Аффинная кривизна

Специальная аффинная кривизна , также известная как эквиаффинная кривизна или аффинная кривизна , является особым типом кривизны , которая определена на плоской кривой , которая остается неизменной при специальном аффинном преобразовании ( аффинном преобразовании , которое сохраняет площадь ). Кривые постоянной эквиаффинной кривизны k являются в точности всеми неособыми плоскими кониками . Те , у которых k > 0 , являются эллипсами , те , у которых k = 0 , являются параболами , а те , у которых k < 0 , являются гиперболами .

Обычная евклидова кривизна кривой в точке — это кривизна ее соприкасающейся окружности , единственной окружности, образующей контакт второго порядка (имеющей три точки контакта) с кривой в точке. Точно так же, специальная аффинная кривизна кривой в точке P — это специальная аффинная кривизна ее гиперсоприкасающейся коники , которая является единственной коникой, образующей контакт четвертого порядка (имеющей пять точек контакта) с кривой в P. Другими словами, это предельное положение (единственной) коники через P и четыре точки P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄ на кривой, когда каждая из точек приближается к P :

${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}\to P.}$

В некоторых контекстах аффинная кривизна относится к дифференциальному инварианту κ общей аффинной группы , который может быть легко получен из специальной аффинной кривизны k с помощью κ = k ^{− ⁠3/2⁠} ⁠дк/дс⁠ , где s — специальная аффинная длина дуги. Когда общая аффинная группа не используется, специальная аффинная кривизна k иногда также называется аффинной кривизной. ^[1]

Чтобы определить специальную аффинную кривизну, необходимо сначала определить специальную аффинную длину дуги (также называемую эквиаффинной длиной дуги ). Рассмотрим аффинную плоскую кривую β ( t ) . Выберем координаты для аффинной плоскости так, чтобы площадь параллелограмма, натянутого на два векторы a = ( a ₁ , a ₂ ) и b = ( b ₁ , b ₂ ) , задавалась определителем

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.}$

В частности, определитель

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{dt}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}\end{bmatrix}}}$

является хорошо определенным инвариантом специальной аффинной группы и дает площадь параллелограмма, натянутого на скорость и ускорение кривой β . Рассмотрим репараметризацию кривой β , скажем, с новым параметром s, связанным с t посредством регулярной репараметризации s = s ( t ) . Этот определитель затем подвергается преобразованию следующего вида по правилу цепочки :

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{dt}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}\end{bmatrix}}&=\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{ds}}{\dfrac {ds}{dt}}&\left({\dfrac {d^{2}\beta }{ds^{2}}}\left({\dfrac {ds}{dt}}\right)^{2}+{\dfrac {d\beta }{ds}}{\dfrac {d^{2}s}{dt^{2}}}\right)\end{bmatrix}}\\&=\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{3}\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{ds}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{ds^{2}}}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Репараметризацию можно выбрать таким образом, чтобы

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{ds}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{ds^{2}}}\end{bmatrix}}=1}$

при условии скорости и ускорения, ⁠дβ/дт⁠ и ⁠д ² β/дт ²⁠ линейно независимы .Существование и единственность такой параметризации следует из интегрирования:

${\displaystyle s(t)=\int _{a}^{t}{\sqrt[{3}]{\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{dt}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}\end{bmatrix}}}}\,\,dt.}$

Этот интеграл называется специальной аффинной длиной дуги , а кривая, несущая эту параметризацию, называется параметризованной относительно своей специальной аффинной длины дуги.

Предположим, что β ( s ) — это кривая, параметризованная с помощью ее специальной аффинной длины дуги. Тогда специальная аффинная кривизна (или эквиаффинная кривизна ) задается как

${\displaystyle k(s)=\det {\begin{bmatrix}\beta ''(s)&\beta '''(s)\end{bmatrix}}.}$

Здесь β ′ обозначает производную β по s .

