy\,dt}$			Внутренний продукт
${\displaystyle F[x,y]=\arccos \left[{\frac {\int _{E}xy\,dt}{{\sqrt {\int _{E}x^{2}\,dt}}{\sqrt {\int _{E}y^{2}\,dt}}}}\right]}$			Метрика Фубини–Студи (внутренний угол)
Распределение функционалов
${\displaystyle F[x,y]=x*y=\int _{E}x(s)y(t-s)\,ds}$			Свертка
${\displaystyle F[y]=\int _{E}y\ln y\,dt}$			Дифференциальная энтропия
${\displaystyle F[y]=\int _{E}yt\,dt}$			Ожидаемое значение
${\displaystyle F[y]=\int _{E}\left(t-\int _{E}yt\,dt\right)^{2}y\,dt}$			Дисперсия

• Список преобразований
• Список преобразований Фурье
• Оператор трансфера
• оператор Фредгольма
• преобразование Бореля
• Словарь математических символов