Теорема Бореля–Вейля–Ботта

В математике теорема Бореля –Вейля–Ботта является основным результатом в теории представлений групп Ли , показывающим, как семейство представлений может быть получено из голоморфных сечений некоторых комплексных векторных расслоений и, в более общем смысле, из высших групп когомологий пучков, связанных с такими расслоениями. Она основана на более ранней теореме Бореля–Вейля Армана Бореля и Андре Вейля , касающейся только пространства сечений (нулевой группы когомологий), расширение на высшие группы когомологий было предоставлено Раулем Боттом . Можно эквивалентно, через GAGA Серра , рассматривать это как результат в комплексной алгебраической геометрии в топологии Зарисского .

Пусть G — полупростая группа Ли или алгебраическая группа над , и зафиксируем максимальный тор T вместе с подгруппой Бореля B , которая содержит T . Пусть λ — целый вес T ; λ естественным образом определяет одномерное представление C _λ группы B , вытягивая представление на T = B / U , где U — унипотентный радикал B . Поскольку мы можем рассматривать проекционное отображение G → G / B как главное B -расслоение , для каждого C _λ мы получаем ассоциированное расслоение L _−λ на G / B (обратите внимание на знак), которое, очевидно, является линейным расслоением . Отождествляя L _λ с его пучком голоморфных сечений, мы рассмотрим группы когомологий пучка . Поскольку G действует на тотальном пространстве расслоения автоморфизмами расслоения, это действие естественным образом дает структуру G -модуля на этих группах; и теорема Бореля–Вейля–Ботта дает явное описание этих групп как G -модулей.${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })}$${\displaystyle L_{\лямбда}}$

Сначала нам нужно описать действие группы Вейля с центром в . Для любого целого веса λ и w в группе Вейля W , мы устанавливаем , где ρ обозначает полусумму положительных корней G . Легко проверить, что это определяет действие группы, хотя это действие не является линейным, в отличие от обычного действия группы Вейля. Также вес μ называется доминирующим, если для всех простых корней α . Пусть ℓ обозначает функцию длины на W .${\displaystyle -\ро}$${\displaystyle w*\lambda:=w(\lambda +\rho)-\rho \,}$${\displaystyle \mu (\alpha ^{\vee})\geq 0}$

При наличии целочисленного веса λ возможен один из двух случаев:

1. Не существует такого, который является доминирующим, эквивалентно, существует нетождественность, такая что ; или${\displaystyle w\in Вт}$${\displaystyle w*\лямбда}$${\displaystyle w\in Вт}$${\displaystyle w*\lambda =\lambda }$
2. Есть нечто уникальное , что является доминирующим.${\displaystyle w\in Вт}$${\displaystyle w*\лямбда}$

Теорема утверждает, что в первом случае мы имеем

${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$для всех i ;

а во втором случае имеем

${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$для всех , пока${\displaystyle я\neq \ell (ш)}$

${\displaystyle H^{\ell (w)}(G/B,\,L_{\lambda })}$является двойственным к неприводимому представлению G с наибольшим весом .${\displaystyle w*\лямбда}$

Стоит отметить, что случай (1) выше имеет место тогда и только тогда, когда для некоторого положительного корня β . Кроме того, мы получаем классическую теорему Бореля–Вейля как частный случай этой теоремы, принимая λ в качестве доминирующего, а w — в качестве единичного элемента .${\displaystyle (\lambda +\rho )(\beta ^{\vee })=0}$${\displaystyle e\in W}$

Например, рассмотрим G = SL ₂ ( C ) , для которого G / B — сфера Римана , интегральный вес задается просто целым числом n , а ρ = 1 . Линейное расслоение L _n есть , сечения которого являются однородными многочленами степени n (т.е. бинарными формами ). Как представление G , сечения могут быть записаны как Sym ⁿ ( C ² )* , и канонически изоморфны Sym ⁿ ( C ² ) . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$

Это дает нам одним махом теорию представления : является стандартным представлением, а является его n- й симметрической степенью . У нас даже есть единое описание действия алгебры Ли, полученное из ее реализации в виде векторных полей на сфере Римана: если H , X , Y являются стандартными генераторами , то ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbf {C} )}$${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(1))}$${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(n))}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbf {C} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=x{\frac {\partial }{\partial x}}-y{\frac {\partial }{\partial y}},\\[5pt]X&=x{\frac {\partial }{\partial y}},\\[5pt]Y&=y{\frac {\partial }{\partial x}}.\end{aligned}}}$

Также имеется более слабая форма этой теоремы в положительной характеристике. А именно, пусть G — полупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем характеристики . Тогда остается верным, что для всех i, если λ — вес такой, что является недоминантным для всех, пока λ «близок к нулю». ^[1] Это известно как теорема Кемпфа об исчезновении . Однако другие утверждения теоремы не остаются верными в этой ситуации.${\displaystyle p>0}$${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$${\displaystyle w*\lambda }$${\displaystyle w\in W}$

