Представление дискретного ряда

В математике дискретное серийное представление — это неприводимое унитарное представление локально компактной топологической группы G , которое является подпредставлением левого регулярного представления G на L²( G ). В мере Планшереля такие представления имеют положительную меру. Название происходит от того факта, что они являются именно теми представлениями, которые дискретно возникают в разложении регулярного представления.

Если G унимодулярна , неприводимое унитарное представление ρ группы G находится в дискретной серии тогда и только тогда, когда один (и, следовательно, все) матричные коэффициенты

${\displaystyle \langle \rho (g)\cdot v,w\rangle \,}$

с ненулевыми векторами v , w является квадратично интегрируемой на G относительно меры Хаара .

Когда G унимодулярна, представление дискретной серии имеет формальную размерность d со свойством, что

${\displaystyle d\int \langle \rho (g)\cdot v,w\rangle {\overline {\langle \rho (g)\cdot x,y\rangle }}dg = \langle v,x\rangle { \overline {\langle w,y\rangle }}}$

для v , w , x , y в представлении. Когда G компактен, это совпадает с размерностью, когда мера Хаара на G нормализована так, что G имеет меру 1.

Хариш-Чандра  (1965, 1966) классифицировал представления дискретных серий связных полупростых групп G. В частности, такая группа имеет представления дискретных серий тогда и только тогда, когда она имеет тот же ранг, что и максимальная компактная подгруппа K. Другими словами, максимальный тор T в K должен быть подгруппой Картана в G. (Этот результат требовал, чтобы центр G был конечным, что исключало такие группы, как односвязное покрытие SL(2, R ).) Он применим, в частности, к специальным линейным группам ; из них только SL(2, R ) имеет дискретную серию (для этого см. теорию представлений SL(2, R ) ).

Классификация Хариш-Чандры дискретных серийных представлений полупростой связной группы Ли дается следующим образом. Если L — весовая решетка максимального тора T , ее подрешетка, где t — алгебра Ли T , то существует дискретное серийное представление для каждого вектора v из

Л + ρ,

где ρ — вектор Вейля группы G , который не ортогонален никакому корню группы G. Каждое представление дискретной серии происходит таким образом. Два таких вектора v соответствуют одному и тому же представлению дискретной серии тогда и только тогда, когда они сопряжены относительно группы Вейля W _K максимальной компактной подгруппы K. Если мы фиксируем фундаментальную камеру для группы Вейля группы K , то представление дискретной серии находится в соответствии 1:1 с векторами L + ρ в этой камере Вейля, которые не ортогональны никакому корню группы G. Инфинитивно малый характер представления с наибольшим весом задается v (mod группы Вейля W _G группы G ) при соответствии Хариш-Чандры, отождествляющем инфинитезимальные характеры группы G с точками

т ⊗ С / В _Г .

Таким образом, для каждого представления дискретной серии существует ровно

| В _Г |/| В _К |

дискретные ряды представлений с одинаковым бесконечно малым характером.

Хариш-Чандра продолжил доказывать аналог для этих представлений формулы характера Вейля . В случае, когда G не является компактным, представления имеют бесконечную размерность, и поэтому понятие характера более тонко для определения, поскольку это распределение Шварца (представленное локально интегрируемой функцией) с особенностями.

Характер задается на максимальном торе T как

${\displaystyle (-1)^{\frac {\dim(G)-\dim(K)}{2}}{\sum _{w\in W_{K}}\det(w)e^{w(v)} \over \prod _{(v,\alpha )>0}\left(e^{\frac {\alpha }{2}}-e^{-{\frac {\alpha }{2}}}\right)}}$

Если G компактен, это сводится к формуле характера Вейля, где v  =  λ  +  ρ, где λ — максимальный вес неприводимого представления (где произведение берется по корням α, имеющим положительное скалярное произведение с вектором v ).

Теорема регулярности Хариш-Чандры подразумевает, что характер представления дискретной серии является локально интегрируемой функцией на группе.