В более общем смысле, ^{[2] [3]} для плоской кривой с произвольной параметризацией

${\displaystyle t\mapsto {\bigl (}x(t),y(t){\bigr )},}$

специальная аффинная кривизна равна:

${\displaystyle {\begin{aligned}k(t)&={\frac {x''y'''-x'''y''}{\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {2}{3}}}}\right)''\\[6px]&={\frac {4\left(x''y'''-x'''y''\right)+\left(x'y''''-x''''y'\right)}{3\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(x'y'''-x'''y'\right)^{2}}{9\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {8}{3}}}}\end{aligned}}}$

при условии, что первая и вторая производные кривой линейно независимы. В частном случае графика y = y ( x ) эти формулы сводятся к

${\displaystyle k=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\left(y''\right)^{\frac {2}{3}}}}\right)''={\frac {y''''}{3\left(y''\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(y'''\right)^{2}}{9\left(y''\right)^{\frac {8}{3}}}}}$

где штрих обозначает дифференциацию по x . ^{[3] [4]}

Предположим, как и выше, что β ( s ) — это кривая, параметризованная специальной аффинной длиной дуги. Существует пара инвариантов кривой, которые инвариантны относительно полной общей аффинной группы ^[1]  — группы всех аффинных движений плоскости, а не только тех, которые сохраняют площадь. Первый из них —

${\displaystyle \sigma =\int {\sqrt {k(s)}}\,ds,}$

иногда называется аффинной длиной дуги (хотя это рискует быть спутанным со специальной аффинной длиной дуги, описанной выше). Второе называется аффинной кривизной :

${\displaystyle \kappa =k^{-{\frac {3}{2}}}{\frac {dk}{ds}}.}$

Предположим, что β ( s ) — кривая, параметризованная специальной аффинной длиной дуги с постоянной аффинной кривизной k . Пусть

${\displaystyle C_{\beta }(s)={\begin{bmatrix}\beta '(s)&\beta ''(s)\end{bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что det( C _β ) = 1, поскольку предполагается, что β несет специальную аффинную параметризацию длины дуги, и что

${\displaystyle k=\det \left(C_{\beta }'\right).\,}$

Из вида C _β следует, что

${\displaystyle C_{\beta }'=C_{\beta }{\begin{bmatrix}0&-k\\1&0\end{bmatrix}}.}$

Применив подходящее специальное аффинное преобразование, мы можем сделать так, чтобы C _β (0) = I была единичной матрицей. Поскольку k является константой, то отсюда следует, что C _β задается матричной экспонентой

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\beta }(s)&=\exp \left\{s\cdot {\begin{bmatrix}0&-k\\1&0\end{bmatrix}}\right\}\\&={\begin{bmatrix}\cos {\sqrt {k}}\,s&{\sqrt {k}}\sin {\sqrt {k}}\,s\\-{\frac {1}{\sqrt {k}}}\sin {\sqrt {k}}\,s&\cos {\sqrt {k}}\,s\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Теперь эти три случая выглядят следующим образом.

к = 0

Если кривизна тождественно исчезает, то при переходе к пределу

${\displaystyle C_{\beta }(s)={\begin{bmatrix}1&0\\s&1\end{bmatrix}}}$

поэтому β ′( s ) = (1, s ) , и поэтому интегрирование дает

${\displaystyle \beta (s)=\left(s,{\frac {s^{2}}{2}}\right)\,}$

вплоть до общего постоянного переноса, который является специальной аффинной параметризацией параболы y = ⁠х ²/2⁠ .

к > 0

Если специальная аффинная кривизна положительна, то отсюда следует, что

${\displaystyle \beta '(s)=\left(\cos {\sqrt {k}}\,s,{\frac {1}{\sqrt {k}}}\sin {\sqrt {k}}\,s\right)}$

так что

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {1}{\sqrt {k}}}\sin {\sqrt {k}}\,s,-{\frac {1}{k}}\cos {\sqrt {k}}\,s\right)}$

с точностью до переноса, который является специальной аффинной параметризацией эллипса kx ² + k ² y ² = 1 .

