оператор Дирака

В математике и квантовой механике оператор Дирака — это дифференциальный оператор , который является формальным квадратным корнем или полуитерацией оператора второго порядка, такого как лапласиан . Первоначальным случаем, который интересовал Поля Дирака , было формальное разложение оператора для пространства Минковского , чтобы получить форму квантовой теории, совместимую со специальной теорией относительности ; чтобы получить соответствующий лапласиан как произведение операторов первого порядка, он ввел спиноры . Впервые он был опубликован в 1928 году Дираком. ^[1]

В общем случае пусть D — дифференциальный оператор первого порядка, действующий на векторное расслоение V над римановым многообразием M. Если

${\displaystyle D^{2}=\Delta ,\,}$

где ∆ — лапласиан V , тогда D называется оператором Дирака .

В физике высоких энергий это требование часто смягчается: только часть второго порядка D ² должна быть равна лапласиану.

D = − i ∂ _x — оператор Дирака на касательном расслоении над прямой.

Рассмотрим простой пучок, имеющий важное значение в физике: конфигурационное пространство частицы со спином ⁠1/2⁠ ограничено плоскостью, которая также является базовым многообразием. Оно представлено волновой функцией ψ  : R ² → C ²

${\displaystyle \psi (x,y)={\begin{bmatrix}\chi (x,y)\\\eta (x,y)\end{bmatrix}}}$

где x и y — обычные функции координат на R ² . χ определяет амплитуду вероятности для частицы находиться в состоянии спина вверх, и аналогично для η . Так называемый оператор спина Дирака тогда можно записать

${\displaystyle D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},}$

где σ _i — матрицы Паули . Обратите внимание, что антикоммутационные соотношения для матриц Паули делают доказательство указанного выше определяющего свойства тривиальным. Эти соотношения определяют понятие алгебры Клиффорда .

Решения уравнения Дирака для спинорных полей часто называют гармоническими спинорами . ^[2]

Оператор Дирака Фейнмана описывает распространение свободного фермиона в трех измерениях и элегантно записан

${\displaystyle D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\ \equiv \partial \!\!\!/,}$

с использованием слэш-нотации Фейнмана . В вводных учебниках по квантовой теории поля это будет выглядеть в виде

${\displaystyle D=c{\vec {\alpha }}\cdot (-i\hbar \nabla _{x})+mc^{2}\beta }$

где — недиагональные матрицы Дирака , причем остальные константы — это скорость света , являющаяся постоянной Планка , и масса фермиона (например, электрона ). Он действует на четырехкомпонентную волновую функцию , пространство Соболева гладких квадратично-интегрируемых функций. Его можно расширить до самосопряженного оператора в этой области. Квадрат в этом случае — это не лапласиан, а вместо этого (после подстановки )${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=\beta \gamma _{i}}$${\displaystyle \beta =\gamma _{0}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \psi (x)\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{4})}$${\displaystyle D^{2}=\Delta +m^{2}}$${\displaystyle \hbar =c=1.}$

Другой оператор Дирака возникает в анализе Клиффорда . В евклидовом n -пространстве это

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

где { e _j : j = 1, ..., n } — ортонормированный базис для евклидова n -пространства, а R ⁿ считается вложенным в алгебру Клиффорда .

Это частный случай оператора Атьи–Зингера–Дирака, действующего на сечения спинорного расслоения .

Для спинового многообразия M оператор Атьи–Зингера–Дирака локально определяется следующим образом: для x ∈ M и e ₁ ( x ), ..., e _j ( x ) — локального ортонормированного базиса для касательного пространства M в точке x оператор Атьи–Зингера– Дирака равен

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)},}$

где — спиновая связность , поднятие связности Леви-Чивиты на M до спинорного расслоения над M. Квадрат в этом случае — не лапласиан, а вместо этого — скалярная кривизна связности. ^[3]${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}$${\displaystyle D^{2}=\Delta +R/4}$${\displaystyle R}$

На римановом многообразии размерности со связностью Леви-Чивиты и ортонормированным базисом мы можем определить внешнюю производную и кодопроизводную как${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle n=dim(M)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1}^{n}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}}$.

Тогда мы можем определить оператор Дирака-Кэлера ^{[4] [5] [6]} следующим образом${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta }$.

Оператор действует на сечения расслоения Клиффорда в целом, и его можно ограничить спинорным расслоением, идеалом расслоения Клиффорда, только если оператор проекции на идеал параллелен. ^{[4] [5] [6]}

В анализе Клиффорда оператор D  : C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , S ) → C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , C ^k ⊗ S ), действующий на спинорнозначные функции, определяемые формулой

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}}$

иногда называется оператором Дирака от k переменных Клиффорда. В обозначениях S — пространство спиноров, — n- мерные переменные, — оператор Дирака от i -й переменной. Это общее обобщение оператора Дирака ( k = 1 ) и оператора Дольбо ( n = 2 , k произвольное) . Это инвариантный дифференциальный оператор , инвариантный относительно действия группы SL( k ) × Spin( n ) . Разрешение D известно только в некоторых специальных случаях.${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})}$${\displaystyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}}$