Список длинных математических доказательств

Это список необычно длинных математических доказательств . Такие доказательства часто используют методы вычислительного доказательства и могут считаться необозримыми .

По состоянию на 2011 год ^{[обновлять]}самым длинным математическим доказательством, измеренным по количеству опубликованных журнальных страниц, является классификация конечных простых групп, имеющая более 10000 страниц. Существует несколько доказательств, которые были бы намного длиннее, если бы детали компьютерных вычислений, от которых они зависят, были опубликованы полностью.

Длина необычно длинных доказательств увеличивалась со временем. Как грубое эмпирическое правило, 100 страниц в 1900 году, или 200 страниц в 1950 году, или 500 страниц в 2000 году — это необычно долго для доказательства.

• 1799 Теорема Абеля–Руффини была почти доказана Паоло Руффини , но его доказательство, занимающее 500 страниц, было по большей части проигнорировано, и позднее, в 1824 году, Нильс Хенрик Абель опубликовал доказательство, которое заняло всего шесть страниц.
• 1890 Классификация Киллингом простых комплексных алгебр Ли, включая его открытие исключительных алгебр Ли , заняла 180 страниц в 4 статьях.
• 1894 Построение многоугольника с 65537 сторонами с помощью линейки и циркуля, выполненное Иоганном Густавом Гермесом, заняло более 200 страниц.
• 1905 г. Первоначальное доказательство теоремы Ласкера–Нётер, составленное Эмануэлем Ласкером , занимало 98 страниц, но с тех пор было упрощено: современные доказательства занимают меньше страницы.
• Теорема нечетного порядка 1963 года Фейта и Томпсона имела объем 255 страниц, что на тот момент было в 10 раз больше, чем то, что ранее считалось длинной статьей по теории групп.
• 1964 Разрешение сингулярностей . Первоначальное доказательство Хиронаки было длиной в 216 страниц; с тех пор оно было значительно упрощено до 10 или 20 страниц.
• Доказательство Абиханкара 1966 года разрешения особенностей для 3-кратных множеств с характеристикой больше 6 заняло около 500 страниц в нескольких статьях. В 2009 году Катковски упростил его до 40 страниц.
• 1966 Представления дискретных серий групп Ли . Построение Хариш-Чандрой этих работ потребовало длинной серии статей общим объемом около 500 страниц. Его более поздняя работа по теореме Планшереля для полупростых групп добавила к ним еще 150 страниц.
• 1968 доказательство Новикова – Эдиана , решающее проблему Бернсайда о конечно порожденных бесконечных группах с конечными показателями отрицательно. Оригинальная статья из трех частей имеет объем более 300 страниц. (Позже Бриттон опубликовал статью на 282 страницах, пытаясь решить эту проблему, но его статья содержала серьезный пробел.)
• 1960-1970 Fondements de la Géometrie Algébrique , Éléments de géométrie algébrique и Séminaire de géométrie algébrique . Работа Гротендика по основам алгебраической геометрии охватывает многие тысячи страниц. Хотя это не доказательство одной теоремы, в ней есть несколько теорем, доказательства которых зависят от сотен более ранних страниц. ^{[ dubious – discussion ]}
• Теорема об N-группах 1974 года . Классификация Томпсона N-групп использовала 6 статей общим объемом около 400 страниц, но также использовала его более ранние результаты, такие как теорема о нечетном порядке , что довело общий объем до более чем 700 страниц.
• Гипотеза Рамануджана 1974 года и гипотезы Вейля . Хотя окончательная статья Делиня, доказывающая эти гипотезы, была «всего» около 30 страниц, она зависела от фоновых результатов в алгебраической геометрии и этальных когомологиях , которые, по оценкам Делиня, были около 2000 страниц.
• Теорема о 4 красках 1974 года . Доказательство Аппеля и Хакена заняло 139 страниц и также зависело от длительных компьютерных вычислений.
• 1974 Теорема Горенштейна–Харады, классифицирующая конечные группы секционного 2-ранга не более 4, имела объем 464 страницы.
• Ряд Эйзенштейна 1976 года . Доказательство Ленглендса функционального уравнения для ряда Эйзенштейна составило 337 страниц.
• Теорема трихотомии 1983 года . Доказательство Горенштейна и Лайонса для случая ранга не ниже 4 составило 731 страницу, а доказательство Ашбахера для случая ранга 3 добавило еще 159 страниц, что в общей сложности составило 890 страниц.
• 1983 Формула следа Сельберга . Доказательство Хейхала общей формы формулы следа Сельберга состояло из 2 томов общим объемом 1322 страницы.
• Формула следа Артура–Сельберга . Доказательства Артура различных версий этой формулы занимают несколько сотен страниц, разбросанных по многим статьям.
• 2000 Теорема регулярности Альмгрена . Доказательство Альмгрена составило 955 страниц.
• 2000 Теорема Лаффорга о гипотезе Ленглендса для общей линейной группы над функциональными полями. Доказательство Лорана Лаффорга было длиной около 600 страниц, не считая многих страниц фоновых результатов.
• 2003 Poincaré conjecture , Geometrization Theorem , Geometrization conjecture . Первоначальные доказательства Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации не были длинными, но были довольно схематичными. Несколько других математиков опубликовали доказательства с заполненными подробностями, которые достигли нескольких сотен страниц.
• 2004 Квазитонкие группы . Классификация простых квазитонких групп, выполненная Ашбахером и Смитом, заняла 1221 страницу, что является одной из самых длинных статей, когда-либо написанных.
• 2004 Классификация конечных простых групп . Доказательство этого разбросано по сотням журнальных статей, что затрудняет оценку его общего объема, который, вероятно, составляет от 10000 до 20000 страниц.
• Теорема Робертсона–Сеймура 2004 г. Доказательство занимает около 500 страниц и разбито на 20 статей.
• Гипотеза Кеплера 2005 года . Доказательство Хейлза включает несколько сотен страниц опубликованных аргументов, а также несколько гигабайт компьютерных вычислений.
• 2006 сильная теорема о совершенном графе , Мария Чудновская , Нил Робертсон , Пол Сеймур и Робин Томас . Статья включала 180 страниц в Annals of Mathematics .

