Гипотеза Лэндера, Паркина и Селфриджа

Неразрешенная гипотеза в теории чисел

В теории чисел гипотеза Ландера , Паркина и Селфриджа касается целочисленных решений уравнений, содержащих суммы одинаковых степеней . Эти уравнения являются обобщениями уравнений, рассмотренных в Великой теореме Ферма . Гипотеза заключается в том, что если сумма некоторых $k$ -х степеней равна сумме некоторых других $k$ -х степеней, то общее число членов в обеих суммах должно быть не менее $k$ .

Фон

Диофантовы уравнения , такие как целочисленная версия уравнения $a 2 + b 2 = c 2$ , которая появляется в теореме Пифагора , изучались на предмет их целочисленных решений в течение столетий. Великая теорема Ферма гласит, что для степеней, больших 2, уравнение $a k + b k = c k$ не имеет решений в ненулевых целых числах $a, b, c$ . Расширение числа членов в одной или обеих частях и допущение более высоких степеней, чем 2, привело к тому, что Леонард Эйлер в 1769 году предположил, что для всех целых чисел $n$ и $k$ , больших 1, если сумма $n k$ -х степеней положительных целых чисел сама является $k$ -й степенью, то $n$ больше или равно $k$ .

В символах, если n $>$ $1$ и являются положительными целыми числами, то его гипотеза состояла в том, что $n$ $\geq$ $k$ . $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}$ $a_{1},a_{2},\точки ,a_{n},b$

В 1966 году Леон Дж. Ландер и Томас Р. Паркин нашли контрпример к гипотезе Эйлера о сумме степеней для $k = 5$ : ^[1]

275 + 84 5 + 110 5 + 133 5 = 1445

.

В последующие годы были найдены дополнительные контрпримеры , в том числе для $k = 4.$ Последний опроверг более конкретную гипотезу Эйлера о квартике , а именно, что $a 4 + b 4 + c 4 = d 4$ не имеет положительных целочисленных решений. Фактически, наименьшее решение, найденное в 1988 году, это

4145604 + 217519 4 + 95800 4 = 422481 4

.

Догадка

В 1967 году Л. Дж. Ландер, Т. Р. Паркин и Джон Селфридж выдвинули гипотезу ^[2], что если a $i$ $\neq$ $b$ $j$ $—$ положительные целые числа для всех $1 \leq$ $i$ $\leq$ $n$ и $1 \leq$ $j$ $\leq$ $m$ , то $m$ $+$ $n$ $\geq$ $k$ . Формула равных сумм одинаковых степеней часто сокращается до $($ $k$ $,$ $m$ $,$ $n$ $)$ . $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k},$

Небольшие примеры (связанные с обобщенным номером такси ) включают $m=n={\tfrac {k}{2}}$

594 + 158 4 = 133 4 + 134 4

(известно Эйлеру)

и

36 + 19 6 + 22 6 = 10 6 + 15 6 + 23 6

(найдено К. Субба Рао в 1934 году).

Гипотеза подразумевает в частном случае $m = 1$ , что если (при условиях, указанных выше), то $n$ $\geq$ $k$ $- 1$ . $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}$

Для этого особого случая $m = 1$ , некоторые из известных решений, удовлетворяющих предложенному ограничению при $n \leq k$ , где члены являются положительными целыми числами , следовательно, давая разбиение степени на подобные степени, следующие: ^[3]

$к = 3$

33 + 4 3 + 5 3 = 6 3

$к = 4$

958004 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4

(Роджер Фрай, 1988)

304 + 120 4 + 272 4 + 315 4 = 353 4

(Р. Норри, 1911)

Из Великой теоремы Ферма следует, что при $k = 4$ гипотеза верна.

$к = 5$

275 + 84 5 + 110 5 + 133 5 = 144 5

(Ландер, Паркин, 1966)

75 + 43 5 + 57 5 + 80 5 + 100 5 = 107 5

(Састри, 1934, третье наименьшее)

$к = 6$

(Ни одно из известных. По состоянию на 2002 год не существует решений, конечный член которых

\leq 730000

. ^[4] )

$к = 7$

1277 + 258 7 + 266 7 + 413 7 + 430 7 + 439 7 + 525 7 = 568 7

(М. Додрилл, 1999)

$к = 8$

908 + 223 8 + 478 8 + 524 8 + 748 8 + 1088 8 + 1190 8 + 1324 8 = 1409 8

(Скотт Чейз, 2000)

$к \geq 9$

(Ни один неизвестен.)

