Экспериментальная математика

Экспериментальная математика — это подход к математике , в котором вычисления используются для исследования математических объектов и выявления свойств и закономерностей. [1] Она была определена как «та отрасль математики, которая в конечном итоге занимается кодификацией и передачей идей в математическом сообществе посредством использования экспериментального (в галилеевском, бэконовском, аристотелевском или кантовском смысле) исследования гипотез и более неформальных убеждений, а также тщательного анализа данных, полученных в ходе этого исследования». [2]

Как выразился Пол Халмос : «Математика не является дедуктивной наукой — это клише. Когда вы пытаетесь доказать теорему, вы не просто перечисляете гипотезы , а затем начинаете рассуждать. То, что вы делаете, — это пробы и ошибки , эксперименты, догадки. Вы хотите выяснить, каковы факты, и то, что вы делаете, в этом отношении похоже на то, что делает лаборант». [3]

История

Математики всегда занимались экспериментальной математикой. Существующие записи ранней математики, такие как вавилонская математика , обычно состоят из списков числовых примеров, иллюстрирующих алгебраические тождества. Однако современная математика, начиная с 17 века, разработала традицию публикации результатов в окончательном, формальном и абстрактном виде. Числовые примеры, которые могли привести математика к первоначальной формулировке общей теоремы, не были опубликованы и, как правило, были забыты.

Экспериментальная математика как отдельная область исследований вновь возникла в двадцатом веке, когда изобретение электронного компьютера значительно увеличило диапазон возможных вычислений, со скоростью и точностью, намного превосходящими все, что было доступно предыдущим поколениям математиков. Значительной вехой и достижением экспериментальной математики стало открытие в 1995 году формулы Бейли-Борвейна-Плуффа для двоичных цифр числа π . Эта формула была открыта не путем формальных рассуждений, а вместо этого с помощью числовых поисков на компьютере; только после этого было найдено строгое доказательство . [4]

Цели и использование

Цели экспериментальной математики — «генерировать понимание и прозрение; генерировать и подтверждать или опровергать предположения; и в целом делать математику более осязаемой, живой и увлекательной как для профессиональных исследователей, так и для новичков» [5] .

Применение экспериментальной математики определяется следующим образом: [6]

  1. Приобретение понимания и интуиции.
  2. Открытие новых закономерностей и взаимосвязей.
  3. Использование графических представлений для демонстрации основополагающих математических принципов.
  4. Проверка и особенно опровержение предположений.
  5. Изучение возможного результата с целью выяснить, заслуживает ли он формального доказательства.
  6. Предложение подходов к формальному доказательству.
  7. Замена длинных ручных выводов на компьютерные.
  8. Подтверждение аналитически полученных результатов.

Инструменты и методы

Экспериментальная математика использует численные методы для вычисления приближенных значений интегралов и бесконечных рядов . Арифметика произвольной точности часто используется для установления этих значений с высокой степенью точности — обычно 100 значащих цифр или более. Затем алгоритмы целочисленных отношений используются для поиска отношений между этими значениями и математическими константами . Работа со значениями высокой точности снижает вероятность ошибочного принятия математического совпадения за истинное отношение. Затем будет искаться формальное доказательство предполагаемого отношения — часто бывает легче найти формальное доказательство, когда известна форма предполагаемого отношения.

Если требуется найти контрпример или попытаться провести крупномасштабное доказательство методом исчерпания , можно использовать методы распределенных вычислений для разделения вычислений между несколькими компьютерами.

Часто используется общее математическое программное обеспечение или специализированное программное обеспечение, написанное для атак на проблемы, требующие высокой эффективности. Экспериментальное математическое программное обеспечение обычно включает механизмы обнаружения и исправления ошибок , проверки целостности и избыточные вычисления, разработанные для минимизации возможности недействительности результатов из-за аппаратной или программной ошибки.

Приложения и примеры

Приложения и примеры экспериментальной математики включают в себя:

∑ к = 1 ∞ 1 к 2 ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 к ) 2 = 17 π 4 360 . {\displaystyle {\begin{align}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{k}}\right)^{2}={\frac {17\pi ^{4}}{360}}.\end{align}}}

Правдоподобные, но ложные примеры

Некоторые правдоподобные соотношения имеют высокую степень точности, но все равно не являются истинными. Один из примеров:

∫ 0 ∞ потому что ⁡ ( 2 х ) ∏ н = 1 ∞ потому что ⁡ ( х н ) г х = π 8 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x={\frac {\pi }{8}}.}

Две стороны этого выражения на самом деле различаются после 42-го знака после запятой. [13]

Другой пример — максимальная высота (максимальное абсолютное значение коэффициентов) всех множителей x n − 1 оказывается такой же, как высота n- го циклотомического полинома . Компьютер показал, что это верно для n < 10000, и ожидалось, что это будет верно для всех n . Однако более масштабный компьютерный поиск показал, что это равенство не выполняется для n = 14235, когда высота n -го циклотомического полинома равна 2, но максимальная высота множителей равна 3. [14]

Практикующие

Следующие математики и специалисты по информатике внесли значительный вклад в область экспериментальной математики:

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Экспериментальная математика». MathWorld .
  2. ^ Экспериментальная математика: обсуждение, архив 21.01.2008 на Wayback Machine, авторы J. Borwein, P. Borwein, R. Girgensohn и S. Parnes
  3. ↑ Я хочу быть математиком: автоматография (1985), стр. 321 (в переиздании 2013 года)
  4. ↑ Поиски числа Пи. Архивировано 27 сентября 2011 г. на Wayback Machine Дэвидом Х. Бейли , Джонатаном М. Борвейном , Питером Б. Борвейном и Саймоном Плуффом .
  5. ^ Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид (2004). Математика через эксперимент: правдоподобное рассуждение в 21 веке . AK Peters. стр. vii. ISBN 978-1-56881-211-3.
  6. ^ Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид (2004). Математика через эксперимент: правдоподобное рассуждение в 21 веке . AK Peters. стр. 2. ISBN 978-1-56881-211-3.
  7. ^ Силва, Томас (28 декабря 2015 г.). "Вычислительная проверка гипотезы 3x+1". Институт электроники и информатики Авейру . Архивировано из оригинала 18 марта 2013 г.
  8. ^ Clement WH Lam (1991). «Поиск конечной проективной плоскости порядка 10». American Mathematical Monthly . 98 (4): 305–318 . doi :10.2307/2323798. JSTOR  2323798.
  9. ^ arXiv, Новые технологии из. "Математики решают минимальную задачу судоку". MIT Technology Review . Получено 27 ноября 2017 г.
  10. ^ Бейли, Дэвид (1997). «Новые математические формулы, открытые с помощью суперкомпьютеров» (PDF) . Новости NAS . 2 (24).
  11. ↑ HF Sandham и Martin Kneser, Американский математический ежемесячник, Advanced problem 4305, том 57, № 4 (апрель 1950 г.), стр. 267-268.
  12. ^ Мамфорд, Дэвид; Сериал, Кэролайн; Райт, Дэвид (2002). Жемчуг Индры: Видение Феликса Кляйна . Кембридж. стр. viii. ISBN 978-0-521-35253-6.
  13. ↑ Дэвид Х. Бейли и Джонатан М. Борвейн, Будущие перспективы компьютерной математики. Архивировано 20 июля 2011 г. в Wayback Machine , декабрь 2005 г.
  14. ^ Высота Φ 4745 равна 3 и 14235 = 3 x 4745. См. последовательности Слоана OEIS : A137979 и OEIS : A160338 .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Экспериментальная_математика&oldid=1263347282#Приложения_и_примеры"