Существует множество математических теорем, которые были проверены с помощью длинных компьютерных вычислений. Если бы они были записаны как доказательства, многие из них были бы намного длиннее, чем большинство приведенных выше доказательств. На самом деле нет четкого различия между компьютерными вычислениями и доказательствами, поскольку некоторые из приведенных выше доказательств, такие как теорема о 4 красках и гипотеза Кеплера, используют длинные компьютерные вычисления, а также много страниц математических аргументов. Для компьютерных вычислений в этом разделе математические аргументы занимают всего несколько страниц, и длина обусловлена ​​длинны, но рутинными вычислениями. Вот некоторые типичные примеры таких теорем:

• Несколько доказательств существования спорадических простых групп , таких как группа Лайонса , изначально использовали компьютерные вычисления с большими матрицами или с перестановками миллиардов символов. В большинстве случаев, таких как группа младенца-монстра , компьютерные доказательства позже были заменены более короткими доказательствами, избегающими компьютерных вычислений. Аналогично, вычисление максимальных подгрупп больших спорадических групп использует много компьютерных вычислений.
• 2004 Проверка гипотезы Римана для первых 1013 ^нулей дзета -функции Римана .
• 2007 г. Проверка того, что шашки — это ничья.
• 2008 г. Доказательства того, что различные числа Мерсенна , содержащие около десяти миллионов цифр, являются простыми.
• Вычисления большого количества цифр числа π.
• 2010 г. Демонстрация того, что кубик Рубика можно собрать за 20 ходов .
• 2012 г. Показано, что для судоку требуется не менее 17 подсказок.
• Троичная гипотеза Гольдбаха 2013 года : Каждое нечетное число больше 5 можно представить в виде суммы трех простых чисел.
• Доказательство гипотезы о расхождении Эрдёша 2014 года для частного случая C=2: каждая ±1-последовательность длины 1161 имеет расхождение не менее 3; исходное доказательство, сгенерированное решателем SAT, имело размер 13 гигабайт и позже было сокращено до 850 мегабайт.
• 2016 Решение задачи о булевых пифагорейских тройках потребовало создания 200 терабайт доказательств. ^[1]
• 2017 Марийн Хейл , которая является соавтором решения задачи о булевых пифагорейских тройках, объявила о доказательстве размером в 2 петабайта того, что пятое число Шура равно 160. ^[2]

Курт Гёдель показал, как находить явные примеры утверждений в формальных системах, которые доказуемы в этой системе, но чье самое короткое доказательство абсурдно длинное. Например, утверждение:

«Это утверждение не может быть доказано в арифметике Пеано менее чем за гуголплекс символов»

доказуемо в арифметике Пеано, но самое короткое доказательство имеет по крайней мере гуголплекс символов. У него есть короткое доказательство в более мощной системе: на самом деле, оно легко доказуемо в арифметике Пеано вместе с утверждением, что арифметика Пеано непротиворечива (что не может быть доказано в арифметике Пеано теоремой о неполноте Гёделя ).

В этом рассуждении арифметику Пеано можно заменить любой более мощной последовательной системой, а гуголплекс можно заменить любым числом, которое можно кратко описать в этой системе.

Харви Фридман нашел несколько явных естественных примеров этого явления, дав несколько явных утверждений в арифметике Пеано и других формальных системах, самые короткие доказательства которых смехотворно длинны (Smoryński 1982). Например, утверждение

«существует целое число n такое, что если существует последовательность корневых деревьев T ₁ , T ₂ , ..., T _n такая, что T _k имеет не более k +10 вершин, то некоторое дерево может быть гомеоморфно вложено в более позднее»

доказуемо в арифметике Пеано, но самое короткое доказательство имеет длину не менее ¹⁰⁰⁰ 2, где ⁰ 2 = 1 и ^{n + 1} 2 = 2 ^{( n 2)} ( тетрациональный рост). Утверждение является частным случаем теоремы Крускала и имеет короткое доказательство в арифметике второго порядка .

• Список неполных доказательств
• Доказательство путем запугивания

• Кранц, Стивен Г. (2011), Доказательство в пудинге. Изменение природы математического доказательства (PDF) , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-0-387-48744-1, ISBN 978-0-387-48908-7, г-н  2789493
• Сморыньский, К. (1982), «Разновидности древесного опыта», Math. Intelligencer , 4 (4): 182– 189, doi :10.1007/bf03023553, MR  0685558, S2CID  125748405