Текущий статус

Неизвестно, верна ли эта гипотеза или существуют ли нетривиальные решения, которые были бы контрпримерами, например, $a k + b k = c k + d k$ для $k \geq 5.$ [ ^5]^[6]

Смотрите также

Гипотеза Била
Гипотеза Ферма–Каталана
Уравнение Якоби–Маддена
Список нерешенных задач по математике
Экспериментальная математика (контрпримеры к гипотезе Эйлера о сумме степеней, особенно наименьшее решение для k = 4)
Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта
Пифагорейская четверка
Суммы степеней , список связанных гипотез и теорем

Ссылки

^ LJ Lander; TR Parkin (1966). «Контрпример к гипотезе Эйлера о суммах одинаковых степеней». Bull. Amer. Math. Soc . 72 : 1079. doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 .
^ LJ Lander; TR Parkin; JL Selfridge (1967). «Обзор равных сумм подобных степеней». Mathematics of Computation . 21 (99): 446–459. doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 . JSTOR 2003249.
↑ Цитируется в Meyrignac, Jean-Charles (14 февраля 2001 г.). «Вычисление минимальных равных сумм подобных степеней: лучшие известные решения» . Получено 17 июля 2017 г.
^ Джованни Реста и Жан-Шарль Мейриньяк (2002). Наименьшие решения диофантова уравнения a 6 + b 6 + c 6 + d 6 + e 6 = x 6 + y 6 {\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}} , Математика вычислений, т. 72, стр. 1054 (см. раздел дальнейшей работы ).
^ А. Бремнер; Р. К. Гай (1998). «Дюжина трудных диофантовых дилемм». American Mathematical Monthly . 95 (1): 31–36. doi :10.2307/2323442. JSTOR 2323442.
^ TD Browning (2002). «Равные суммы двух k-х степеней». Журнал теории чисел . 96 (2): 293–318.

Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Задачники по математике (3-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag . D1. ISBN 0-387-20860-7. Збл 1058.11001.

Внешние ссылки

EulerNet: Вычисление минимальных равных сумм одинаковых степеней
Ярослав Врублевский Равные суммы одинаковых степеней
Тито Пьесас III: Коллекция алгебраических тождеств
Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — 5-я степень». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — 6-я степень». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — 7-я степень». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — восьмые степени». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Эйлера о сумме степеней». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Эйлера о квартике». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — четвертая степень». MathWorld .
Гипотеза Эйлера на library.thinkquest.org
Простое объяснение гипотезы Эйлера на уроках математики пойдет вам на пользу!
Математики нашли новые решения древней головоломки
Эд Пегг-младший. Счетные множители, математические игры

[1] LJ Lander; TR Parkin (1966). «Контрпример к гипотезе Эйлера о суммах одинаковых степеней». Bull. Amer. Math. Soc . 72 : 1079. doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 .

[2] LJ Lander; TR Parkin; JL Selfridge (1967). «Обзор равных сумм подобных степеней». Mathematics of Computation . 21 (99): 446–459. doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 . JSTOR 2003249.

[meyrignac-3] Цитируется в Meyrignac, Jean-Charles (14 февраля 2001 г.). «Вычисление минимальных равных сумм подобных степеней: лучшие известные решения» . Получено 17 июля 2017 г.

[4] Джованни Реста и Жан-Шарль Мейриньяк (2002). Наименьшие решения диофантова уравнения a 6 + b 6 + c 6 + d 6 + e 6 = x 6 + y 6 {\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}} , Математика вычислений, т. 72, стр. 1054 (см. раздел дальнейшей работы ).

[5] А. Бремнер; Р. К. Гай (1998). «Дюжина трудных диофантовых дилемм». American Mathematical Monthly . 95 (1): 31–36. doi :10.2307/2323442. JSTOR 2323442.

[6] TD Browning (2002). «Равные суммы двух k-х степеней». Журнал теории чисел . 96 (2): 293–318.