Уравнение Якоби–Маддена

Уравнение Якоби –Маддена — это диофантово уравнение.

${\displaystyle а^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(а+b+c+d)^{4},}$

предложено физиком Ли В. Якоби и математиком Дэниелом Дж. Мэдденом в 2008 году. ^{[1] [2]} Переменные a , b , c и d могут быть любыми целыми числами , положительными, отрицательными или равными 0. ^[a] Якоби и Мэдден показали, что существует бесконечное множество решений этого уравнения со всеми переменными, отличными от нуля.

Уравнение Якоби–Маддена представляет собой частный случай уравнения

${\displaystyle а^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=e^{4},}$

впервые предложена в 1772 году Леонардом Эйлером , который предположил, что четыре — это минимальное число (больше единицы) четвертых степеней ненулевых целых чисел, которые можно в сумме дать еще одну четвертую степень. Эта гипотеза, теперь известная как гипотеза Эйлера о сумме степеней , была естественным обобщением Великой теоремы Ферма , которая была доказана для четвертой степени самим Пьером де Ферма .

Ноам Элкис первым нашел бесконечный ряд решений уравнения Эйлера с одной переменной, равной нулю, тем самым опровергнув гипотезу Эйлера о сумме степеней для четвертой степени. ^[3]

Однако до публикации Якоби и Мэддена не было известно, существует ли бесконечно много решений уравнения Эйлера со всеми переменными, отличными от нуля. Было известно лишь конечное число таких решений. ^{[4] [5]} Одно из этих решений, открытое Симхой Брудно в 1964 году, ^[6] дало решение уравнения Якоби–Маддена:

${\displaystyle 5400^{4}+1770^{4}+(-2634)^{4}+955^{4}=(5400+1770-2634+955)^{4}.}$

Якоби и Мэдден начали с того,

${\displaystyle а^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(а+b+c+d)^{4}}$

и личность,

${\displaystyle а^{4}+b^{4}+(а+b)^{4}=2(а^{2}+ab+b^{2})^{2}}$

Добавляем к обеим частям уравнения:${\displaystyle (a+b)^{4}+(c+d)^{4}}$

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}+c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4}=(a+b)^{4}+(c+d)^{4}+(a+b+c+d)^{4}}$

видно, что это особая пифагорова тройка ,

${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}={\big (}(a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2}{\big )}^{2}={\tfrac {1}{4}}{\big (}(a+b)^{2}+(c+d)^{2}+(a+b+c+d)^{2}{\big )}^{2}}$

Затем они использовали решение Брудно и определенную эллиптическую кривую для построения бесконечной серии решений уравнения Якоби–Маддена.

Якоби и Мэдден заметили, что другое начальное значение, например

${\displaystyle (-31764)^{4}+27385^{4}+48150^{4}+7590^{4}=(-31764+27385+48150+7590)^{4}\,}$

найденное Ярославом Вроблевским, ^[5] привело бы к другой бесконечной серии решений. ^[7]

В августе 2015 года Сейджи Томита объявил о двух новых малых решениях уравнения Якоби–Маддена: ^[8]

${\displaystyle 1229559^{4}+(-1022230)^{4}+1984340^{4}+(-107110)^{4}=(1229559-1022230+1984340-107110)^{4}\,,}$

${\displaystyle 561760^{4}+1493309^{4}+3597130^{4}+(-1953890)^{4}=(561760+1493309+3597130-1953890)^{4}\,,}$

что приводит к двум новым сериям решений, построенным методом Якоби и Маддена.

• Гипотеза Била
• Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта
• Номер такси
• Пифагорейская четверка
• Гипотеза Лэндера, Паркина и Селфриджа
• Суммы степеней , список связанных гипотез и теорем