Точки v в смежном классе L + ρ, ортогональные корням G , не соответствуют представлениям дискретных серий, но те, которые не ортогональны корням K, связаны с некоторыми неприводимыми представлениями, называемыми пределом представлений дискретных серий . Такое представление существует для каждой пары ( v , C ), где v — вектор из L + ρ, ортогональный некоторому корню G , но не ортогональный никакому корню K , соответствующему стенке C , а C — камера Вейля G , содержащая v . (В случае представлений дискретных серий существует только одна камера Вейля, содержащая v, поэтому нет необходимости включать ее явно.) Две пары ( v , C ) дают один и тот же предел представления дискретных серий тогда и только тогда, когда они сопряжены относительно группы Вейля K. Так же, как и для представлений дискретных серий, v дает бесконечно малый характер. Существует не более | W _G |/| W _K | предела представлений дискретных серий с любым заданным бесконечно малым характером.

Пределом представлений дискретных рядов являются умеренные представления , что примерно означает, что они просто не могут быть представлениями дискретных рядов.

Оригинальная конструкция дискретного ряда Хариш-Чандры не была очень явной. Несколько авторов позже нашли более явные реализации дискретного ряда.

• Нарасимхан и Окамото (1970) построили большинство представлений дискретных серий в случае, когда симметричное пространство G является эрмитовым.
• Партасарати (1972) построил множество представлений дискретных рядов для произвольного G.
• Ленглендс (1966) выдвинул гипотезу, а Шмид (1976) доказал геометрический аналог теоремы Бореля–Ботта–Вейля для дискретных серий, используя когомологии L2 вместо когомологий когерентных пучков, используемых в компактном случае ^.
• Применение теоремы об индексе , Атья и Шмид (1977) построили все дискретные ряды представлений в пространствах гармонических спиноров . В отличие от большинства предыдущих конструкций представлений, работа Атья и Шмида не использовала результаты существования Хариш-Чандры в своих доказательствах.
• Представления дискретных серий также можно построить с помощью когомологической параболической индукции с использованием функторов Цукермана .

• Гипотеза Блаттнера
• Голоморфное дискретное представление серии
• Кватернионное дискретное представление ряда

• Атья, Михаэль ; Шмид, Вильфрид (1977), «Геометрическое построение дискретной серии для полупростых групп Ли», Inventiones Mathematicae , 42 : 1– 62, doi : 10.1007/BF01389783, ISSN  0020-9910, MR  0463358, S2CID  55559836
• Баргманн, В (1947), «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца», Annals of Mathematics , вторая серия, 48 (3): 568– 640, doi :10.2307/1969129, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969129, MR  0021942
• Хариш-Чандра (1965), «Дискретные ряды для полупростых групп Ли. I. Построение инвариантных собственных распределений», Acta Mathematica , 113 : 241–318 , doi : 10.1007/BF02391779 , ISSN  0001-5962, 0219665
• Хариш-Чандра (1966), «Дискретные ряды для полупростых групп Ли. II. Явное определение характеров», Acta Mathematica , 116 : 1– 111, doi : 10.1007/BF02392813 , ISSN  0001-5962, MR  0219666, S2CID  125806386
• Ленглендс, RP (1966), «Размерность пространств автоморфных форм», Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр.  253–257 , MR  0212135
• Нарасимхан, М.С.; Окамото, Кийосато (1970), «Аналог теоремы Бореля-Вейля-Ботта для эрмитовых симметричных пар некомпактного типа», Annals of Mathematics , Вторая серия, 91 (3): 486– 511, doi :10.2307/1970635, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970635, MR  0274657
• Партасарати, Р. (1972), «Оператор Дирака и дискретные ряды», Annals of Mathematics , вторая серия, 96 (1): 1– 30, doi :10.2307/1970892, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970892, MR  0318398
• Шмид, Вильфрид (1976), «L²-когомологии и дискретные серии», Annals of Mathematics , вторая серия, 103 (2): 375–394 , doi :10.2307/1970944, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970944, MR  0396856
• Schmid, Wilfried (1997), "Дискретные ряды", в Bailey, TN; Knapp, Anthony W. (ред.), Теория представлений и автоморфные формы (Эдинбург, 1996), Proc. Sympos. Pure Math., т. 61, Providence, RI: American Mathematical Society , стр.  83–113 , doi :10.1090/pspum/061/1476494, ISBN 978-0-8218-0609-8, г-н  1476494
• А.И. Штерн (2001) [1994], "Дискретные ряды (представлений)", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС

• Гарретт, Пол (2004), Некоторые факты о дискретных рядах (голоморфных, кватернионных) (PDF)