к < 0

Если k отрицательно, то тригонометрические функции в C _β уступают место гиперболическим функциям :

${\displaystyle C_{\beta }(s)={\begin{bmatrix}\cosh {\sqrt {|k|}}\,s&{\sqrt {|k|}}\sinh {\sqrt {|k|}}\,s\\{\frac {1}{\sqrt {|k|}}}\sinh {\sqrt {|k|}}\,s&\cosh {\sqrt {|k|}}\,s\end{bmatrix}}.}$

Таким образом

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {1}{\sqrt {|k|}}}\sinh {\sqrt {|k|}}\,s,{\frac {1}{|k|}}\cosh {\sqrt {|k|}}\,s\right)}$

с точностью до переноса, который является специальной аффинной параметризацией гиперболы

${\displaystyle -|k|x^{2}+|k|^{2}y^{2}=1.}$

Специальная аффинная кривизна погруженной кривой является единственным (локальным) инвариантом кривой в следующем смысле:

• Если две кривые имеют одинаковую специальную аффинную кривизну в каждой точке, то одна кривая получается из другой с помощью специального аффинного преобразования.

На самом деле, справедливо и несколько более сильное утверждение:

• Для любой заданной непрерывной функции k  : [ a , b ] → R существует кривая β , первая и вторая производные которой линейно независимы, такая, что специальная аффинная кривизна β относительно специальной аффинной параметризации равна заданной функции k . Кривая β определяется однозначно с точностью до специального аффинного преобразования.

Это аналогично фундаментальной теореме кривых в классической евклидовой дифференциальной геометрии кривых , в которой полная классификация плоских кривых вплоть до евклидова движения зависит от единственной функции κ , кривизны кривой. Это следует по существу из применения теоремы Пикара–Линделёфа к системе

${\displaystyle C_{\beta }'=C_{\beta }{\begin{bmatrix}0&-k\\1&0\end{bmatrix}}}$

где C _β = [ β ′ β ″] . Альтернативный подход, основанный на теории движущихся систем отсчета , заключается в применении существования примитива для производной Дарбу .

Специальная аффинная кривизна может быть выведена явно с помощью методов теории инвариантов . Для простоты предположим, что аффинная плоская кривая задана в виде графика y = y ( x ) . Специальная аффинная группа действует на декартовой плоскости посредством преобразований вида

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto ax+by+\alpha \\y&\mapsto cx+dy+\beta ,\end{aligned}}}$

с ad − bc = 1. Следующие векторные поля охватывают алгебру Ли бесконечно малых генераторов специальной аффинной группы:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&=\partial _{x},&\quad T_{2}&=\partial _{y}\\X_{1}&=x\partial _{y},&\quad X_{2}&=y\partial _{x},&H&=x\partial _{x}-y\partial _{y}.\end{aligned}}}$

Аффинное преобразование действует не только на точки, но и на касательные к графикам вида y = y ( x ) . То есть, существует действие специальной аффинной группы на тройках координат ( x , y , y ′) . Действие группы порождается векторными полями

${\displaystyle T_{1}^{(1)},T_{2}^{(1)},X_{1}^{(1)},X_{2}^{(1)},H^{(1)}}$

определенные на пространстве трех переменных ( x , y , y ′) . Эти векторные поля могут быть определены следующими двумя требованиями:

• При проекции на плоскость xy они должны проецироваться на соответствующие исходные генераторы действия T ₁ , T ₂ , X ₁ , X ₂ , H соответственно.
• Векторы должны сохранять в масштабе контактную структуру струйного пространства.

${\displaystyle \theta _{1}=dy-y'\,dx.}$

Конкретно это означает, что генераторы X ⁽¹⁾ должны удовлетворять

${\displaystyle L_{X^{(1)}}\theta _{1}\equiv 0{\pmod {\theta _{1}}}}$

где L — производная Ли .

