узел Лиссажу

В теории узлов узел Лиссажу — это узел, определяемый параметрическими уравнениями вида

${\displaystyle x=\cos(n_{x}t+\phi _{x}),\qquad y=\cos(n_{y}t+\phi _{y}),\qquad z=\cos(n_{ z}t+\phi _{z}),}$

где , , и являются целыми числами , а фазовые сдвиги , , и могут быть любыми действительными числами . ^[1]${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$ ${\displaystyle \фи _{x}}$${\displaystyle \фи _{y}}$${\displaystyle \фи _{z}}$

Проекция узла Лиссажу на любую из трех координатных плоскостей является кривой Лиссажу , и многие свойства этих узлов тесно связаны со свойствами кривых Лиссажу.

Замена функции косинуса в параметризации на треугольную волну преобразует каждый узел Лиссажу изотопически в бильярдную кривую внутри куба, простейший случай так называемых бильярдных узлов . Биллиардные узлы можно изучать и в других областях, например, в цилиндре ^[2] или в (плоском) полнотории ( Лиссажу-торический узел ).

Поскольку узел не может быть самопересекающимся, три целых числа должны быть попарно взаимно простыми , и ни одна из величин${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$

${\displaystyle n_{x}\phi _{y}-n_{y}\phi _{x},\quad n_{y} \phi _{z}-n_{z}\phi _{y},\ четверка n_{z}\phi _{x}-n_{x}\phi _{z}}$

может быть целым числом, кратным pi . Более того, сделав замену вида , можно предположить, что любой из трех фазовых сдвигов , , равен нулю.${\displaystyle t'=t+c}$${\displaystyle \фи _{x}}$${\displaystyle \фи _{y}}$${\displaystyle \фи _{z}}$

Вот несколько примеров узлов Лиссажу, ^[3] все из которых имеют :${\displaystyle \phi _{z}=0}$

• 
  Узел из трех оборотов
  ${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,2,7)}$
  ${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.7,0.2)}$
• 
  узел стивидора
  ${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,2,5)}$
  ${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(1.5,0.2)}$
• 
  Квадратный узел
  ${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,5,7)}$
  ${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.7,1.0)}$
• 
  8 ₂₁ узел
  ${\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,4,7)}$
  ${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.1,0.7)}$

Существует бесконечно много различных узлов Лиссажу ^[4] , а другие примеры с 10 или менее пересечениями включают узел 7 ₄ , узел 8 ₁₅ , узел 10 ₁ , узел 10 ₃₅ , узел 10 ₅₈ и составной узел 5 ₂ ^*  # 5 ₂ ^[1], а также узел 9 ₁₆ , узел 10 ₇₆ , узел 10 _{99 , узел 10 122} , узел 10 ₁₄₄ , узел бабки и составной узел 5 ₂  # 5 ₂ ^[5] Кроме того, известно, что каждый скрученный узел с инвариантом Арфа, равным нулю, является узлом Лиссажу ^{[6] .}

Узлы Лиссажу обладают высокой симметрией, хотя тип симметрии зависит от того, являются ли числа , , и нечетными.${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$

Если , , и все нечетные, то отражение точки относительно начала координат является симметрией узла Лиссажу, которая сохраняет ориентацию узла.${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle n_{y}}$${\displaystyle n_{z}}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$

В общем случае узел, обладающий сохраняющей ориентацию симметрией отражения точки, называется строго положительным амфихейральным . ^[7] Это довольно редкое свойство: только семь простых узлов с двенадцатью или менее пересечениями являются строго положительными амфихейральными (1099 _, 10123 _, 12a427, 12a1019, 12a1105, 12a1202, 12n706). ^[8] Поскольку это встречается так редко, «большинство» простых узлов Лиссажу лежат в четном случае.

Если одна из частот (скажем ) четная, то поворот на 180° вокруг оси x является симметрией узла Лиссажу. В общем случае узел, имеющий симметрию такого типа, называется 2-периодическим , поэтому каждый четный узел Лиссажу должен быть 2-периодическим.${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,-y,-z)}$

Симметрия узла Лиссажу накладывает жесткие ограничения на многочлен Александера . В нечетном случае многочлен Александера узла Лиссажу должен быть полным квадратом . ^[9] В четном случае многочлен Александера должен быть полным квадратом по модулю 2. ^[10] Кроме того, инвариант Арфа узла Лиссажу должен быть равен нулю. Из этого следует, что:

• Узел -трилистник и узел-восьмерка не являются узлами Лиссажу.
• Ни один торический узел не может быть узлом Лиссажу.
• Ни один волокнистый двухмостовой узел не может быть узлом Лиссажу.