Слабая гипотеза Гольдбаха
Решенная гипотеза о простых числах
Слабая гипотеза Гольдбаха
Письмо Гольдбаха Эйлеру от 7 июня 1742 г. (латино-немецкий) [1]
ПолеТеория чисел
ПредположительноКристиан Гольдбах
Предположительно в1742
Первое доказательствоХаральд Хельфготт
Первое доказательство в2013
ПодразумеваетсяГипотеза Гольдбаха

В теории чисел слабая гипотеза Гольдбаха , также известная как нечетная гипотеза Гольдбаха , тернарная проблема Гольдбаха или проблема трех простых чисел , утверждает, что

Каждое нечетное число больше 5 можно представить в виде суммы трех простых чисел . (Простое число может использоваться в одной и той же сумме более одного раза.)

Эта гипотеза называется «слабой», потому что если сильная гипотеза Гольдбаха (относительно сумм двух простых чисел) будет доказана, то это также будет верно. Ведь если каждое четное число, большее 4, является суммой двух нечетных простых чисел, то добавление 3 к каждому четному числу, большему 4, даст нечетные числа, большие 7 (а само 7 равно 2+2+3).

В 2013 году Харальд Хельфготт опубликовал доказательство слабой гипотезы Гольдбаха. [2] Доказательство было принято к публикации в серии Annals of Mathematics Studies [3] в 2015 году и с тех пор проходит дальнейшее рассмотрение и доработку; полностью отрецензированные главы в близкой к финальной форме публикуются в процессе. [4]

Некоторые высказывают предположение, что

Каждое нечетное число больше 7 можно представить в виде суммы трех нечетных простых чисел. [5]

Эта версия исключает 7 = 2+2+3, поскольку для этого требуется четное простое число 2. На нечетных числах больше 7 она немного сильнее, поскольку также исключает суммы вроде 17 = 2+2+13, которые допускаются в другой формулировке. Доказательство Хельфготта охватывает обе версии гипотезы. Как и другая формулировка, эта также немедленно следует из сильной гипотезы Гольдбаха.

Происхождение

Гипотеза возникла в переписке между Кристианом Гольдбахом и Леонардом Эйлером . Одна из формулировок сильной гипотезы Гольдбаха, эквивалентная более распространенной в терминах сумм двух простых чисел, имеет вид

Каждое целое число больше 5 можно записать в виде суммы трех простых чисел.

Слабая гипотеза — это просто утверждение, ограниченное случаем, когда целое число нечетное (и, возможно, с дополнительным требованием, чтобы три простых числа в сумме были нечетными).

Хронология результатов

В 1923 году Харди и Литтлвуд показали, что при принятии обобщенной гипотезы Римана слабая гипотеза Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечетных чисел. В 1937 году Иван Матвеевич Виноградов устранил зависимость от обобщенной гипотезы Римана и доказал напрямую (см. теорему Виноградова ), что все достаточно большие нечетные числа можно выразить в виде суммы трех простых чисел. Первоначальное доказательство Виноградова, поскольку оно использовало неэффективную теорему Зигеля–Вальфиса , не давало оценки для «достаточно большого»; его ученик К. Бороздкин (1956) вывел, что достаточно большое. [6] Целая часть этого числа имеет 4 008 660 десятичных цифр, поэтому проверка каждого числа под этой цифрой была бы совершенно неосуществимой. е е 16.038 ≈ 3 3 15 {\displaystyle e^{e^{16.038}}\approx 3^{3^{15}}}

В 1997 году Дешуйе , Эффингер, те Риле и Зиновьев опубликовали результат, показывающий [7] , что обобщенная гипотеза Римана подразумевает слабую гипотезу Гольдбаха для всех чисел. Этот результат объединяет общее утверждение, действительное для чисел больше 1020, с обширным компьютерным поиском малых случаев. Саутер также провел компьютерный поиск, охватывающий те же случаи, примерно в то же время. [8]

Оливье Рамаре в 1995 году показал, что каждое четное число n ≥ 4 на самом деле является суммой не более шести простых чисел, из чего следует, что каждое нечетное число n ≥ 5 является суммой не более семи простых чисел. Лешек Канецкий показал, что каждое нечетное целое число является суммой не более пяти простых чисел в соответствии с гипотезой Римана . [9] В 2012 году Теренс Тао доказал это без гипотезы Римана; это улучшает оба результата. [10]

В 2002 году Лю Мин-Чит ( Университет Гонконга ) и Ван Тянь-Зе снизили порог Бороздкина примерно до . Экспонента все еще слишком велика, чтобы допустить проверку всех меньших чисел компьютером. (Компьютерные поиски достигли только 10 18 для сильной гипотезы Гольдбаха и не намного дальше для слабой гипотезы Гольдбаха.) н > е 3100 ≈ 2 × 10 1346 {\displaystyle n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}}

В 2012 и 2013 годах перуанский математик Харальд Хельфготт опубликовал пару статей, в которых оценки больших и малых дуг были улучшены в достаточной степени, чтобы безоговорочно доказать слабую гипотезу Гольдбаха. [11] [12] [2] [13] [14] Здесь большие дуги — это объединение интервалов вокруг рациональных чисел , где — константа. Малые дуги определяются как . М {\displaystyle {\mathfrak {M}}} ( а / д − с г 0 / д х , а / д + с г 0 / д х ) {\displaystyle \left(a/q-cr_{0}/qx,a/q+cr_{0}/qx\right)} а / д , д < г 0 {\displaystyle a/q,q<r_{0}} с {\displaystyle с} м {\displaystyle {\mathfrak {m}}} м = ( Р / З ) ∖ М {\displaystyle {\mathfrak {m}}=(\mathbb {R} /\mathbb {Z})\setminus {\mathfrak {M}}}

Ссылки

  1. ^ Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIème Siècle (Группа 1), Санкт-Петербург, 1843 г., стр. 125–129.
  2. ^ ab Helfgott, Harald A. (2013). «Тернарная гипотеза Гольдбаха верна». arXiv : 1312.7748 [math.NT].
  3. ^ "Annals of Mathematics Studies". Princeton University Press . 1996-12-14 . Получено 2023-02-05 .
  4. ^ "Харальд Андрес Хельфготт". webusers.imj-prg.fr . Получено 2021-04-06 .
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Гольдбаха». MathWorld .
  6. ^ Хелфготт, Харальд Андрес (2015). «Тройная проблема Гольдбаха». arXiv : 1501.05438 [math.NT].
  7. ^ Deshouillers, Jean-Marc; Effinger, Gove W.; Te Riele, Herman JJ; Zinoviev, Дмитрий (1997). "Полная теорема Виноградова о 3-простых числах при гипотезе Римана" (PDF) . Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society . 3 (15): 99– 104. doi : 10.1090/S1079-6762-97-00031-0 . MR  1469323.
  8. ^ Янник Саутер (1998). «Проверка нечетной гипотезы Гольдбаха до 1020» (PDF) . Math. Comp. 67 (222): 863– 866. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00928-4 . MR  1451327.
  9. ^ Канецкий, Лешек (1995). «О постоянной Шнирельмана согласно гипотезе Римана» (PDF) . Акта Арифметика . 72 (4): 361–374 . doi : 10.4064/aa-72-4-361-374 . МР  1348203.
  10. ^ Тао, Теренс (2014). «Каждое нечетное число, большее 1, является суммой не более пяти простых чисел». Math. Comp. 83 (286): 997– 1038. arXiv : 1201.6656 . doi :10.1090/S0025-5718-2013-02733-0. MR  3143702. S2CID  2618958.
  11. ^ Хельфготт, Харальд А. (2012). «Меньшие дуги для задачи Гольдбаха». arXiv : 1205.5252 [math.NT].
  12. ^ Хельфготт, Харальд А. (2013). «Основные дуги для теоремы Гольдбаха». arXiv : 1305.2897 [math.NT].
  13. ^ Хельфготт, Харальд Андрес (2014). «Тернарная проблема Гольдбаха» (PDF) . Ин Джанг, Сан Ён (ред.). Труды Сеульского международного конгресса математиков . Том 2. Сеул, Корея: Kyung Moon SA. стр.  391–418 . ISBN 978-89-6105-805-6. OCLC  913564239.
  14. ^ Хельфготт, Харальд А. (2015). «Тернарная проблема Гольдбаха». arXiv : 1501.05438 [math.NT].
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Goldbach%27s_weak_conjecture&oldid=1263768105"