Аналогично действие группы можно распространить на пространство любого числа производных ( x , y , y ′, y ″,…, y ^{( k )} ) .

Продолженные векторные поля, генерирующие действие специальной аффинной группы, должны тогда индуктивно удовлетворять для каждого генератора X ∈ { T ₁ , T ₂ , X ₁ , X ₂ , H } :

• Проекция X ^{( k )} на пространство переменных ( x , y , y ′,…, y ^{( k −1)} ) есть X ^{( k −1)} .
• X ^{( k )} сохраняет контактный идеал:

${\displaystyle L_{X^{(k)}}\theta _{k}\equiv 0{\pmod {\theta _{1},\dots ,\theta _{k}}}}$

где

${\displaystyle \theta _{i}=dy^{(i-1)}-y^{(i)}dx.}$

Проведение индуктивного построения до 4-го порядка дает

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}^{(4)}&=\partial _{x},\qquad T_{2}^{(4)}=\partial _{y}\\X_{1}^{(4)}&=x\partial _{y}+\partial _{y'}\\X_{2}^{(4)}&=y\partial _{x}-y'^{2}\partial _{y'}-3y'y''\partial _{y''}-\left(3y''^{2}+4y'y'''\right)\partial _{y'''}-{\bigl (}10y''y'''+5y'y''''{\bigr )}\partial _{y''''}\\H^{(4)}&=x\partial _{x}-y\partial _{y}-2y'\partial _{y'}-3y''\partial _{y''}-4y'''\partial _{y'''}-5y''''\partial _{y''''}.\end{aligned}}}$

Специальная аффинная кривизна

${\displaystyle k={\frac {y''''}{3\left(y''\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(y'''\right)^{2}}{9\left(y''\right)^{\frac {8}{3}}}}}$

не зависит явно от x , y или y ′ и поэтому удовлетворяет

${\displaystyle T_{1}^{(4)}k=T_{2}^{(4)}k=X_{1}^{(4)}k=0.}$

Вектор поля H действует диагонально как модифицированный оператор однородности, и легко проверить, что H ⁽⁴⁾ k = 0. Наконец,

${\displaystyle X_{2}^{(4)}k={\tfrac {1}{2}}\left[H,X_{1}\right]^{(4)}k={\tfrac {1}{2}}\left[H^{(4)},X_{1}^{(4)}\right]k=0.}$

Пять векторных полей

${\displaystyle T_{1}^{(4)},T_{2}^{(4)},X_{1}^{(4)},X_{2}^{(4)},H^{(4)}}$

образуют инволютивное распределение на (открытом подмножестве) R ⁶ так, что по теореме интегрирования Фробениуса они локально интегрируются, давая слоение R ⁶ пятимерными листами. Конкретно, каждый лист является локальной орбитой специальной аффинной группы. Функция k параметризует эти листы.

Криволинейные двумерные движения человека при рисовании, как правило, следуют эквиаффинной параметризации. ^[5] Это более известно как закон двух третей степени , согласно которому скорость руки пропорциональна евклидовой кривизне, возведенной в степень минус треть. ^[6] А именно,

${\displaystyle v=\gamma \kappa ^{-{\frac {1}{3}}},}$

где v — скорость руки, κ — евклидова кривизна, а γ — константа, называемая коэффициентом усиления скорости.

• Аффинная геометрия кривых
• Аффинная сфера

• Блашке, Вильгельм (1923), Affine Differentialgeometrie , Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie (на немецком языке), vol. II, Берлин: Springer-Verlag OHG
• Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-63433-3
• Широков, А.П. (2001а) [1994], "Аффинная кривизна", Энциклопедия математики , EMS Press
• Широков, А.П. (2001б) [1994], "Аффинная дифференциальная геометрия", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (том 2) , Хьюстон, Техас: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3