Более явно, пусть λ будет доминирующим целочисленным весом; тогда по-прежнему верно, что для всех , но уже не верно, что этот G -модуль прост в общем случае, хотя он содержит единственный модуль наивысшего веса наивысшего веса λ как G -подмодуль. Если λ - произвольный целочисленный вес, то на самом деле это большая нерешенная проблема в теории представлений, чтобы описать модули когомологий в общем случае. В отличие от над , Мамфорд привел пример, показывающий, что для фиксированного λ не обязательно , чтобы все эти модули были нулевыми, за исключением одной степени i .${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$${\displaystyle i>0}$${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Теорема Бореля–Вейля дает конкретную модель для неприводимых представлений компактных групп Ли и неприводимых голоморфных представлений комплексных полупростых групп Ли . Эти представления реализуются в пространствах глобальных сечений голоморфных линейных расслоений на многообразии флагов группы. Теорема Бореля–Вейля–Ботта является ее обобщением на пространства высших когомологий. Теорема восходит к началу 1950-х годов и может быть найдена в работах Серра (1954) и Титса (1955).

Теорема может быть сформулирована либо для комплексной полупростой группы Ли G , либо для ее компактной формы K. Пусть G — связная комплексная полупростая группа Ли, B — подгруппа Бореля группы G , а X = G / B — многообразие флагов . В этом сценарии X — комплексное многообразие и невырожденное алгебраическое G -многообразие . Многообразие флагов также можно описать как компактное однородное пространство K / T , где T = K ∩ B — (компактная) подгруппа Картана группы K. Целый вес λ определяет G -эквивариантное голоморфное линейное расслоение L _λ на X , а группа G действует на его пространстве глобальных сечений,

${\displaystyle \Gamma (G/B,L_{\lambda }).\ }$

Теорема Бореля–Вейля утверждает, что если λ — доминирующий целочисленный вес, то это представление является голоморфным неприводимым представлением G с наивысшим весом λ . Его ограничение на K является неприводимым унитарным представлением K с наивысшим весом λ , и каждое неприводимое унитарное представление K получается таким образом для единственного значения λ . (Голоморфное представление комплексной группы Ли — это представление, для которого соответствующее представление алгебры Ли является комплексно - линейным.)

Вес λ порождает характер (одномерное представление) подгруппы Бореля B , который обозначается χ _λ . Голоморфные сечения голоморфного линейного расслоения L _λ над G / B можно описать более конкретно как голоморфные отображения

${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} _{\lambda }:f(gb)=\chi _{\lambda }(b^{-1})f(g)}$

для всех g ∈ G и b ∈ B.

Действие G на этих сечениях определяется выражением

${\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}$

для g , h ∈ G .

Пусть G — комплексная специальная линейная группа SL(2, C ) с подгруппой Бореля, состоящей из верхних треугольных матриц с определителем 1. Интегральные веса для G можно отождествить с целыми числами , причем доминирующие веса соответствуют неотрицательным целым числам, а соответствующие символы χ _n группы B имеют вид

${\displaystyle \chi _{n}{\begin{pmatrix}a&b\\0&a^{-1}\end{pmatrix}}=a^{n}.}$

Многообразие флагов G / B можно отождествить с комплексной проективной прямой CP1 с однородными координатами X , Y , а пространство глобальных сечений линейного расслоения Ln отождествляется с пространством однородных многочленов степени n на C2 . При _n ≥ 0 это пространство имеет размерность ⁿ + 1 ^и образует неприводимое представление относительно стандартного действия G на алгебре многочленов C [ X , Y ] . Весовые векторы задаются мономами

${\displaystyle X^{i}Y^{n-i},\quad 0\leq i\leq n}$

весов 2 i − n , а вектор с наибольшим весом X ⁿ имеет вес n .

• Теорема о наибольшем весе

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103..
• Бастон, Роберт Дж.; Иствуд, Майкл Г. (1989), Преобразование Пенроуза: его взаимодействие с теорией представления , Oxford University Press. (перепечатано Dover)
• «Теорема Ботта–Бореля–Вейля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство теоремы Бореля–Вейля–Ботта, Якоб Лурье . Получено 13 июля 2014 г.
• Серр, Жан-Пьер (1954) [1951], «Représentation linéaires et espaces homogènes kählériens des Groupes de Compacts Li (d'après Armand Borel et André Weil)» [Линейные представления и кэлеровы однородные пространства компактных групп Ли (по Арману Борелю) и Андре Вейль)], Séminaire Bourbaki (на французском языке), 2 (100): 447–454..
• Титс, Жак (1955), Sur определенные классы d'espaces homogenes de groups de Lie , Acad. Рой. Бельг. кл. наук. Память Колл. (на французском языке), том. 29.
• Сепански, Марк Р. (2007), Компактные группы Ли. , Graduate Texts in Mathematics, т. 235, Нью-Йорк: Springer, ISBN 9780387302638.
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор на основе примеров , Princeton Landmarks in Mathematics, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. Переиздание оригинала 1986 года.

• Телеман, Константин (1998). "Теория Бореля–Вейля–Ботта о стеке модулей G -расслоений над кривой". Inventiones Mathematicae . 134 (1): 1–57. doi :10.1007/s002220050257. MR  1646586.

В данной статье использованы материалы из теоремы Бореля–Ботта–Вейля из PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .